Apa itu Nilai harapan? — Matematika

Definisi 18.8 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 18 — Peluang dan Peubah Acak

Nilai harapan (atau rata-rata) $X$ adalah rata-rata nilainya yang dibobot oleh peluangnya:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Contoh

Contoh 18.10

Untuk permainan pada Contoh 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Secara rata-rata pemainnya rugi kira-kira $17$ sen setiap permainan: jadi permainan itu merugikan. Sebuah permainan disebut adil bila harapan keuntungannya $0$ .

Contoh 18.15

Untuk permainan pada Contoh 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , sehingga

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

Kerugian $0.17$ per permainan secara rata-rata itu datang bersama ayunan sebesar $2.6$ euro — jadi nilai harapan tanpa simpangan baku hanya menceritakan separuh kisahnya.

Baca dalam konteks →

Definisi 22.6 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 22 — Peubah Acak Diskret

Sebuah peubah acak real $X$ pada $(\Omega, \P)$ disebut punya nilai harapan bila keluarga $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ bersifat terjumlahkan (Bab 7); dan nilai harapannya lalu

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

Contoh

Contoh 22.10 (Pemindahan beraksi)

Untuk $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , hitunglah $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — sebab hukum $\frac1{1+X}$ sendiri janggal, tetapi pemindahannya tak pernah memintanya:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Ada dua pelajaran. Secara hitungan: mengenali deret eksponensial yang tergeser adalah seluruh kerjanya — sebab pemindahan menyusutkan nilai harapan $f(X)$ menjadi manipulasi deret. Secara struktural: nilai colok naifnya adalah $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ , sedangkan jawaban benarnya lebih besar,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

persis seperti dituntut ketaksamaan Jensen bagi fungsi cembung $t \mapsto \frac1{1+t}$ . Jadi nilai harapan peta cembung duduk di atas nilai colok naifnya, dan pemindahan ditambah pemeriksaan deret membuat ketaksamaan abstraknya menjadi konkret.

Contoh 22.12 (Hasil kali, dengan dan tanpa kebebasan)

Lemparkan dua dadu setimbang. Bila $Y$ adalah dadu kedua (yang bebas dari yang pertama), maka $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Sedangkan bila $Y = X$ (yakni “hasil kali” sebuah dadu dengan dirinya sendiri),

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

jadi hukum marginal yang sama pada kedua skenarionya, hukum bersama yang berbeda, dan nilai harapan hasil kali yang berbeda. Adapun pelajarannya, yang layak dipahat: $\E(XY)$ adalah fungsional pasangannya, bukan kedua marginalnya — dan senjangnya $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ persis, menurut König–Huygens, merupakan ragam $\frac{35}{12}$ dadunya.

Baca dalam konteks →

Contoh

Contoh

Istilah terkait