¿Qué es curva polar? — Matemáticas

Definición 24.6 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 24 — Curvas planas

Una curva polar viene dada por $r = r(\theta)$ : el punto de parámetro $\theta$ es

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Con $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , la velocidad es

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Consecuencias: donde $r \neq 0$ , el punto es regular y la tangente forma con el radio el ángulo $V$ dado por $\tan V = \frac{r}{r'}$ (el ángulo entre $M'$ y $\vec u$ ); y donde $r(\theta_0) = 0$ , la curva pasa por el origen con tangente el radio $\theta = \theta_0$ (dirección $\vec u(\theta_0)$ , leída en $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , o del límite de las cuerdas: la cuerda de $O$ a $M(\theta)$ va dirigida por el propio $\vec u(\theta)$ , que tiende a $\vec u(\theta_0)$ — así que la regla vale incluso cuando $r'(\theta_0) = 0$ y el punto es singular, que es por lo que los puntos de retroceso polares en el origen, como el de la cardioide, obtienen su tangente gratis).

La rosa de cuatro pétalos r = 2 (). Los pétalos a lo largo del eje y se trazan con r < 0 (el punto se dibuja en el radio opuesto a ); y las diagonales a trazos = ± π4 son las tangentes en el origen, donde r se anula. — La rosa de cuatro pétalos $r = \cos 2\theta$ (Ejercicio 24.4). Los pétalos a lo largo del eje $y$ se trazan con $r < 0$ (el punto se dibuja en el radio opuesto a $\theta$ ); y las diagonales a trazos $\theta = \pm\frac\pi4$ son las tangentes en el origen, donde $r$ se anula.

La cardioide r = 1 +. Las curvas polares se leen barriendo el ángulo: el radio se hincha y se encoge conforme gira . — La cardioide $r = 1 + \cos\theta$ . Las curvas polares se leen barriendo el ángulo: el radio se hincha y se encoge conforme gira $\theta$ .

Ejemplos

Ejemplo 24.7 (La cardioide)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Simetría: $r(-\theta) = r(\theta)$ : reflexión respecto del eje $x$ ; estúdiese $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ decrece de $2$ a $0$ ; y en $\theta = \pi$ , $r = 0$ : la curva alcanza el origen tangencialmente al radio $\theta = \pi$ (el eje $x$ ), formando ahí un punto de retroceso — la punta del corazón. Tangente en $\theta = 0$ : $r' = 0$ , luego $\tan V = \infty$ : perpendicular al eje.

El ángulo $V$ merece una lectura más. En $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ y $r' = -1$ , luego $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : la tangente forma tres cuartos de ángulo recto con el radio saliente — la curva ya se está doblando de vuelta hacia su punto de retroceso. La fórmula $\tan V = r/r'$ entrega direcciones tangentes a lo largo de toda la curva sin calcular en absoluto $M'(\theta)$ : es el análogo polar de leer una pendiente.

Ejemplo 24.8 (De polar a cartesiana: un círculo escondido)

¿Qué es la curva polar $r = 2\cos\theta$ ? Multiplíquese por $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , es decir, $x^2 + y^2 = 2x$ , es decir,

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

el círculo de centro $(1, 0)$ y radio $1$ , que pasa por el origen. La contabilidad importa: cuando $\theta$ recorre $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , todo el círculo se barre exactamente una vez ( $r$ se anula en los dos extremos), y en $\theta = \pm\frac\pi2$ la regla «tangente en el origen a lo largo del radio $\theta = \theta_0$ » da ahí una tangente vertical — de acuerdo con la geometría, ya que el eje vertical es en efecto tangente a este círculo en $O$ . Para $\theta$ más allá de ese rango, $r < 0$ vuelve a recorrer el mismo círculo: un recordatorio de que una curva polar es un objeto parametrizado, con permiso para pasar sobre sí misma.

Leer en el capítulo →