Apa itu Panjang busur? — Matematika

Definisi 18.6 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 18 — Kurva

Misalkan $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ sebuah busur $\mathcal{C}^1$ . Adapun panjang busurnya adalah

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

dengan $\norm{\cdot}$ menyatakan norma Euklides. Sedangkan fungsi panjang busur yang berpangkal di $t_0$ adalah $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Contoh

Contoh 18.8 (Archimedes dan poligon yang terlukis)

Untuk lingkaran satuannya, segi- $n$ beraturan yang terlukis di dalamnya berpanjang $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , dan uraian $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ memberi

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

jadi panjang poligonal pada Teorema 18.7 konvergen secara kuadratik. Secara numerik: $L_6 = 6$ (yakni segi enamnya, yang memberi $\pi > 3$ yang kasar), sedangkan $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ terhadap $2\pi \approx 6.28319$ — dan galatnya $0.00113$ sepakat dengan ramalan $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . Itulah sebabnya Archimedes, dengan melipatduakan segi enamnya lima kali menjadi $96$ sisi, dapat mengapit $\pi$ sampai tiga digit dengan tangan: sebab tiap pelipatduaannya membagi galatnya dengan empat. Jadi supremum pada pencirian poligonalnya bukan sekadar tercapai pada limitnya; ia tercapai secara cepat, karena kurva yang mulus memisah dari tali busurnya hanya pada orde kedua.

Contoh 18.11 (Lingkaran dan heliks)

Untuk lingkaran $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , berlaku $\norm{\gamma'} = R$ , jadi $s = Rt$ dan panjang satu putaran penuhnya adalah $2\pi R$ . Sedangkan untuk heliks $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ dengan $a > 0$ , $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ bersifat tetap: jadi heliksnya ditempuh pada kelajuan tetap, dan $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Contoh 18.12 (Panjang busur dalam koordinat kutub)

Sebuah kurva kutub $r = r(\theta)$ adalah busur $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , dengan

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(sebab suku silangnya saling meniadakan): jadi unsur panjang kutubnya adalah $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Untuk kardioid $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

lalu pada $\intcc{-\pi}{\pi}$ kosinus setengah sudutnya bersifat taknegatif, jadi

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

seperti lengkung sikloid pada Latihan 18.1, sebuah kurva yang dibangun dari lingkaran punya panjang yang rasional, tanpa $\pi$ di mana pun. Adapun pemfaktoran setengah sudutnya adalah siasat baku bagi panjang kurva yang terbangkitkan lingkaran; sedangkan ketika ia gagal (yakni pada elipsnya), panjangnya menjadi fungsi yang sungguh baru — yakni sebuah integral eliptik, di luar bentuk tertutup yang dasar.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait