Wat is Groepsmorfisme?

Voorbeeld 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ is een morfisme ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$) en bijectief (Propositie 4.1): de additieve en de multiplicatieve structuur zijn isomorf — de historische bestaansreden van de logaritmen. Nog een morfisme: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ van $(\R, +)$ op de eenheidscirkel $(\mathbb{U}, \times)$, met kern $2\pi\Z$.

Voorbeeld 7.13 (Het tekenmorfisme)

De afbeelding $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ die $x$ naar zijn teken stuurt is een morfisme: het teken van een product is het product van de tekens. Haar kern is $\intoo0{+\infty}$ (een deelgroep, zoals Definitie 7.10 belooft), haar beeld heel $\{\pm1\}$: surjectief, en massaal niet-injectief. Twee algemene lessen in het klein. Ten eerste kan een morfisme informatie vermorzelen: $s$ onthoudt van $x$ niets dan één bit, en dat is juist haar deugd — argumenten met tekens zijn precies de berekeningen die door $s$ heen factoriseren. Ten tweede zijn morfismen naar $\{\pm1\}$ de eenvoudigste “invarianten”: de signatuur van permutaties, opgebouwd in de weekendopgave van dit hoofdstuk, is hetzelfde verschijnsel op de groep $\mathfrak S_n$, en alle pariteitsargumenten die zij aandrijft dalen door zo’n tweewaardig morfisme af.