Wat is conforme afbeelding?

Voorbeeld 18.2 (Möbiustransformaties)

Voor $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ is de möbiustransformatie $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ conform van $\C\setminus\{-d/c\}$ op $\C\setminus\{a/c\}$ (met een inverse van hetzelfde type, uit de inverse matrix; de samenstelling stemt overeen met het matrixproduct). De cayleytransformatie

beeldt $\mathbb H$ conform af op $\mathbb D$: inderdaad is $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ precies wanneer $z$ dichter bij $\iu$ ligt dan bij $-\iu$, dat wil zeggen $\operatorname{Im}z > 0$; de inverse is $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. Möbiusafbeeldingen sturen de familie cirkels-en-rechten naar zichzelf (Oefening 18.1).

Voorbeeld 18.3 (De afbeelding van Joukowski)

Voorbij Möbius is de nuttigste conforme afbeelding van de klassieke toegepaste wiskunde

Op het uitwendige $\Omega = \{\abs z > 1\}$ van de eenheidsschijf is $J$ injectief: $J(z) = J(w)$ geeft $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ en $\abs{zw} > 1$. Haar afgeleide $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ verdwijnt enkel in $z = \pm1$, op de rand: $J$ is een conforme gelijkwaardigheid van $\Omega$ op haar beeld, namelijk $\C\setminus\intcc{-1}1$ — de eenheidscirkel zelf wordt twee-op-één op het lijnstuk gevouwen ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Het uitwendige van een lijnstuk, een gesneden vlak zonder gladde rand, is dus conform het uitwendige van een schijf: hoeken zijn geen belemmering voor conforme gelijkwaardigheid, alleen voor de gladheid van de rand. Beelden van cirkels door $\pm1$ maar met verschoven middelpunt zijn krommen in de vorm van een vleugelprofiel, en $J$ samenstellen met möbiusafbeeldingen bracht de stroming om een cilinder — met de hand berekenbaar — over naar de stroming om een vleugel: in de eerste helft van de twintigste eeuw was dit voorbeeld de aerodynamica. Het is ook de deur naar Chebyshev: $J$ vervoegt $z \mapsto z^n$ tot de chebyshevveelterm $T_n$ (Probleem 13.1, Deel V), want $J(z^n) = \cos(n\theta)$ als $z = \eu^{\iu\theta}$.