O que é Morfismo de grupos?

Exemplo 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ é um morfismo ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), bijetivo (Proposição 4.1): as estruturas aditiva e multiplicativa são isomorfas — a razão de ser histórica dos logaritmos. Outro morfismo: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ sobre o círculo unitário $(\mathbb{U}, \times)$, com núcleo $2\pi\Z$.

Exemplo 7.13 (O morfismo sinal)

A aplicação $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envia $x$ ao seu sinal é um morfismo: o sinal de um produto é o produto dos sinais. O seu núcleo é $\intoo0{+\infty}$ (um subgrupo, como a Definição 7.10 promete), e a sua imagem é todo o $\{\pm1\}$: sobrejetivo, maciçamente não injetivo. Duas lições gerais em miniatura. Primeira, um morfismo pode esmagar informação: $s$ nada guarda de $x$ além de um bit, e isso é a sua virtude — argumentos de sinal são exatamente os cálculos que se fatoram por $s$. Segunda, os morfismos para $\{\pm1\}$ são os “invariantes” mais simples: o sinal das permutações, construído no problema de fim de semana deste capítulo, é o mesmo fenômeno no grupo $\mathfrak S_n$, e os argumentos de paridade que ele alimenta descem todos por um morfismo de dois valores desse tipo.