Matematika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

3Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks sudah ditemui pada jilid sekolah menengah sebagai perkakas hitung untuk persamaan kuadrat. Bab ini memperlakukannya sebagai objek pusat: bentuk eksponensial beserta akibatnya (de Moivre, akar ke- $n$ , akar satuan), penerjemahan sistematis antara $\C$ dan geometri bidang, serta pemakaian $\eu^{\iu\theta}$ sebagai mesin pembukti kesamaan trigonometri.

3.1 Lapangan $\C$ , modulus dan konjugat

Definisi 3.1 (Lapangan kompleks)

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ dengan penjumlahan biasa dan perkalian yang ditentukan oleh $\iu^2 = -1$ . Setiap $z = a + \iu b$ yang tak nol mempunyai invers: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — dalam bahasa Bab 7, $\C$ adalah sebuah lapangan. Kita tulis $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (yang disebut konjugat) dan $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (yang disebut modulus).

Proposisi 3.2 (Kaidah untuk konjugat dan modulus)

Untuk $z, w \in \C$ :

$\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
$z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
$\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , dan $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ untuk $z \neq 0$ ;
(ketaksamaan segitiga) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , dengan kesamaan jika dan hanya jika $z$ dan $w$ terletak pada satu sinar garis yang sama dari $0$ ( $w = \lambda z$ atau $z = \lambda w$ dengan $\lambda \geq 0$ );
(ketaksamaan segitiga terbalik) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ .

Bukti. (1) dan (2) adalah perhitungan langsung pada bagian real dan bagian imajiner. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ , lalu tarik akar kuadratnya; terapkan pada $z \cdot z^{-1} = 1$ untuk inversnya.

(4) Kedua ruasnya tak negatif, jadi bandingkan kuadratnya:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),

dan $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ memberikan $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$ . Kesamaan memaksa $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$ , yaitu $z \conj w \in \R_+$ ; jika $w \neq 0$ hal ini memberikan $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ dengan $\lambda \geq 0$ (dan kasus $w = 0$ bersifat sepele).

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ memberikan $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ ; tukarkan $z$ dan $w$ untuk tanda yang satunya. ∎

Contoh 3.3 (Latihan lengkap modulus dan argumen)

Nyatakan $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ dalam bentuk aljabar lalu hitung modulusnya dengan dua cara. Dengan mengalikan konjugat penyebutnya:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Secara langsung: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Lewat kaidah hasil bagi (Proposisi 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — jawaban yang sama, tanpa perlu bentuk aljabar. Pelajarannya berlaku umum: modulus dan argumen mengalir mulus lewat hasil kali dan hasil bagi, sedangkan bagian real dan bagian imajiner mengalir mulus lewat jumlah. Pilihlah penyajian yang cocok dengan operasi yang sedang dihadapi, dan konversikan hanya bila terpaksa.

Contoh 3.4 (Persamaan yang melibatkan konjugat)

Selesaikan di $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Persamaan yang mencampur $z$ dan $\conj z$ bukan polinomial dalam $z$ ; langkah yang andal adalah memecahnya menjadi koordinat real. Dengan $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

sehingga persamaannya berbunyi $3x = 6$ dan $-y = 2$ : penyelesaiannya tunggal, yaitu $z = 2 - 2\iu$ . (Periksa: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Cara lain, konjugatkan seluruh persamaannya sehingga diperoleh $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ lalu selesaikan sistem linear dengan variabel $z, \conj z$ — jawabannya sama, dan kiat ini berguna ketika koefisiennya kompleks. Persamaan dalam $z$ dan $\conj z$ sesungguhnya sistem dua persamaan real; harapan “derajat $1$ , satu penyelesaian” aman di sini, tetapi $z\conj z = -1$ (tanpa penyelesaian) memperlihatkan gugurnya gerak hati polinomial begitu hasil kali muncul.

