अनुरूप प्रतिचित्रण क्या है?

उदाहरण 18.2 (मोबियस रूपांतरण)

$\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ के लिए मोबियस रूपांतरण $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ $\C\setminus\{-d/c\}$ से $\C\setminus\{a/c\}$ पर अनुरूप है (प्रतिलोम भी उसी प्रकार का, प्रतिलोम आव्यूह से; और संयोजन आव्यूह गुणनफल के अनुरूप है)। केली प्रतिचित्रण

$\mathbb H$ को $\mathbb D$ पर अनुरूप रूप से भेजता है: वस्तुतः $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ ठीक तब जब $z$ $-\iu$ की अपेक्षा $\iu$ के अधिक निकट हो, अर्थात् $\operatorname{Im}z > 0$; और प्रतिलोम $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$ है। मोबियस प्रतिचित्रण वृत्तों-और-रेखाओं के कुल को अपने आप पर भेजते हैं (अभ्यास 18.1)।

उदाहरण 18.3 (ज़ूकोव्स्की प्रतिचित्रण)

मोबियस से आगे, शास्त्रीय अनुप्रयुक्त गणित का सबसे उपयोगी अनुरूप प्रतिचित्रण है

इकाई चक्र के बाह्य भाग $\Omega = \{\abs z > 1\}$ पर $J$ एकैकी है: $J(z) = J(w)$ से $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ और $\abs{zw} > 1$ मिलते हैं। उसका अवकलज $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ केवल $z = \pm1$ पर, यानी परिसीमा पर, लुप्त होता है: अतः $J$ $\Omega$ से उसके प्रतिबिंब पर अनुरूप तुल्यता है, और वह प्रतिबिंब $\C\setminus\intcc{-1}1$ है — इकाई वृत्त स्वयं दो-से-एक ढंग से रेखाखंड पर मुड़ जाता है ($J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$)। इस प्रकार किसी रेखाखंड का बाह्य भाग, जो चिकनी परिसीमा रहित एक कटा समतल है, अनुरूप दृष्टि से किसी चक्र का बाह्य भाग ही है: कोने अनुरूप तुल्यता में बाधा नहीं हैं, केवल परिसीमा की चिकनाई में हैं। $\pm1$ से होकर जाने वाले पर अकेंद्रित वृत्तों के प्रतिबिंब वायुपंख के आकार के वक्र होते हैं, और $J$ को मोबियस प्रतिचित्रणों के साथ जोड़ने से किसी बेलन के चारों ओर का प्रवाह — जो हाथ से परिकलनीय है — किसी पंख के चारों ओर के प्रवाह पर पहुँच जाता है: बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में यह उदाहरण ही वायुगतिकी था। यह चेबिशेव का द्वार भी है: $J$ $z \mapsto z^n$ को चेबिशेव बहुपद $T_n$ (समस्या 13.1, भाग V) से संयुग्मित कर देता है, क्योंकि $z = \eu^{\iu\theta}$ होने पर $J(z^n) = \cos(n\theta)$।