व्यापक घातें क्या है? — गणित

परिभाषा 4.2 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 4 — मानक फलन

$x > 0$ और $\alpha \in \R$ के लिए: $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ । $a > 0$ , $a \neq 1$ के लिए आधार $a$ का लघुगणक $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ है, जो $x \mapsto a^x$ का प्रतिलोम है।

का वृद्धि पैमाना: दाएँ किनारे के पास x मुश्किल से 1.6 पार कर पाया है, जबकि x चौखट से बाहर निकल चुका है। हर अनुपात (लघुगणक बटा घात, घात बटा चरघातांकी) 0 की ओर जाता है — चित्र केवल संकेत देता है, जिसे उपपत्ति के प्रतिस्थापन ठीक-ठीक कर देते हैं। — प्रतिज्ञप्ति 4.6 का वृद्धि पैमाना: दाएँ किनारे के पास $\ln x$ मुश्किल से $1.6$ पार कर पाया है, जबकि $\eu^x$ चौखट से बाहर निकल चुका है। हर अनुपात (लघुगणक बटा घात, घात बटा चरघातांकी) $0$ की ओर जाता है — चित्र केवल संकेत देता है, जिसे उपपत्ति के प्रतिस्थापन ठीक-ठीक कर देते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 4.3 (चरघातांकी समीकरण हल करना)

$\R$ में $2^x = 5^{\,x-1}$ हल कीजिए। दोनों पक्ष धनात्मक हैं, अतः लघुगणक लीजिए — यह पद उत्क्रमणीय है:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

अब $x > 0$ के लिए $x^{\sqrt2} = 3$ हल कीजिए: घात $\frac1{\sqrt2}$ तक उठाइए (अर्थात् परस्पर प्रतिलोम एकैकी आच्छादन लगाइए): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ । सार: घातों को मिलाने वाला हर समीकरण $\ln$ और $\exp$ से होकर खुलता है, क्योंकि परिभाषा $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ घातों की सारी हेराफेरी को घातांकों के अंकगणित तक सीमित कर देती है — पर केवल उसी प्रांत $x > 0$ पर जहाँ वह परिभाषा रहती है।

उदाहरण 4.4 (द्विगुणन काल)

कोई राशि प्रति पद $3\%$ से बढ़ती है: $n$ पदों के बाद वह $(1.03)^n$ से गुणित हो जाती है। वह दुगुनी कब होगी? $(1.03)^n \geq 2$ हल कीजिए:

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

अतः पहला द्विगुणन पद $24$ पर होता है। (वित्तज्ञों का “ $72$ का नियम”, जो द्विगुणन काल का आकलन $72$ को प्रतिशत में दर से भाग देकर करता है, यही संगणना है, बस सन्निकटन $\ln(1 + x) \approx x$ के साथ, जिसका परिमाणन अध्याय 16 में है।) चरघातांकी प्रक्रियाओं पर विचार उनके लघुगणकों के द्वारा करना सबसे अच्छा रहता है: उस पैमाने पर वृद्धि रैखिक हो जाती है और प्रश्न भाग बन जाते हैं।

उदाहरण 4.5 ( $2^{2026}$ कितना लंबा है?)

पूर्णांक $N \geq 1$ के दशमलव अंकों की संख्या $\floor{\log_{10} N} + 1$ है (वस्तुतः $N$ के ठीक $d$ अंक तब होते हैं जब $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , अर्थात् $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ )। $N = 2^{2026}$ के लिए:

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

अतः $2^{2026}$ के $610$ अंक हैं। भिन्नात्मक भाग एक बोनस भी लाता है: $10^{0.887} \approx 7.7$ , अतः यह संख्या $7$ से आरंभ होती है। एक गुणा ने ऐसी संख्या के विषय में प्रश्न का उत्तर दे दिया जिसे कोई कभी पूरा लिखेगा भी नहीं — लघुगणक गुणात्मक आकार को योगात्मक आकार में सिकोड़ देते हैं, जो उनका पूरा ऐतिहासिक प्रयोजन है (उदाहरण 7.12 इस वाक्य को ठीक-ठीक कह देता है)।

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