Morfisma grup কী?

Contoh 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ adalah morfisma (karena $\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$) yang bijektif (Proposisi 4.1): jadi struktur penjumlahan dan perkaliannya isomorfik — itulah alasan historis keberadaan logaritma. Morfisma lain: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ dari $(\R, +)$ pada lingkaran satuan $(\mathbb{U}, \times)$, dengan kernel $2\pi\Z$.

Contoh 7.13 (Morfisma tanda)

Pemetaan $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ yang mengirim $x$ ke tandanya adalah morfisma: karena tanda sebuah hasil kali sama dengan hasil kali tandanya. Kernelnya adalah $\intoo0{+\infty}$ (sebuah subgrup, sesuai janji Definisi 7.10), dan petanya seluruh $\{\pm1\}$: jadi surjektif, tetapi sangat tak injektif. Dua pelajaran umum dalam wujud mini. Pertama, sebuah morfisma boleh saja meremukkan informasi: $s$ tak mengingat apa pun dari $x$ selain satu bit, dan itulah keutamaannya — argumen tanda tepat merupakan perhitungan yang melewati $s$. Kedua, morfisma ke $\{\pm1\}$ adalah “invarian” yang paling sederhana: tanda permutasi, yang dibangun pada soal akhir pekan bab ini, adalah gejala yang sama pada grup $\mathfrak S_n$, dan semua argumen paritas yang digerakkannya turun lewat morfisma bernilai dua semacam itu.