Wat is Algemene machten? — Wiskunde

Definitie 4.2 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 4 — Standaardfuncties

Voor $x > 0$ en $\alpha \in \R$ zet men $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Voor $a > 0$ met $a \neq 1$ is de logaritme met grondtal $a$ de functie $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , de inverse van $x \mapsto a^x$ .

De groeischaal van : bij de rechterrand is x amper voorbij 1.6, terwijl x het kader al verlaten heeft. Elke verhouding (logaritme boven macht, macht boven exponentiële) gaat naar 0 — de tekening suggereert alleen wat de substituties in het bewijs exact maken. — De groeischaal van Propositie 4.6: bij de rechterrand is $\ln x$ amper voorbij $1.6$ , terwijl $\eu^x$ het kader al verlaten heeft. Elke verhouding (logaritme boven macht, macht boven exponentiële) gaat naar $0$ — de tekening suggereert alleen wat de substituties in het bewijs exact maken.

Voorbeelden

Voorbeeld 4.3 (Exponentiële vergelijkingen oplossen)

Los $2^x = 5^{\,x-1}$ op in $\R$ . Beide leden zijn positief, dus neem logaritmen — een omkeerbare stap:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

Los vervolgens $x^{\sqrt2} = 3$ op voor $x > 0$ : verhef tot de macht $\frac1{\sqrt2}$ (dat wil zeggen, pas de inverse bijectie toe): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . Het inzicht: elke vergelijking waarin machten door elkaar lopen ontrolt zich via $\ln$ en $\exp$ , omdat de definitie $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ elk machtsgereken tot rekenen met exponenten herleidt — maar alleen op het domein $x > 0$ waar die definitie leeft.

Voorbeeld 4.4 (Verdubbelingstijden)

Een grootheid groeit met $3\%$ per stap: na $n$ stappen is ze vermenigvuldigd met $(1.03)^n$ . Wanneer verdubbelt ze? Los $(1.03)^n \geq 2$ op:

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

zodat de eerste verdubbeling bij stap $24$ optreedt. (De “regel van $72$ ” van de financiers, die de verdubbelingstijd schat als $72$ gedeeld door het percentage, is deze berekening met de benadering $\ln(1 + x) \approx x$ , gekwantificeerd in Hoofdstuk 16.) Over exponentiële processen redeneer je het best via hun logaritmen: op die schaal is de groei lineair en worden vragen delingen.

Voorbeeld 4.5 (Hoe lang is $2^{2026}$ ?)

Het aantal decimale cijfers van een geheel getal $N \geq 1$ is $\floor{\log_{10} N} + 1$ (immers, $N$ heeft $d$ cijfers precies wanneer $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , oftewel $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Voor $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

dus $2^{2026}$ heeft $610$ cijfers. Het decimale deel levert een bonus: $10^{0.887} \approx 7.7$ , zodat het getal met een $7$ begint. Eén vermenigvuldiging beantwoordde een vraag over een getal dat niemand ooit zal uitschrijven — logaritmen persen multiplicatieve grootte samen tot additieve, en dat is hun hele historische bestaansreden (Voorbeeld 7.12 maakt die zin precies).

Lees in het hoofdstuk →