3.2 Bentuk eksponensial

Definisi 3.5 (Eksponensial kompleks berargumen imajiner)

Untuk $\theta \in \R$ kita definisikan

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

Setiap $z \neq 0$ dapat ditulis $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ dengan $r = \abs z > 0$ ; di sini $\theta$ disebut argumen dari $z$ , yang tertentu sampai penambahan kelipatan $2\pi$ . Nilai yang berada di $\intoc{-\pi}{\pi}$ disebut argumen utama, ditulis $\arg z$ .

Contoh 3.6 (Nilai pertama, dan satu kesamaan termasyhur)

Membaca definisi itu pada sudut-sudut istimewa:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

Yang kedua, ditata ulang menjadi $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ , adalah kesamaan Euler yang termasyhur, yang merangkai $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ dan $0$ ; pada tahap buku ini ia lebih merupakan definisi yang diurai daripada sebuah teorema, dan isi sesungguhnya — mengapa fungsi eksponensial analitik pada Bab 4, yang diperluas ke argumen imajiner, pantas menyandang nama yang sama — diselesaikan oleh deret pangkat pada Bab 17. Sementara itu tampilan di atas layak dihafalkan sebagai tabel konversi: ia dipakai diam-diam setiap kali sebuah argumen dibaca dari gambar.

Teorema 3.7 (Persamaan fungsional)

Untuk setiap $\theta, \varphi \in \R$ :

\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.

Akibatnya $\abs{zw} = \abs z \abs w$ turut membawa argumennya: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$ .

Bukti. Jabarkan hasil kalinya lalu pakai rumus penjumlahan sudut:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),

yaitu $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$ . Modulusnya adalah $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ , dan rumus konjugatnya merupakan keparitasan kosinus dan sinus; ia membalikkan $\eu^{\iu\theta}$ karena $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$ . ∎

Akibat 3.8 (Rumus de Moivre)

Untuk $\theta \in \R$ dan $n \in \Z$ : $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$ .

Bukti. Untuk $n \geq 0$ , berinduksilah. Kasus $n = 0$ berbunyi $1 = 1$ . Dengan mengandaikan rumus itu berlaku untuk $n$ , persamaan fungsional (Teorema 3.7) memberikan

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} ,

yaitu rumus itu pada peringkat $n + 1$ . Untuk $n < 0$ , tulis $n = -m$ dengan $m > 0$ : karena $\eu^{\iu m\theta}$ berinvers $\eu^{-\iu m\theta}$ (Teorema 3.7 lagi),

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere

∎

Contoh 3.9 (Menjabarkan $\cos 3\theta$ dengan de Moivre)

Tulis $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ . De Moivre dan teorema binomial memberikan

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

lalu dengan menyamakan bagian realnya, dan mensubstitusikan $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

Bagian imajinernya memberikan $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ cuma-cuma: satu kesamaan kompleks selalu membawa dua kesamaan real. Dibaca terbalik, kesamaan itu adalah kunci klasik bagi pembagian sudut menjadi tiga: mengonstruksi $\cos(\theta/3)$ dari $\cos\theta$ berarti menyelesaikan persamaan kubik $4x^3 - 3x = \cos\theta$ , dan di situlah aljabar Bab 8 mengambil alih.

Proposisi 3.10 (Rumus Euler)

\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.

Bukti. Jumlahkan, lalu kurangkan, $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ dan $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$ . ∎

Metode 3.11 (Trigonometri lewat eksponensial)

Linearkan $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (ubah pangkat menjadi jumlah $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): substitusikan rumus Euler, jabarkan dengan teorema binomial (Teorema 2.16), lalu kelompokkan kembali suku yang konjugat.
Jabarkan $\cos n\theta$ sebagai polinomial dalam $\cos\theta$ : tulis $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , jabarkan, lalu ubah pangkat genap $\sin$ lewat $\sin^2 = 1 - \cos^2$ .
Jumlahkan deret trigonometri seperti $\sum_k \cos k\theta$ : kenali ia sebagai bagian real jumlah geometri $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ .
Pemfaktoran setengah sudut: untuk setiap $p, q$ ,

$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$

Contoh 3.12 (Pelinearan)

\cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Bentuk ini langsung terintegralkan — justru itulah sebabnya pelinearan penting pada Bab 15. Hasil kali campuran berjalan dengan cara yang sama, hanya saja memakai kedua rumus Euler sekaligus:

\sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,

tempat jalan pintas sudut ganda pada langkah pertamanya menghemat satu penjabaran binomial — selalu layak dicari sebelum mekanisasi dijalankan.

