Qu'est-ce que « Puissances générales » ? — Mathématiques

Définition 4.2 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 4 — Fonctions usuelles

Pour $x > 0$ et $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Pour $a > 0$ , $a \neq 1$ , le logarithme de base $a$ est $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , réciproque de $x \mapsto a^x$ .

L’échelle de croissance de la : près du bord droit, x a tout juste dépassé 1.6 tandis que x a quitté le cadre. Tout rapport (logarithme sur puissance, puissance sur exponentielle) tend vers 0 — l’image ne fait que suggérer ce que les substitutions de la démonstration rendent exact. — L’échelle de croissance de la Proposition 4.6 : près du bord droit, $\ln x$ a tout juste dépassé $1.6$ tandis que $\eu^x$ a quitté le cadre. Tout rapport (logarithme sur puissance, puissance sur exponentielle) tend vers $0$ — l’image ne fait que suggérer ce que les substitutions de la démonstration rendent exact.

Exemples

Exemple 4.3 (Résoudre des équations exponentielles)

Résolvons $2^x = 5^{\,x-1}$ dans $\R$ . Les deux membres sont positifs : on peut donc prendre les logarithmes — étape réversible :

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

Résolvons ensuite $x^{\sqrt2} = 3$ pour $x > 0$ : élevons à la puissance $\frac1{\sqrt2}$ (c’est-à-dire appliquons la bijection réciproque) : $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . L’idée à retenir : toute équation mêlant des puissances se dénoue par $\ln$ et $\exp$ , car la définition $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ ramène toute manipulation de puissances à l’arithmétique des exposants — mais seulement sur le domaine $x > 0$ où cette définition a un sens.

Exemple 4.4 (Temps de doublement)

Une quantité croît de $3\,\%$ à chaque étape : après $n$ étapes, elle a été multipliée par $(1.03)^n$ . Quand double-t-elle ? Résolvons $(1.03)^n \geq 2$ :

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

donc le premier doublement a lieu à l’étape $24$ . (La « règle de $72$ » des financiers, qui estime le temps de doublement par $72$ divisé par le taux en pourcentage, n’est rien d’autre que ce calcul avec l’approximation $\ln(1 + x) \approx x$ , quantifiée au Chapitre 16.) On raisonne toujours mieux sur les processus exponentiels à travers leurs logarithmes : à cette échelle, la croissance est linéaire et les questions deviennent des divisions.

Exemple 4.5 (Quelle est la longueur de $2^{2026}$ ?)

Le nombre de chiffres décimaux d’un entier $N \geq 1$ est $\floor{\log_{10} N} + 1$ (en effet, $N$ a $d$ chiffres exactement quand $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , c’est-à-dire $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Pour $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

donc $2^{2026}$ a $610$ chiffres. La partie fractionnaire offre une prime : $10^{0.887} \approx 7.7$ , donc le nombre commence par $7$ . Une seule multiplication a répondu à une question portant sur un nombre que personne n’écrira jamais — les logarithmes compriment la taille multiplicative en taille additive, ce qui est tout leur intérêt historique (l’Exemple 7.12 rend cette phrase précise).

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