Apa itu Pangkat umum? — Matematika

Definisi 4.2 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 4 — Fungsi Baku

Untuk $x > 0$ dan $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Untuk $a > 0$ , $a \neq 1$ , logaritma dengan bilangan pokok $a$ adalah $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , yaitu invers $x \mapsto a^x$ .

Skala pertumbuhan pada : di dekat tepi kanan, x baru saja melewati 1.6 sedangkan x sudah meninggalkan bingkainya. Setiap rasionya (logaritma dibagi pangkat, dan pangkat dibagi eksponensial) menuju 0 — gambarnya hanya mengisyaratkan apa yang dibuat tepat oleh substitusi pada buktinya. — Skala pertumbuhan pada Proposisi 4.6: di dekat tepi kanan, $\ln x$ baru saja melewati $1.6$ sedangkan $\eu^x$ sudah meninggalkan bingkainya. Setiap rasionya (logaritma dibagi pangkat, dan pangkat dibagi eksponensial) menuju $0$ — gambarnya hanya mengisyaratkan apa yang dibuat tepat oleh substitusi pada buktinya.

Contoh

Contoh 4.3 (Menyelesaikan persamaan eksponensial)

Selesaikan $2^x = 5^{\,x-1}$ di $\R$ . Kedua ruasnya positif, jadi ambil logaritmanya — langkah yang dapat dibalik:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

Berikutnya, selesaikan $x^{\sqrt2} = 3$ untuk $x > 0$ : pangkatkan dengan $\frac1{\sqrt2}$ (yakni terapkan bijeksi inversnya): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . Inti gagasannya: setiap persamaan yang mencampur pangkat terurai lewat $\ln$ dan $\exp$ , karena definisi $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ menyusutkan semua manipulasi pangkat menjadi aritmetika eksponen — tetapi hanya pada daerah $x > 0$ yang di situlah definisi itu hidup.

Contoh 4.4 (Waktu penggandaan)

Sebuah besaran tumbuh $3\%$ per langkah: setelah $n$ langkah ia terkali $(1.03)^n$ . Kapan ia berlipat dua? Selesaikan $(1.03)^n \geq 2$ :

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

jadi penggandaan pertama terjadi pada langkah $24$ . (“Aturan $72$ ” para pemodal, yang menaksir waktu penggandaan sebagai $72$ dibagi lajunya dalam persen, adalah perhitungan ini dengan hampiran $\ln(1 + x) \approx x$ , yang dikuantifikasi pada Bab 16.) Proses eksponensial paling baik dinalar lewat logaritmanya: pada skala itu, pertumbuhannya linear dan pertanyaannya menjadi pembagian.

Contoh 4.5 (Sepanjang apa $2^{2026}$ ?)

Banyaknya angka desimal sebuah bilangan bulat $N \geq 1$ adalah $\floor{\log_{10} N} + 1$ (memang $N$ mempunyai $d$ angka tepat ketika $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , yakni $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Untuk $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

jadi $2^{2026}$ mempunyai $610$ angka. Bagian pecahannya membawa bonus: $10^{0.887} \approx 7.7$ , jadi bilangan itu diawali $7$ . Satu perkalian menjawab pertanyaan tentang bilangan yang tak seorang pun akan pernah menuliskannya — logaritma memampatkan ukuran perkalian menjadi ukuran penjumlahan, dan itulah seluruh maknanya secara historis (Contoh 7.12 membuat kalimat itu menjadi tepat).

Baca dalam konteks →