O que é Potências gerais? — Matemática

Definição 4.2 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 4 — Funções Usuais

Para $x > 0$ e $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Para $a > 0$ , $a \neq 1$ , o logaritmo na base $a$ é $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , a inversa de $x \mapsto a^x$ .

A escala de crescimento da : perto da borda direita, x mal passou de 1.6, enquanto x já saiu do quadro. Toda razão (logaritmo sobre potência, potência sobre exponencial) tende a 0 — a figura apenas sugere o que as substituições da demonstração tornam exato. — A escala de crescimento da Proposição 4.6: perto da borda direita, $\ln x$ mal passou de $1.6$ , enquanto $\eu^x$ já saiu do quadro. Toda razão (logaritmo sobre potência, potência sobre exponencial) tende a $0$ — a figura apenas sugere o que as substituições da demonstração tornam exato.

Exemplos

Exemplo 4.3 (Resolvendo equações exponenciais)

Resolva $2^x = 5^{\,x-1}$ em $\R$ . Os dois lados são positivos, então tome logaritmos — um passo reversível:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

Em seguida, resolva $x^{\sqrt2} = 3$ para $x > 0$ : eleve à potência $\frac1{\sqrt2}$ (isto é, aplique a bijeção recíproca): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . A ideia: toda equação que mistura potências se desenrola por meio de $\ln$ e $\exp$ , porque a definição $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ reduz toda manipulação de potências à aritmética dos expoentes — mas apenas no domínio $x > 0$ em que essa definição vive.

Exemplo 4.4 (Tempos de duplicação)

Uma grandeza cresce $3\%$ a cada passo: após $n$ passos ela fica multiplicada por $(1.03)^n$ . Quando ela dobra? Resolva $(1.03)^n \geq 2$ :

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

de modo que a primeira duplicação ocorre no passo $24$ . (A “regra dos $72$ ” dos financistas, que estima o tempo de duplicação como $72$ dividido pela taxa em porcentagem, é este cálculo com a aproximação $\ln(1 + x) \approx x$ , quantificada no Capítulo 16.) Os processos exponenciais são mais bem tratados através dos seus logaritmos: nessa escala, o crescimento é linear e as perguntas se tornam divisões.

Exemplo 4.5 (Qual é o tamanho de $2^{2026}$ ?)

O número de algarismos decimais de um inteiro $N \geq 1$ é $\floor{\log_{10} N} + 1$ (com efeito, $N$ tem $d$ algarismos exatamente quando $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , isto é, $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Para $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

de modo que $2^{2026}$ tem $610$ algarismos. A parte fracionária traz um bônus: $10^{0.887} \approx 7.7$ , de modo que o número começa por $7$ . Uma multiplicação respondeu a uma pergunta sobre um número que ninguém jamais escreverá por extenso — os logaritmos comprimem tamanho multiplicativo em tamanho aditivo, o que é toda a sua razão histórica de ser (Exemplo 7.12 torna essa frase precisa).

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