Apa itu Grup?

Contoh 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (akar satuan, Definisi 3.17); himpunan $\mathfrak{S}(E)$ berisi bijeksi himpunan $E$ pada dirinya sendiri, terhadap komposisi — yaitu grup simetri $E$, yang tak abelian begitu $\abs E \geq 3$. Bukan grup: $(\N, +)$ (tanpa invers), $(\Z, \times)$ (hanya $\pm 1$ yang terbalikkan).

Contoh 7.6 (Simetri sebuah persegi panjang)

Persegi panjang (yang bukan persegi) mempunyai tepat empat isometri pada dirinya sendiri: identitas $e$, pencerminan pada sumbu mendatar $h$, pencerminan pada sumbu tegak $v$, dan setengah putaran $r$ terhadap pusatnya. Komposisi menjadikan himpunan beranggota empat ini sebuah grup: setiap unsurnya menjadi inversnya sendiri ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), dan hasil kali dua unsur tak identitas yang berbeda adalah unsur ketiganya ($hv = vh = r$: mencerminkan pada kedua sumbu sama dengan setengah putaran). Tabel lengkapnya simetris, jadi grupnya abelian — namun ia bukan grup yang sama dengan grup rotasi $\mathbb U_4$ pada Contoh 7.15: di sana $\iu$ berorde $4$, sedangkan di sini setiap unsurnya berorde $\leq 2$. Jadi dua grup berukuran sama dapat mempunyai struktur perkalian yang sungguh-sungguh berbeda — gambar di bawah menampilkan kedua tabelnya berdampingan. Grup beranggota empat ini kembali sebagai $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, dan Latihan 7.7 menjelaskan mengapa setiap grup yang semua kuadratnya sepele pastilah, seperti yang ini, abelian.

Contoh 7.13 (Morfisma tanda)

Pemetaan $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ yang mengirim $x$ ke tandanya adalah morfisma: karena tanda sebuah hasil kali sama dengan hasil kali tandanya. Kernelnya adalah $\intoo0{+\infty}$ (sebuah subgrup, sesuai janji Definisi 7.10), dan petanya seluruh $\{\pm1\}$: jadi surjektif, tetapi sangat tak injektif. Dua pelajaran umum dalam wujud mini. Pertama, sebuah morfisma boleh saja meremukkan informasi: $s$ tak mengingat apa pun dari $x$ selain satu bit, dan itulah keutamaannya — argumen tanda tepat merupakan perhitungan yang melewati $s$. Kedua, morfisma ke $\{\pm1\}$ adalah “invarian” yang paling sederhana: tanda permutasi, yang dibangun pada soal akhir pekan bab ini, adalah gejala yang sama pada grup $\mathfrak S_n$, dan semua argumen paritas yang digerakkannya turun lewat morfisma bernilai dua semacam itu.