7Struktur Aljabar

Contoh 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (akar satuan, Definisi 3.17); himpunan $\mathfrak{S}(E)$ berisi bijeksi himpunan $E$ pada dirinya sendiri, terhadap komposisi — yaitu grup simetri $E$, yang tak abelian begitu $\abs E \geq 3$. Bukan grup: $(\N, +)$ (tanpa invers), $(\Z, \times)$ (hanya $\pm 1$ yang terbalikkan).

Contoh 7.6 (Simetri sebuah persegi panjang)

Persegi panjang (yang bukan persegi) mempunyai tepat empat isometri pada dirinya sendiri: identitas $e$, pencerminan pada sumbu mendatar $h$, pencerminan pada sumbu tegak $v$, dan setengah putaran $r$ terhadap pusatnya. Komposisi menjadikan himpunan beranggota empat ini sebuah grup: setiap unsurnya menjadi inversnya sendiri ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), dan hasil kali dua unsur tak identitas yang berbeda adalah unsur ketiganya ($hv = vh = r$: mencerminkan pada kedua sumbu sama dengan setengah putaran). Tabel lengkapnya simetris, jadi grupnya abelian — namun ia bukan grup yang sama dengan grup rotasi $\mathbb U_4$ pada Contoh 7.15: di sana $\iu$ berorde $4$, sedangkan di sini setiap unsurnya berorde $\leq 2$. Jadi dua grup berukuran sama dapat mempunyai struktur perkalian yang sungguh-sungguh berbeda — gambar di bawah menampilkan kedua tabelnya berdampingan. Grup beranggota empat ini kembali sebagai $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, dan Latihan 7.7 menjelaskan mengapa setiap grup yang semua kuadratnya sepele pastilah, seperti yang ini, abelian.

Contoh 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: ia tak kosong, dan untuk $z, w \in \mathbb{U}_n$ berlaku $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Subgrup $(\Z, +)$ tepat berupa $n\Z$ (dibuktikan pada Teorema 6.4). Irisan subgrup selalu menjadi subgrup, tetapi gabungannya hampir tak pernah demikian (Latihan 7.6).

Contoh 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ adalah morfisma (karena $\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$) yang bijektif (Proposisi 4.1): jadi struktur penjumlahan dan perkaliannya isomorfik — itulah alasan historis keberadaan logaritma. Morfisma lain: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ dari $(\R, +)$ pada lingkaran satuan $(\mathbb{U}, \times)$, dengan kernel $2\pi\Z$.

Contoh 7.13 (Morfisma tanda)

Pemetaan $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ yang mengirim $x$ ke tandanya adalah morfisma: karena tanda sebuah hasil kali sama dengan hasil kali tandanya. Kernelnya adalah $\intoo0{+\infty}$ (sebuah subgrup, sesuai janji Definisi 7.10), dan petanya seluruh $\{\pm1\}$: jadi surjektif, tetapi sangat tak injektif. Dua pelajaran umum dalam wujud mini. Pertama, sebuah morfisma boleh saja meremukkan informasi: $s$ tak mengingat apa pun dari $x$ selain satu bit, dan itulah keutamaannya — argumen tanda tepat merupakan perhitungan yang melewati $s$. Kedua, morfisma ke $\{\pm1\}$ adalah “invarian” yang paling sederhana: tanda permutasi, yang dibangun pada soal akhir pekan bab ini, adalah gejala yang sama pada grup $\mathfrak S_n$, dan semua argumen paritas yang digerakkannya turun lewat morfisma bernilai dua semacam itu.

Contoh 7.15

Dalam $(\C^*, \times)$: $\iu$ berorde $4$, dengan $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; lebih umum $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ berorde $n$ dan $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. Dalam $(\Z, +)$, setiap $x \neq 0$ berorde tak hingga. Mengapa klaim pada definisinya berlaku: jika $x$ berorde $m$, bagilah sebarang $k$ dengan $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Teorema 6.2): maka $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, jadi pangkatnya berdaur dengan periode $m$, unsur yang didaftar itu berbeda dua-dua menurut keminimalan $m$, dan $x^k = e$ memaksa $r = 0$. Orde permutasi dihitung pada soal akhir pekan di bawah.

Contoh 7.16 (Orde di dalam $\mathbb U_{12}$)

Berapa orde $\omega^k$ di $\mathbb U_n$, untuk $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Kita punya $(\omega^k)^m = 1$ jika dan hanya jika $n \mid km$, dan dengan menulis $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ dengan $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (menurut lema Gauss, Teorema 6.8). Nilai $m \geq 1$ terkecil semacam itu adalah $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Di $\mathbb U_{12}$ misalnya, $\omega^8$ berorde $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (memang $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), sedangkan $\omega^5$ berorde $12$: ia membangkitkan seluruh grupnya, meskipun ia bukan pembangkit yang “baku”. Mencacah pembangkitnya — yaitu $k$ dengan $\gcd(k, n) = 1$ — memulihkan cacahan saling prima pada Contoh 2.25: jadi teori grup dan pencacahan bertemu.

Contoh 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ adalah ring komutatif; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Menyusul kemudian: ring polinomial $K[X]$ (Bab 8), ring matriks (yang tak komutatif, Bab 21), dan $\Z/n\Z$ di bawah. Dalam setiap ring, $0 \times a = 0$ (dari sifat distributifnya: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), dan $(-1)a = -a$.

