O que é Comprimento de arco?

Exemplo 18.8 (Arquimedes e as poligonais inscritas)

Para o círculo unitário, o $n$-ágono regular inscrito tem comprimento $L_n = 2n\sin\frac\pi n$, e o desenvolvimento $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ dá

os comprimentos poligonais do Teorema 18.7 convergem quadraticamente. Numericamente: $L_6 = 6$ (o hexágono, dando o rústico $\pi > 3$), enquanto $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ contra $2\pi \approx 6.28319$ — o erro $0.00113$ concorda com o previsto $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$. É por isso que Arquimedes, dobrando o hexágono cinco vezes até $96$ lados, conseguiu enquadrar $\pi$ com três algarismos à mão: cada duplicação divide o erro por quatro. O supremo da caracterização poligonal não é apenas atingido no limite; ele é atingido rápido, porque uma curva suave se separa de suas cordas apenas em segunda ordem.

Exemplo 18.11 (Círculo e hélice)

Para o círculo $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $\norm{\gamma'} = R$, de modo que $s = Rt$ e o comprimento de uma volta completa é $2\pi R$. Para a hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ com $a > 0$, $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ é constante: a hélice é percorrida com velocidade constante, e $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$.

Exemplo 18.12 (Comprimento de arco em coordenadas polares)

Uma curva polar $r = r(\theta)$ é o arco $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$, com

(os termos cruzados se cancelam): o elemento polar de comprimento é $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$. Para a cardioide $r = 1 + \cos\theta$:

e em $\intcc{-\pi}{\pi}$ o cosseno do arco metade é não negativo, logo

como o arco de cicloide do Exercício 18.1, uma curva construída a partir de círculos tem comprimento racional, sem $\pi$ em lugar algum. A fatoração pelo arco metade é o truque padrão para comprimentos de curvas geradas por círculos; quando ele falha (a elipse), o comprimento é uma função genuinamente nova — uma integral elíptica, além das formas fechadas elementares.