¿Qué es Morfismo de grupos?

Ejemplo 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ es un morfismo ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$) y es biyectivo (Proposición 4.1): las estructuras aditiva y multiplicativa son isomorfas — la razón de ser histórica de los logaritmos. Otro morfismo: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ sobre la circunferencia unidad $(\mathbb{U}, \times)$, con núcleo $2\pi\Z$.

Ejemplo 7.13 (El morfismo del signo)

La aplicación $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envía $x$ a su signo es un morfismo: el signo de un producto es el producto de los signos. Su núcleo es $\intoo0{+\infty}$ (un subgrupo, como promete la Definición 7.10) y su imagen es todo $\{\pm1\}$: sobreyectivo y masivamente no inyectivo. Dos lecciones generales en miniatura. Primera: un morfismo puede aplastar información; $s$ no recuerda nada de $x$ salvo un bit, y esa es su virtud — los argumentos de signo son exactamente los cálculos que pasan por $s$. Segunda: los morfismos en $\{\pm1\}$ son los «invariantes» más simples; la signatura de las permutaciones, construida en el problema del fin de semana de este capítulo, es el mismo fenómeno sobre el grupo $\mathfrak S_n$, y todos los argumentos de paridad que mueve descienden por un morfismo bivaluado así.