Contoh 3.13 (Sebuah jumlah trigonometri binomial)

Untuk $n \in \N$ dan $\theta \in \R$ , hitunglah $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ . Kenali ia sebagai bagian real sebuah penjabaran binomial:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

lalu faktorkan setengah sudutnya (Metode 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , sehingga

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

Bagian imajinernya memberikan $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ cuma-cuma. Pemeriksaan kewajaran: $\theta = 0$ memulihkan $\sum\binom nk = 2^n$ , sedangkan $\theta = \pi$ memberikan $S = 0$ untuk $n \geq 1$ (setiap faktor $\cos\frac\pi2$ lenyap), yakni jumlah baris berselang-seling pada Contoh 2.17. Metodenya — “lihatlah jumlah kosinus itu sebagai bayangan sebuah pangkat kompleks, lalu faktorkan setengah sudutnya” — persis metode Latihan 3.6, dengan teorema binomial menggantikan deret geometri.

3.3 Akar bilangan kompleks

Teorema 3.14 (Akar ke- $n$ )

Misalkan $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ dan $n \in \N^*$ . Persamaan $z^n = a$ mempunyai tepat $n$ penyelesaian:

z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

Bukti. Tulis $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ( $\rho > 0$ ). Maka $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ jika dan hanya jika $\rho^n = r$ (dari modulusnya) dan $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (dari argumennya), yaitu $\rho = r^{1/n}$ dan $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ untuk suatu $k \in \Z$ . Tinggal melihat kapan dua bilangan bulat $k, k'$ menghasilkan bilangan yang sama: ini terjadi tepat ketika kedua sudutnya berselisih kelipatan $2\pi$ ,

\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' .

Menurut pembagian Euclid, setiap $k \in \Z$ kongruen modulo $n$ dengan tepat satu unsur $\{0, 1, \dots, n-1\}$ , jadi rentang itu mendaftar setiap penyelesaian sekali saja dan cacahannya tepat $n$ . (Argumen yang sama, dijalankan di dalam $\mathbb U_n$ , menunjukkan bahwa akarnya membentuk segi- $n$ beraturan: nilai $k$ yang berurutan memutar dengan sudut tetap $\frac{2\pi}n$ .) ∎

Contoh 3.15 (Akar pangkat tiga dari $-27$ )

Selesaikan $z^3 = -27$ . Bentuk eksponensial ruas kanannya: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , jadi ketiga akarnya adalah

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Dua pemeriksaan. Pertama, akar real $-3$ adalah yang paling kasatmata, dan kedua akar lainnya adalah rotasinya sebesar $\pm\frac{2\pi}3$ — setara dengan $-3j$ dan $-3j^2$ . Kedua, aljabar membenarkannya: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , dan kuadratnya berdiskriminan $9 - 36 = -27 < 0$ dengan akar $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . Inti gagasannya: untuk ruas kanan yang real, akar yang tak real selalu datang berpasangan konjugat, sehingga gambar himpunan penyelesaiannya simetris terhadap sumbu real — pratinjau teorema pemfaktoran real pada Bab 8.

Contoh 3.16 (Ruas kanan yang tak real)

Selesaikan $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Bentuk eksponensial ruas kanannya: modulusnya $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argumennya $\theta$ dengan $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , yakni $\theta = \frac{2\pi}3$ . Keempat akarnya adalah

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Periksa: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , sehingga $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Begitu satu akar sudah ditemukan, ketiga akar lainnya datang cuma-cuma: semuanya rotasi berturut-turut sebesar $\frac\pi2$ , yakni hasil kalinya dengan akar satuan keempat — struktur umum di balik Teorema 3.14, yang layak dimanfaatkan sebelum menghitung ulang setiap akar dari nol. Tak ada simetri konjugat kali ini: ruas kanannya tidak real.

