Qu'est-ce que « Morphisme de groupes » ?

Exemple 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ est un morphisme ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), bijectif (Proposition 4.1) : les structures additive et multiplicative sont isomorphes — la raison d’être historique des logarithmes. Autre morphisme : $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$, de $(\R, +)$ sur le cercle unité $(\mathbb{U}, \times)$, de noyau $2\pi\Z$.

Exemple 7.13 (Le morphisme signe)

L’application $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ qui envoie $x$ sur son signe est un morphisme : le signe d’un produit est le produit des signes. Son noyau est $\intoo0{+\infty}$ (un sous-groupe, comme le promet Définition 7.10), son image est $\{\pm1\}$ tout entier : surjectif, massivement non injectif. Deux leçons générales en miniature. D’abord, un morphisme peut écraser de l’information : $s$ ne retient de $x$ qu’un seul bit, et c’est là sa vertu — les raisonnements de signe sont exactement les calculs qui se factorisent par $s$. Ensuite, les morphismes à valeurs dans $\{\pm1\}$ sont les « invariants » les plus simples : la signature des permutations, construite dans le devoir maison de ce chapitre, est le même phénomène sur le groupe $\mathfrak S_n$, et tous les raisonnements de parité qu’elle alimente passent par un tel morphisme à deux valeurs.