全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Bahasa Indonesia 版。

Matematika · 术语表

什么是 Nilai harapan？

Definisi 18.8 Matematika Sekolah Menengah Atas · 第 18 章 — Peluang dan Peubah Acak

Nilai harapan (atau rata-rata) XX adalah rata-rata nilainya yang dibobot oleh peluangnya:

E(X)=∑i=1kP(X=xi)  xi.\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

示例

Contoh 18.10

Untuk permainan pada Contoh 18.6:

E(G)=46×(−2)+16×3+16×4=−8+3+46=−16≈−0.17.\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Secara rata-rata pemainnya rugi kira-kira 1717 sen setiap permainan: jadi permainan itu merugikan. Sebuah permainan disebut adil bila harapan keuntungannya 00.

Contoh 18.15

Untuk permainan pada Contoh 18.6: E(G2)=46×4+16×9+16×16=16+9+166=416\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}, sehingga

V(G)=416−(−16)2=416−136=24536≈6.8,σ(G)≈2.6.\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Kerugian 0.170.17 per permainan secara rata-rata itu datang bersama ayunan sebesar 2.62.6 euro — jadi nilai harapan tanpa simpangan baku hanya menceritakan separuh kisahnya.

在原文中阅读 →
Definisi 22.6 Matematika Universitas — Tahun 2 · 第 22 章 — Peubah Acak Diskret

Sebuah peubah acak real XX pada (Ω,P)(\Omega, \P) disebut punya nilai harapan bila keluarga (X(ω) P({ω}))ω∈Ω\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega} bersifat terjumlahkan (Bab 7); dan nilai harapannya lalu

E(X)=∑ω∈ΩX(ω) P({ω}).\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

示例

Contoh 22.10 (Pemindahan beraksi)

Untuk X∼P(λ)X \sim \mathcal P(\lambda), hitunglah E(11+X)\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr) — sebab hukum 11+X\frac1{1+X} sendiri janggal, tetapi pemindahannya tak pernah memintanya:

E(11+X)=∑k≥01k+1 e−λλkk!=e−λλ∑k≥0λk+1(k+1)!=e−λλ(eλ−1)=1−e−λλ.\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Ada dua pelajaran. Secara hitungan: mengenali deret eksponensial yang tergeser adalah seluruh kerjanya — sebab pemindahan menyusutkan nilai harapan f(X)f(X) menjadi manipulasi deret. Secara struktural: nilai colok naifnya adalah 11+EX=11+λ\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}, sedangkan jawaban benarnya lebih besar,

1−e−λλ≥11+λ,\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

persis seperti dituntut ketaksamaan Jensen bagi fungsi cembung t↦11+tt \mapsto \frac1{1+t}. Jadi nilai harapan peta cembung duduk di atas nilai colok naifnya, dan pemindahan ditambah pemeriksaan deret membuat ketaksamaan abstraknya menjadi konkret.

Contoh 22.12 (Hasil kali, dengan dan tanpa kebebasan)

Lemparkan dua dadu setimbang. Bila YY adalah dadu kedua (yang bebas dari yang pertama), maka E(XY)=E(X)E(Y)=3.52=12.25\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25. Sedangkan bila Y=XY = X (yakni “hasil kali” sebuah dadu dengan dirinya sendiri),

E(X2)=1+4+9+16+25+366=916≈15.17≠12.25:\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

jadi hukum marginal yang sama pada kedua skenarionya, hukum bersama yang berbeda, dan nilai harapan hasil kali yang berbeda. Adapun pelajarannya, yang layak dipahat: E(XY)\E(XY) adalah fungsional pasangannya, bukan kedua marginalnya — dan senjangnya E(X2)−E(X)2≈2.92\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92 persis, menurut König–Huygens, merupakan ragam 3512\frac{35}{12} dadunya.

在原文中阅读 →

相关术语