Definisi 3.17 (Akar satuan)

Sebuah akar satuan ke- $n$ adalah penyelesaian $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Mereka membentuk grup terhadap perkalian (Bab 7) dan duduk pada titik sudut segi- $n$ beraturan yang terlukis di dalam lingkaran satuan.

Akar satuan kelima, = 2 π/5: sebuah segi lima beraturan pada lingkaran satuan. — Akar satuan kelima, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : sebuah segi lima beraturan pada lingkaran satuan.

Proposisi 3.18 (Jumlah akar satuan)

Untuk $n \geq 2$ , akar satuan ke- $n$ berjumlah nol: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$ .

Bukti. Jumlah geometri dengan rasio $\omega \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ karena $\omega^n = 1$ . ∎

Contoh 3.19 (Membaca bagian real dan bagian imajinernya)

Memilah $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ atas bagian real dan bagian imajiner menghasilkan dua kesamaan trigonometri cuma-cuma:

\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2).

Secara geometris: titik berat segi- $n$ beraturan yang terlukis di dalam lingkaran satuan adalah pusatnya — titik sudutnya persis saling mengimbangi. Untuk $n = 5$ kesamaan pertama memberikan $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (dengan memasangkan $k$ dan $n - k$ ), yaitu titik tolak perhitungan $\cos\frac{2\pi}5$ pada Latihan 3.8.

Contoh 3.20 (Akar kuadrat dalam bentuk aljabar)

Untuk menyelesaikan $z^2 = 3 + 4\iu$ tanpa trigonometri, tulis $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Menjumlahkan yang pertama dan yang terakhir: $x^2 = 4$ , jadi $x = \pm 2$ , lalu $y = 2/x = \pm 1$ dengan pasangan tanda yang sama ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Digabung dengan rumus biasa, ini menyelesaikan setiap persamaan kuadrat berkoefisien kompleks (Latihan 3.7).

3.4 Bilangan kompleks dan geometri bidang

Proposisi 3.21 (Kamus geometri)

Identifikasikan titik $M(x, y)$ pada bidang dengan afiksnya $z = x + \iu y$ . Untuk titik yang berbeda dua-dua $A, B, C$ berafiks $a, b, c$ :

$\abs{b - a}$ adalah jarak $AB$ ;
$\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ adalah sudut antara vektor $\vect{AB}$ dan $\vect{AC}$ (modulo $2\pi$ );
$A, B, C$ segaris jika dan hanya jika $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; garis $AB$ dan $AC$ tegak lurus jika dan hanya jika $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ .

Bukti. (1) adalah definisi modulus yang diterapkan pada $b - a$ , yaitu afiks $\vect{AB}$ . (2): tulis $b - a = r\eu^{\iu\theta}$ , $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ ; maka $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ berargumen $\varphi - \theta$ , yaitu sudut dari $\vect{AB}$ ke $\vect{AC}$ . (3): segaris berarti sudutnya $0$ atau $\pi$ , yakni argumennya di $\pi\Z$ , yakni hasil baginya real; tegak lurus berarti sudutnya $\pm\frac\pi2$ , yakni hasil baginya murni imajiner. (Hasil baginya tak nol karena $C \neq A$ .) ∎

Catatan 3.22 (Selingan: $\C$ adalah bidang yang diberi perkalian)

Layak berhenti sejenak pada apa yang membuat bab ini mungkin sama sekali: bidang $\R^2$ memikul penjumlahan ke segala arah, tetapi tak punya perkalian bawaan — dan $\C$ adalah bidang yang dilengkapi satu perkalian, yang di dalamnya mengalikan dengan sebuah bilangan tetap berarti memutar sekaligus menskalakan. Struktur tunggal ini akan diperah tiga kali lagi dalam jilid ini. Pada Bab 21, perkalian dengan $a + \iu b$ muncul kembali sebagai matriks $2 \times 2$ yang barisnya $(a, -b)$ dan $(b, a)$ : aritmetika kompleks adalah keluarga hasil kali matriks yang pertama dan sepenuhnya konkret. Pada Bab 23, rumus $\Re(\conj z\,w)$ ternyata adalah hasil kali skalar, dan $\abs z$ adalah norma Euclid: ketaksamaan segitiga yang dibuktikan di sini menjadi model bagi kisah Cauchy–Schwarz di sana. Dan pada Bab 24, titik yang bergerak paling baik ditulis $t \mapsto z(t)$ , sehingga kecepatan dan percepatan menjadi turunan berkeluaran kompleks — gerak melingkar, misalnya, cukup ditulis $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$ . Satu perkalian yang baik, empat bab dividennya.

