Qu'est-ce que « application conforme » ?

Exemple 18.2 (Transformations de Möbius)

Pour $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$, la transformation de Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ est conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sur $\C\setminus\{a/c\}$ (inverse du même type, à partir de la matrice inverse ; la composition correspond au produit matriciel). L’application de Cayley

envoie $\mathbb H$ conformément sur $\mathbb D$ : en effet $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ exactement quand $z$ est plus proche de $\iu$ que de $-\iu$, c’est-à-dire $\operatorname{Im}z > 0$ ; l’inverse est $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$. Les applications de Möbius envoient la famille cercles-et-droites sur elle-même (l’Exercice 18.1).

Exemple 18.3 (L’application de Joukowski)

Au-delà de Möbius, l’application conforme la plus utile des mathématiques appliquées classiques est

Sur l’extérieur $\Omega = \{\abs z > 1\}$ du disque unité, $J$ est injective : $J(z) = J(w)$ donne $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ et $\abs{zw} > 1$. Sa dérivée $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ s’annule seulement en $z = \pm1$, sur le bord : $J$ est une équivalence conforme de $\Omega$ sur son image, qui est $\C\setminus\intcc{-1}1$ — le cercle unité lui-même est plié deux-à-un sur le segment ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$). Ainsi l’extérieur d’un segment, un plan fendu sans bord lisse, est conformément l’extérieur d’un disque : les coins ne sont pas un obstacle à l’équivalence conforme, seulement à la régularité du bord. Les images de cercles passant par $\pm1$ mais décentrés sont des courbes en forme de profil d’aile, et composer $J$ avec des applications de Möbius transportait l’écoulement autour d’un cylindre — calculable à la main — vers l’écoulement autour d’une aile : pour la première moitié du vingtième siècle, cet exemple était l’aérodynamique. C’est aussi la porte vers Tchebychev : $J$ conjugue $z \mapsto z^n$ au polynôme de Tchebychev $T_n$ (le Problème 13.1, partie V), puisque $J(z^n) = \cos(n\theta)$ quand $z = \eu^{\iu\theta}$.