Apa itu Subgrup yang dibangun; orde? — Matematika

Definisi 1.13 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 1 — Himpunan dan Struktur

Misalkan $G$ grup dan $A \subseteq G$ . Subgrup yang dibangun oleh $A$ , ditulis $\langle A \rangle$ , adalah subgrup terkecil yang memuat $A$ — secara konkret, semua hasil kali hingga atas unsur $A$ dan inversnya. Suatu grup disebut siklik apabila dibangun oleh satu unsur: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ . Adapun orde unsur $a \in G$ adalah $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (boleh jadi tak hingga); bila hingga, ia adalah $n \geq 1$ terkecil dengan $a^n = e$ , dan $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ .

Kisi subgrup ℤ/12ℤ: satu subgrup untuk tiap pembagi 12 (), dengan sebuah rusuk bila yang satu memuat yang lain dengan indeks prima. Pemuatan berjalan berlawanan dengan keterbagian pembangunnya: 4 ⊂eq 2 karena 4 adalah kelipatan 2. — Kisi subgrup $\Z/12\Z$ : satu subgrup untuk tiap pembagi $12$ (Proposisi 1.17), dengan sebuah rusuk bila yang satu memuat yang lain dengan indeks prima. Pemuatan berjalan *berlawanan* dengan keterbagian pembangunnya: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ karena $4$ adalah kelipatan $2$ .

Contoh

Contoh 1.15 (Koset dalam kerja: $A_3$ di dalam $\mathfrak{S}_3$ )

Ambil $G = \mathfrak{S}_3$ (berorde $6$ ) dan $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ . Koset kirinya adalah

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

dua kelas beranggotakan tiga unsur yang memilah $G$ , persis seperti dituntut oleh pencacahan $\abs G = \abs H \times (\text{banyaknya koset})$ — dan tampak jelas bahwa itulah pemilahan atas permutasi genap dan permutasi ganjil. Perhatikan $(1\,3)H = (1\,2)H$ walaupun $(1\,3) \neq (1\,2)$ : koset adalah kelas, bukan sesuatu yang dinamai menurut wakilnya, dan $x^{-1}y \in H$ satu-satunya perbandingan yang sah. Gambaran dua kelas ini berlaku umum untuk tanda permutasi: $A_n$ bersama satu-satunya koset pendampingnya membelah $\mathfrak{S}_n$ tepat menjadi dua, dan begitulah soal akhir pekan bab ini mencacah posisi teka-teki yang terjangkau.

Contoh 1.16

Dua panen langsung. Grup berorde prima pasti siklik: jika $\abs G = p$ prima dan $a \neq e$ , maka $\operatorname{ord}(a)$ membagi $p$ dan tidak sama dengan $1$ , jadi ia sama dengan $p$ : $\langle a\rangle = G$ . Kisi subgrup $\Z/12\Z$ : menurut Proposisi 1.17 di bawah, ada tepat satu subgrup untuk tiap pembagi $12$ — berorde $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , yang berturut-turut dibangun oleh $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ . Peringatan penutup: konvers teorema Lagrange tidak berlaku umum — $A_4$ berorde $12$ tetapi tidak punya subgrup berorde $6$ , sebagaimana kita buktikan pada soal akhir pekan bab ini (Soal 1.1, pertanyaan 14). Lagrange membatasi orde yang mungkin; ia tidak menjanjikan orde itu ada.

Contoh 1.20 (Tipe siklus sebagai pencacahan)

Ada berapa permutasi di $\mathfrak{S}_9$ bertipe siklus $(4, 3, 2)$ — satu siklus panjang $4$ , satu siklus panjang $3$ , dan satu transposisi? Pilih penyangganya sekaligus urutan siklisnya:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

jajarkan kesembilan lambang itu dalam satu baris ( $9!$ cara), kurung empat yang pertama, tiga berikutnya, dan dua terakhir menjadi siklus, lalu bagi dengan banyaknya perputaran di dalam tiap kurung ( $4$ , $3$ dan $2$ buah) yang memberi permutasi yang sama. (Panjang siklusnya di sini berbeda-beda, jadi tidak perlu pembagian lagi; panjang yang sama akan menuntut pembagian oleh permutasi antar kurung yang sepanjang itu pula.) Setiap permutasi semacam itu berorde $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ dan bertanda $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Teorema 1.19 dan teorema tanda permutasi di bawah). Satu partisi $9$ , satu kelas konjugasi, satu pencacahan — kombinatorika $\mathfrak{S}_n$ tak lain adalah aritmetika partisi.

Baca dalam konteks →