Proposisi 3.23 (Pemetaan $z \mapsto az + b$ )

Misalkan $a \in \C^*$ , $b \in \C$ . Transformasi $f(z) = az + b$ pada bidang:

merupakan translasi bila $a = 1$ ;
bila tidak, ia mempunyai satu titik tetap tunggal $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , dan $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : jadi $f$ adalah rotasi berpusat $\zeta$ dan bersudut $\arg a$ , yang dikomposisikan dengan dilatasi berpusat $\zeta$ dan berasio $\abs a$ .

Khususnya $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ adalah rotasi bersudut $\theta$ terhadap titik asal, dan $\conj z$ adalah pencerminan pada sumbu real.

Bukti. Jika $a = 1$ , $f(z) = z + b$ menggeser sejauh vektor berafiks $b$ . Jika $a \neq 1$ , persamaan titik tetap $z = az + b$ mempunyai penyelesaian tunggal $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , dan lalu $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$ . Dengan menulis $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$ , perkalian dengan $a$ menskalakan jarak ke $\zeta$ sebesar $\abs a$ dan menambahkan $\arg a$ pada sudut di $\zeta$ , dan itulah komposisi yang dinyatakan tadi. ∎

Contoh 3.24 (Menggolongkan pemetaan $z \mapsto az+b$ )

Ambil $f(z) = \iu z + 1$ . Di sini $a = \iu \neq 1$ : titik tetapnya adalah

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2},

dan karena $\abs a = 1$ , tidak ada penskalaan sama sekali: $f$ adalah rotasi murni berpusat $\frac{1+\iu}2$ dan bersudut $\arg \iu = \frac\pi2$ . Periksa: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$ , lalu $f(0) = 1$ , $f(1) = 1 + \iu$ , $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : keempat titik $0, 1, 1+\iu, \iu$ pada persegi satuan berputar mengelilingi pusatnya $\zeta$ , seperempat putaran setiap kali — persis yang harus dilakukan rotasi sebesar $\frac\pi2$ terhadap pusat persegi itu.

Pemetaan f(z) = z + 1 pada : rotasi seperempat putaran terhadap titik tetap = 1+ 2. Titik sudut persegi satuan berputar 0 1 1+ 0; tak ada titik yang bergerak sepanjang garis lurus, namun seluruh perseginya ikut terputar dengan kaku. — Pemetaan $f(z) = \iu z + 1$ pada Contoh 3.24: rotasi seperempat putaran terhadap titik tetap $\zeta = \frac{1+\iu}2$ . Titik sudut persegi satuan berputar $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$ ; tak ada titik yang bergerak sepanjang garis lurus, namun seluruh perseginya ikut terputar dengan kaku.

Catatan 3.25 (Jebakan yang lazim dengan modulus dan argumen)

Tak ada ketaksamaan di $\C$ . Menulis $z \leq w$ untuk bilangan yang tak real tidaklah bermakna; hanya modulus, bagian real dan bagian imajiner yang dapat dibandingkan.
$\sqrt{\phantom z}$ disediakan bagi $\R_+$ . Setiap bilangan kompleks tak nol mempunyai dua akar kuadrat dan tak satu pun diistimewakan: tulislah “misalkan $\delta$ sebuah akar kuadrat dari $\Delta$ ” (yang dihitung seperti pada Contoh 3.20), jangan pernah $\sqrt\Delta$ — kaidah $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ sudah gugur pada $a = b = -1$ .
Argumen hidup modulo $2\pi$ . Dari $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ simpulkan $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , bukan $\alpha = \beta$ ; melupakan $2k\pi$ itulah cara himpunan penyelesaian $z^n = a$ kehilangan $n - 1$ dari $n$ unsurnya.
$\abs{z + w}$ bukanlah $\abs z + \abs w$ . Kesamaan pada ketaksamaan segitiga adalah kasus segaris yang istimewa (Proposisi 3.2 (4)); pada umumnya modulus sebuah jumlah harus ditaksir, bukan dihitung.

