Apa itu norma? — Matematika

Definisi 5.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 5 — Ruang Vektor Bernorma

Sebuah norma pada $E$ adalah pemetaan $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ yang, untuk setiap $x, y \in E$ dan $\lambda \in K$ , memenuhi

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Maka $d(x, y) = \norm{x - y}$ merupakan jarak, dan seluruh Bab 4 berlaku. Ketaksamaan segitiga terbalik $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ membuat normanya sendiri Lipschitz berkonstanta $1$ ; sedangkan penjumlahan dan perkalian skalar bersifat kontinu (lewat taksiran $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , dan seterusnya).

Contoh

Contoh 5.2

Pada $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ merupakan norma berkat Cauchy–Schwarz, jilid Tahun ke-1). Pada $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

dua yang terakhir menjadi norma berkat kepositifan tegas integralnya dan Cauchy–Schwarz untuk integral (jilid Tahun ke-1). Pada matriks: norma apa pun pada $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; adapun norma operator di bawah ini yang penting secara struktural.

Contoh 5.4 (Ketaksetaraan dalam dimensi tak hingga)

Pada $C(\intcc{0}{1})$ : selalu berlaku $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ , tetapi tak ada batas sebaliknya: sebab $f_n(x) = x^n$ punya $\norm{f_n}_\infty = 1$ dan $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Jadi $f_n \to 0$ untuk $\norm\cdot_1$ tetapi tidak untuk $\norm\cdot_\infty$ : kedua norma itu berselisih justru tentang kekonvergenannya sendiri.

Contoh 5.5 (Konstanta yang gamblang dalam dimensi $n$ )

Pada $K^n$ ketiga norma klasiknya setara dengan konstanta yang tajam:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

dengan batas tengahnya $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ berasal dari Cauchy–Schwarz terhadap vektor yang semua unsurnya satu. Vektor ekstremalnya: $e_1$ membuat dua ketaksamaan pertamanya menjadi kesamaan, dan $(1, 1, \dots, 1)$ membuat dua yang terakhir demikian. Dimensi $n$ duduk kasatmata di dalam konstantanya — inilah benih kuantitatif kegagalannya dalam dimensi tak hingga: ketika $n \to \infty$ tak ada konstanta seragam yang bertahan, dan persis itulah yang diperlihatkan Contoh 5.4 pada ruang fungsi.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait