ما معنى القوى العامة؟ — الرياضيات

تعريف 4.2 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 4 — الدوال المعيارية

من أجل $x > 0$ و $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . ومن أجل $a > 0$ حيث $a \neq 1$ ، يكون اللوغاريتم ذو الأساس $a$ هو $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ ، وهو مقلوب $x \mapsto a^x$ .

سلّم النموّ في : قرب الحافة اليمنى، لم يتجاوز x القيمة 1.6 بعدُ إلا بقليل، في حين غادر x الإطار. وكل نسبة (لوغاريتم على قوة، أو قوة على أسّية) تؤول إلى 0 — ولا يلمّح الرسم إلا إلى ما تجعله التعويضات في البرهان دقيقًا. — سلّم النموّ في القضية 4.6: قرب الحافة اليمنى، لم يتجاوز $\ln x$ القيمة $1.6$ بعدُ إلا بقليل، في حين غادر $\eu^x$ الإطار. وكل نسبة (لوغاريتم على قوة، أو قوة على أسّية) تؤول إلى $0$ — ولا يلمّح الرسم إلا إلى ما تجعله التعويضات في البرهان دقيقًا.

أمثلة

مثال 4.3 (حلّ المعادلات الأسّية)

حُلَّ $2^x = 5^{\,x-1}$ في $\R$ . الطرفان موجبان، فخذ اللوغاريتمات — وهي خطوة قابلة للعكس:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

ثم حُلَّ $x^{\sqrt2} = 3$ من أجل $x > 0$ : ارفع إلى القوة $\frac1{\sqrt2}$ (أي طبّق التقابل المقلوب): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . والفكرة النافذة: كل معادلة تخلط القوى تنفكّ عبر $\ln$ و $\exp$ ، لأن التعريف $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ يردّ كل تلاعب بالقوى إلى حساب الأسس — لكن على مجموعة التعريف $x > 0$ وحدها حيث يحيا ذلك التعريف.

مثال 4.4 (أزمنة التضاعف)

مقدار ينمو بنسبة $3\%$ في كل خطوة: فبعد $n$ خطوة يكون قد ضُرب في $(1.03)^n$ . فمتى يتضاعف؟ حُلَّ $(1.03)^n \geq 2$ :

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

فيقع التضاعف الأول عند الخطوة $24$ . (و«قاعدة $72$ » عند الماليين، التي تقدّر زمن التضاعف بقسمة $72$ على النسبة المئوية، هي هذا الحساب مع التقريب $\ln(1 + x) \approx x$ ، المكمَّم في الفصل 16.) وأحسن ما يُعقل به عن السيرورات الأسّية هو لوغاريتماتها: فعلى ذلك السلّم يكون النموّ خطيًا وتصير الأسئلة قسمات.

مثال 4.5 (كم طول العدد $2^{2026}$ ؟)

عدد الأرقام العشرية لعدد صحيح $N \geq 1$ هو $\floor{\log_{10} N} + 1$ (فللعدد $N$ بالفعل $d$ رقمًا تحديدًا عندما $10^{d-1} \leq N < 10^d$ ، أي $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). ومن أجل $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

ومنه فللعدد $2^{2026}$ من الأرقام $610$ . ويحمل الجزء الكسري مكافأةً: $10^{0.887} \approx 7.7$ ، فالعدد يبدأ بالرقم $7$ . فقد أجابت عملية ضرب واحدة عن سؤال يخصّ عددًا لن يكتبه أحد كاملًا — فاللوغاريتمات تضغط الحجم الجدائي في حجم جمعيّ، وهذا كل مغزاها التاريخي (والمثال 7.12 يجعل هذه الجملة دقيقة).

اقرأ في الفصل ←