Contoh 3.26

$A, B, C$ (berafiks $a, b, c$ , berbeda dua-dua) membentuk segitiga sama sisi dengan titik sudut berurutan langsung (berlawanan arah jarum jam) jika dan hanya jika $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : rotasi berpusat $A$ dan bersudut $\frac\pi3$ mengirim $B$ ke $C$ . Kedua orientasinya sekaligus tertangkap oleh persamaan simetris $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ (Latihan 3.10).

Catatan 3.27 (Di mana bab ini dipakai)

Bentuk eksponensial adalah perkakas hitung yang paling banyak dipakai ulang dalam jilid ini. Akar satuan menjadi contoh baku grup siklik pada Bab 7 dan menggerakkan pemfaktoran $X^n - 1$ pada Bab 8; pengelompokan akar konjugat di sana menghasilkan pemfaktoran real yang dipakai pecahan parsial pada Bab 9. Pelinearan (Metode 3.11) adalah persiapan baku untuk mengintegralkan pangkat trigonometri pada Bab 15, dan persamaan karakteristik pada Bab 5 mempunyai akar kompleks yang bagian real dan bagian imajinernya menghasilkan penyelesaian berayun $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$ . Kamus geometrinya kembali berbaju matriks: rotasi dan kesebangunan menjelma menjadi matriks ortogonal pada Bab 21 dan 23, dan kurva terparameter pada Bab 24 sering paling baik ditulis sebagai pemetaan $t \mapsto z(t) \in \C$ .

3.5 Latihan

Latihan 3.1 ★

Nyatakan dalam bentuk eksponensial: $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$ . Lalu simpulkan $\cos\frac{5\pi}{12}$ dan $\sin\frac{5\pi}{12}$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.1.

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ;

\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.

Menghitung hasil bagi yang sama secara aljabar (kalikan dengan konjugatnya):

\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.

Dengan menyamakannya terhadap $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ :

\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.

Latihan 3.2 ★

Hitung $(1 + \iu)^{20}$ . Untuk $n \in \N$ yang mana $(1 + \iu)^n$ merupakan bilangan real?

Solusi

Solusi Latihan 3.2.

$(1+\iu)^2 = 2\iu$ , jadi $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$ .

Dalam bentuk eksponensial $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$ , yang real jika dan hanya jika $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$ , yakni $4 \mid n$ . Jadi $(1+\iu)^n \in \R$ tepat untuk kelipatan $4$ (dengan nilai $(-4)^{n/4}$ ).

Latihan 3.3 ★

Gambarkan secara geometris himpunan $z \in \C$ yang memenuhi: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (untuk $z \neq -1$ ).

Solusi

Solusi Latihan 3.3.

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : berjarak sama dari titik $2$ dan $-\iu$ — yaitu sumbu tegak lurus ruas garis yang menghubungkan $(2, 0)$ dan $(0, -1)$ .

$\abs{z - 1} = 2$ : lingkaran berpusat $1$ dan berjari-jari $2$ .

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : menurut Proposisi 3.21 (3), titik $M(z)$ , $A(1)$ , $B(-1)$ memenuhi: garis $MA$ dan $MB$ tegak lurus (atau $z = 1$ , yang di sana hasil baginya $0 \in \iu\R$ ). Himpunannya adalah lingkaran berdiameter $[-1, 1]$ (yaitu lingkaran satuan), dikurangi titik $-1$ yang di sana hasil baginya tak terdefinisi. Periksa lewat perhitungan: $z = \eu^{\iu\theta}$ memberikan $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$ .

