O que é aplicação conforme?

Exemplo 18.2 (Transformações de Möbius)

Para $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$, a transformação de Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ é conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sobre $\C\setminus\{a/c\}$ (a inversa é do mesmo tipo, vinda da matriz inversa; a composição corresponde ao produto de matrizes). A aplicação de Cayley

leva $\mathbb H$ conformemente sobre $\mathbb D$: com efeito, $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ exatamente quando $z$ está mais perto de $\iu$ do que de $-\iu$, isto é, $\operatorname{Im}z > 0$; a inversa é $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. As aplicações de Möbius levam a família de círculos e retas nela mesma (Exercício 18.1).

Exemplo 18.3 (A aplicação de Joukowski)

Além de Möbius, a aplicação conforme mais útil da matemática aplicada clássica é

No exterior $\Omega = \{\abs z > 1\}$ do disco unitário, $J$ é injetora: $J(z) = J(w)$ dá $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ e $\abs{zw} > 1$. Sua derivada $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ só se anula em $z = \pm1$, na fronteira: $J$ é uma equivalência conforme de $\Omega$ sobre sua imagem, que é $\C\setminus\intcc{-1}1$ — o próprio círculo unitário é dobrado dois a um sobre o segmento ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Assim, o exterior de um segmento, um plano com um corte sem fronteira suave, é conformemente o exterior de um disco: os cantos não são obstáculo à equivalência conforme, apenas à regularidade na fronteira. As imagens de círculos que passam por $\pm1$ mas descentrados são curvas em forma de perfil de asa, e compor $J$ com aplicações de Möbius transportou o escoamento em torno de um cilindro — calculável à mão — para o escoamento em torno de uma asa: durante a primeira metade do século XX, este exemplo era a aerodinâmica. Ele é também a porta para Chebyshev: $J$ conjuga $z \mapsto z^n$ ao polinômio de Chebyshev $T_n$ (Problema 13.1, Parte V), pois $J(z^n) = \cos(n\theta)$ quando $z = \eu^{\iu\theta}$.