Apa itu pemetaan konformal?

Contoh 18.2 (Transformasi Möbius)

Untuk $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$, transformasi Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ bersifat konformal dari $\C\setminus\{-d/c\}$ ke $\C\setminus\{a/c\}$ (dengan balikan bertipe sama, dari matriks balikannya; sedangkan komposisinya bersesuaian dengan hasil kali matriksnya). Sedangkan pemetaan Cayley

memetakan $\mathbb H$ secara konformal ke $\mathbb D$: sebab sungguh $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ tepat saat $z$ lebih dekat ke $\iu$ daripada ke $-\iu$, yakni $\operatorname{Im}z > 0$; dan balikannya adalah $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. Pemetaan Möbius mengirim keluarga lingkaran-dan-garis ke dirinya sendiri (Latihan 18.1).

Contoh 18.3 (Pemetaan Joukowski)

Di luar Möbius, pemetaan konformal yang paling berguna pada matematika terapan klasik adalah

Pada bagian luar $\Omega = \{\abs z > 1\}$ cakram satuannya, $J$ bersifat injektif: sebab $J(z) = J(w)$ memberikan $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ padahal $\abs{zw} > 1$. Sedangkan turunannya $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ lenyap hanya di $z = \pm1$, yakni pada batasnya: jadi $J$ merupakan kesetaraan konformal dari $\Omega$ ke petanya, yakni $\C\setminus\intcc{-1}1$ — sedangkan lingkaran satuannya sendiri terlipat dua-ke-satu ke ruasnya (sebab $J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Jadi bagian luar sebuah ruas, yakni bidang teriris tanpa batas yang mulus, secara konformal adalah bagian luar sebuah cakram: sehingga sudut bukanlah rintangan bagi kesetaraan konformal, melainkan bagi kemulusan batasnya. Sedangkan peta lingkaran yang melalui $\pm1$ tetapi tak berpusat di sana berupa kurva berbentuk aerofoil, dan mengomposisikan $J$ dengan pemetaan Möbius mengangkut aliran di sekitar sebuah silinder — yang dapat dihitung dengan tangan — ke aliran di sekitar sebuah sayap: sehingga pada paruh pertama abad kedua puluh, contoh inilah aerodinamikanya. Ia juga pintu menuju Chebyshev: sebab $J$ mengonjugatkan $z \mapsto z^n$ ke polinomial Chebyshev $T_n$ (Soal 13.1, Bagian V), karena $J(z^n) = \cos(n\theta)$ bila $z = \eu^{\iu\theta}$.