¿Qué es aplicación conforme?

Ejemplo 18.2 (Transformaciones de Möbius)

Para $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$, la transformación de Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ es conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sobre $\C\setminus\{a/c\}$ (la inversa es del mismo tipo, dada por la matriz inversa; la composición corresponde al producto de matrices). La transformación de Cayley

lleva $\mathbb H$ conformemente sobre $\mathbb D$: en efecto, $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ exactamente cuando $z$ está más cerca de $\iu$ que de $-\iu$, es decir, $\operatorname{Im}z > 0$; la inversa es $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. Las transformaciones de Möbius envían la familia de circunferencias y rectas en sí misma (el Ejercicio 18.1).

Ejemplo 18.3 (La aplicación de Joukowski)

Más allá de Möbius, la aplicación conforme más útil de la matemática aplicada clásica es

En el exterior $\Omega = \{\abs z > 1\}$ del disco unidad, $J$ es inyectiva: $J(z) = J(w)$ da $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ y $\abs{zw} > 1$. Su derivada $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ solo se anula en $z = \pm1$, sobre la frontera: $J$ es una equivalencia conforme de $\Omega$ sobre su imagen, que es $\C\setminus\intcc{-1}1$ — la propia circunferencia unidad se pliega dos a uno sobre el segmento ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Así, el exterior de un segmento, un plano hendido sin frontera regular, es conformemente el exterior de un disco: las esquinas no son obstáculo para la equivalencia conforme, solo para la regularidad de la frontera. Las imágenes de circunferencias que pasan por $\pm1$ pero descentradas son curvas con forma de perfil alar, y componer $J$ con transformaciones de Möbius transportó el flujo alrededor de un cilindro — calculable a mano — al flujo alrededor de un ala: durante la primera mitad del siglo XX, este ejemplo era la aerodinámica. Es también la puerta hacia Chebyshev: $J$ conjuga $z \mapsto z^n$ con el polinomio de Chebyshev $T_n$ (el Problema 13.1, Parte V), pues $J(z^n) = \cos(n\theta)$ cuando $z = \eu^{\iu\theta}$.