Contoh 7.19 (Idempoten: gejala baru dalam ring baru)

Di $\Z$, persamaan $x^2 = x$, yakni $x(x - 1) = 0$, hanya mempunyai penyelesaian $0$ dan $1$. Di $\Z/6\Z$, dengan menguji semua kelasnya: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ dan $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — jadi ada empat idempoten. Kedua yang eksotis itu datang dari pembagi nol: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ tanpa satu pun faktornya nol. Perhitungan semacam itu mengalibrasi gerak hati kita: fakta yang sudah dikenal tentang persamaan bertahan di daerah integral dan lapangan, tetapi ring yang umum dapat dan memang berperilaku lain — lihat pula ring Boole pada Latihan 7.10, yang di sana setiap unsurnya idempoten.

Contoh 7.21 (Teorema binomial dalam ring yang tak dikenal)

Dua hasil cepat dari keumumannya. Di $\Z/p\Z$ (dengan $p$ prima), koefisien binomial di tengahnya lenyap (yaitu langkah pertama Teorema 6.23), sehingga teoremanya runtuh menjadi mimpi mahasiswa baru

yang di sana merupakan kesamaan yang sungguhan, betapapun ia tampak jahat di atas $\R$. Dan di dalam sebarang ring komutatif yang memuat unsur $\varepsilon$ dengan $\varepsilon^2 = 0$, teoremanya terpenggal: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, karena semua suku yang lebih tinggi memikul faktor $\varepsilon^2 = 0$. Koefisien $n\,a^{n-1}$ pada $\varepsilon$ adalah turunan $x^n$ — dan itu bukan kebetulan, melainkan isyarat pertama bahwa turunan sama aljabarnya dengan analisisnya (bandingkan turunan formal pada Bab 8).

Contoh 7.23

$\Q$, $\R$, $\C$ adalah lapangan; sedangkan $\Z$ daerah integral tetapi bukan lapangan. Dalam daerah integral, pencoretan berlaku untuk $\times$: $ab = ac$ dan $a \neq 0$ mengakibatkan $b = c$.

Contoh 7.26 (Berapa banyak akar kuadrat dari $1$?)

Selesaikan $x^2 = \overline 1$ di $\Z/8\Z$ dan di $\Z/7\Z$. Dengan menguji kedelapan kelas modulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — jadi ada empat penyelesaian $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, padahal polinomial $X^2 - 1$ berderajat $2$. Sebaliknya, di lapangan $\Z/7\Z$, $x^2 = \overline1$ berarti $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, dan lapangan tak mempunyai pembagi nol: sehingga $x = \pm\overline1$, dengan dua penyelesaian saja. Kegagalan modulo $8$ itu dapat dilacak: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ tanpa satu pun faktornya lenyap. Moralnya: kaidah yang sudah dikenal “persamaan berderajat $d$ mempunyai paling banyak $d$ akar” adalah teorema tentang daerah integral (Akibat 8.8 membuktikannya atas lapangan); dan di dalam ring yang mempunyai pembagi nol ia gugur diam-diam — justru itulah sebabnya bukti pemasangan pada teorema Wilson (Latihan 6.11) menuntut $p$ prima.

Contoh 7.27 (Berhitung di $\Z/n\Z$)

Di $\Z/12\Z$: unitnya adalah $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$ (yaitu kelas yang saling prima dengan $12$), dan masing-masing menjadi inversnya sendiri ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$). Persamaan $\overline 3\, x = \overline 6$ mempunyai tiga penyelesaian ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): karena tanpa keterbalikan tak ada pencoretan. Sebaliknya di $\Z/11\Z$, setiap persamaan $\overline a x = \overline b$ dengan $\overline a \neq \overline 0$ mempunyai tepat satu penyelesaian.

Contoh 7.28 (Aksioma grup sebagai izin menyelesaikan)

Dalam grup $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, selesaikan $\overline 3\,x = \overline 5$. Menurut Proposisi 7.5 (3) penyelesaiannya ada, tunggal, dan sama dengan $\overline3^{-1}\, \overline5$; karena $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$, invers $\overline 3$ adalah $\overline 5$, sehingga

Yang penting di sini bukan jawabannya melainkan jaminannya: dalam sebuah grup, setiap persamaan semacam itu terselesaikan secara tunggal sebelum ada perhitungan, sehingga prosedur penyelesaiannya tak akan pernah tersandung “tak ada penyelesaian” atau “ada beberapa”. Bandingkan $\overline3\,x = \overline6$ di $\Z/12\Z$ di atas, yang di sana jaminannya gugur — mengetahui struktur mana yang sedang kita huni berarti mengetahui apa yang boleh kita anggap sudah pasti.

Contoh 7.29 (Hasil kali langsung)

Jika $G$ dan $H$ dua grup, maka himpunan hasil kali $G \times H$ dengan operasi komponen demi komponen $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ merupakan grup: aksiomanya diperiksa koordinat demi koordinat, dengan identitas $(e_G, e_H)$ dan invers $(g^{-1}, h^{-1})$. Ordenya berpadu lewat KPK: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ menjadi identitas jika dan hanya jika orde $g$ maupun orde $h$ membagi $m$. Jadi di $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (secara aditif) setiap unsur tak nol berorde $2$ — dan ini tepat grup persegi panjang pada Contoh 7.6 dalam koordinat — sedangkan $\Z/4\Z$ mempunyai unsur berorde $4$: yaitu bukti kedua, yang bebas perhitungan, bahwa kedua grup berukuran $4$ itu tidak isomorfik (karena isomorfisma mengawetkan orde). Hasil kali adalah cara termudah memproduksi grup baru dari grup lama, dan bidang $\R^2 = \R \times \R$ pada Bab 18 adalah wujud konstruksi itu yang paling penting.