Qu'est-ce que « Longueur d’arc » ? — Mathématiques

Définition 18.6 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 18 — Courbes

Soit $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ un arc $\mathcal{C}^1$ . Sa longueur est

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

où $\norm{\cdot}$ est la norme euclidienne. L’abscisse curviligne d’origine $t_0$ est $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Exemples

Exemple 18.8 (Archimède et les polygones inscrits)

Pour le cercle unité, le polygone régulier à $n$ côtés inscrit a pour longueur $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , et le développement $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ donne

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

les longueurs polygonales du Théorème 18.7 convergent quadratiquement. Numériquement : $L_6 = 6$ (l’hexagone, donnant le grossier $\pi > 3$ ), tandis que $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ contre $2\pi \approx 6.28319$ — l’erreur $0.00113$ concorde avec la valeur prédite $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . C’est pourquoi Archimède, en doublant l’hexagone cinq fois jusqu’à $96$ côtés, pouvait encadrer $\pi$ à trois décimales à la main : chaque doublement divise l’erreur par quatre. La borne supérieure de la caractérisation polygonale n’est pas seulement atteinte à la limite ; elle est atteinte rapidement, parce qu’une courbe lisse ne s’écarte de ses cordes qu’au second ordre.

Exemple 18.11 (Cercle et hélice)

Pour le cercle $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $\norm{\gamma'} = R$ , donc $s = Rt$ et la longueur d’un tour complet est $2\pi R$ . Pour l’hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ avec $a > 0$ , $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ est constante : l’hélice est parcourue à vitesse constante, et $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Exemple 18.12 (Longueur d’arc en coordonnées polaires)

Une courbe polaire $r = r(\theta)$ est l’arc $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , avec

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(les termes croisés s’annulent) : l’élément de longueur polaire est $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Pour la cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

et sur $\intcc{-\pi}{\pi}$ le cosinus de l’angle moitié est positif, donc

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

comme l’arche de cycloïde de l’Exercice 18.1, une courbe construite à partir de cercles a une longueur rationnelle, sans aucun $\pi$ . La factorisation par l’angle moitié est l’astuce standard pour les longueurs de courbes engendrées par des cercles ; quand elle échoue (l’ellipse), la longueur est une fonction véritablement nouvelle — une intégrale elliptique, au-delà des formes closes élémentaires.

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Exemples

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