Wat is Booglengte? — Wiskunde

Definitie 18.6 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 18 — Krommen

Zij $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ een $\mathcal{C}^1$ -boog. Haar lengte is

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

waarbij $\norm{\cdot}$ de euclidische norm is. De booglengtefunctie met basispunt $t_0$ is $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 18.8 (Archimedes en de ingeschreven veelhoeken)

Voor de eenheidscirkel heeft de ingeschreven regelmatige $n$ -hoek lengte $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , en de ontwikkeling $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ geeft

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

de veelhoeklengten van Stelling 18.7 convergeren kwadratisch. Numeriek: $L_6 = 6$ (de zeshoek, die de ruwe schatting $\pi > 3$ geeft), terwijl $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ tegenover $2\pi \approx 6.28319$ — de fout $0.00113$ stemt overeen met de voorspelde $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . Daarom kon Archimedes, door de zeshoek vijf maal te verdubbelen tot $96$ zijden, $\pi$ met de hand tot op drie cijfers insluiten: elke verdubbeling deelt de fout door vier. Het supremum in de karakterisering met veelhoeken wordt niet alleen in de limiet bereikt; het wordt snel bereikt, omdat een gladde kromme zich pas op tweede orde van haar koorden losmaakt.

Voorbeeld 18.11 (Cirkel en schroeflijn)

Voor de cirkel $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ is $\norm{\gamma'} = R$ , dus $s = Rt$ en is de lengte van een volle omwenteling $2\pi R$ . Voor de schroeflijn $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ met $a > 0$ is $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ constant: de schroeflijn wordt met constante snelheid doorlopen, en $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Voorbeeld 18.12 (Booglengte in poolcoördinaten)

Een poolkromme $r = r(\theta)$ is de boog $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , met

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(de kruistermen heffen elkaar op): het lengte-element in poolcoördinaten is $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Voor de cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

en op $\intcc{-\pi}{\pi}$ is de cosinus van de halve hoek niet-negatief, dus

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

net als bij de cycloïdeboog van Oefening 18.1 heeft een kromme die uit cirkels is opgebouwd een rationale lengte, zonder enige $\pi$ . De ontbinding met de halve hoek is de standaardtruc voor de lengten van krommen die uit cirkels ontstaan; faalt zij (de ellips), dan is de lengte een werkelijk nieuwe functie — een elliptische integraal, buiten de elementaire gesloten vormen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen