¿Qué es Longitud de arco?

Ejemplo 18.8 (Arquímedes y los polígonos inscritos)

Para la circunferencia unidad, el $n$-ágono regular inscrito tiene longitud $L_n = 2n\sin\frac\pi n$, y el desarrollo $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ da

las longitudes poligonales del Teorema 18.7 convergen cuadráticamente. Numéricamente: $L_6 = 6$ (el hexágono, que da el burdo $\pi > 3$), mientras que $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ frente a $2\pi \approx 6.28319$; el error $0.00113$ concuerda con el $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ previsto. Por eso Arquímedes, duplicando el hexágono cinco veces hasta $96$ lados, pudo acotar $\pi$ con tres cifras a mano: cada duplicación divide el error entre cuatro. El supremo de la caracterización poligonal no solo se alcanza en el límite; se alcanza deprisa, porque una curva regular se separa de sus cuerdas solo a segundo orden.

Ejemplo 18.11 (Circunferencia y hélice)

Para la circunferencia $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $\norm{\gamma'} = R$, luego $s = Rt$ y la longitud de una vuelta completa es $2\pi R$. Para la hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ con $a > 0$, $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ es constante: la hélice se recorre a rapidez constante, y $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$.

Ejemplo 18.12 (Longitud de arco en coordenadas polares)

Una curva polar $r = r(\theta)$ es el arco $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$, con

(los términos cruzados se cancelan): el elemento polar de longitud es $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$. Para la cardioide $r = 1 + \cos\theta$:

y sobre $\intcc{-\pi}{\pi}$ el coseno del ángulo mitad es no negativo, así que

como el arco de cicloide del Ejercicio 18.1, una curva construida a partir de circunferencias tiene longitud racional, sin ningún $\pi$ por ninguna parte. La factorización con el ángulo mitad es el truco estándar para las longitudes de curvas generadas por circunferencias; cuando falla (la elipse), la longitud es una función genuinamente nueva: una integral elíptica, más allá de las formas cerradas elementales.