Latihan 3.4 ★

Linearkan $\sin^4\theta$ , lalu jabarkan $\cos 4\theta$ sebagai polinomial dalam $\cos\theta$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.4.

Pelinearannya:

\sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.

Penjabarannya: menurut de Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ dengan $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ ; lalu substitusikan $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 .

Latihan 3.5 ★

Selesaikan $z^3 = 8\iu$ lalu tempatkan penyelesaiannya pada sebuah gambar. Selesaikan $z^4 = -4$ lalu faktorkan $X^4 + 4$ menjadi dua polinomial kuadrat real.

Solusi

Solusi Latihan 3.5.

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$ , jadi akar pangkat tiganya adalah $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$ , $k = 0, 1, 2$ :

z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :

yang membentuk segitiga sama sisi pada lingkaran berjari-jari $2$ .

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ , jadi $z^4 = -4$ mempunyai penyelesaian $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ : $\;1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ . Dengan memasangkan akar yang konjugat:

X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),

karena $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$ dan serupa untuk pasangan yang lain. (Jabarkan untuk memeriksanya.)

Latihan 3.6 ★★

Untuk $\theta \in \R$ dengan $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ dan $n \in \N$ , hitunglah

C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{dan}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta

dengan menjumlahkan deret geometri $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ lalu memakai pemfaktoran setengah sudut.

Solusi

Solusi Latihan 3.6.

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (jumlah geometri, dengan rasio $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ ). Pemfaktoran setengah sudut (Metode 3.11 (4)) pada pembilang dan penyebutnya:

\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}.

Dengan mengambil bagian real dan bagian imajinernya:

C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}.

Latihan 3.7 ★★

Selesaikan di $\C$ : $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$ . (Hitung diskriminannya, lalu tarik akar kuadratnya seperti pada Contoh 3.20.)

Solusi

Solusi Latihan 3.7.

Diskriminannya: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$ . Akar kuadrat $-3 + 4\iu$ : selesaikan $x^2 - y^2 = -3$ , $2xy = 4$ , $x^2 + y^2 = 5$ ; lalu $x^2 = 1$ , $y = 2/x$ , dengan tanda yang sama: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$ . Jadi

z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.

Periksa: jumlahnya $= 3 + 4\iu$ dan hasil kalinya $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$ , sesuai tuntutan koefisiennya.

Latihan 3.8 ★★

Misalkan $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ .

Berikan alasan bahwa $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
Tulis $u = \omega + \omega^4$ dan $v = \omega^2 + \omega^3$ . Hitung $u + v$ dan $uv$ , lalu simpulkan bahwa $u$ dan $v$ adalah akar $X^2 + X - 1$ .
Simpulkan bahwa $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.8.

Proposisi 3.18 dengan $n = 5$ .
$u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ menurut (1). Untuk hasil kalinya, jabarkan lalu reduksi pangkatnya modulo $5$ :

$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$

Jadi $u$ dan $v$ berjumlah $-1$ dan berhasil kali $-1$ : keduanya adalah akar $X^2 + X - 1$ .
$u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (karena sudutnya lancip), dan akar positif $X^2 + X - 1$ adalah $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Jadi $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Latihan 3.9 ★★

Buktikan bahwa untuk setiap $z, w \in \C$ berlaku (kesamaan jajargenjang):

\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,

lalu tafsirkan secara geometris pada jajargenjang bertitik sudut $0, z, w, z + w$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.9.

Jabarkan kedua kuadratnya seperti pada bukti Proposisi 3.2 (4):

\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),

lalu jumlahkan. Secara geometris, $\abs{z+w}$ dan $\abs{z-w}$ adalah panjang kedua diagonal jajargenjang bertitik sudut $0, z, z+w, w$ , sedangkan $\abs z$ dan $\abs w$ adalah panjang sisinya: jumlah kuadrat diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat keempat sisinya.

Latihan 3.10 ★★★

Buktikan bahwa tiga titik yang berbeda dua-dua dan berafiks $a, b, c$ membentuk segitiga sama sisi (dengan orientasi apa pun) jika dan hanya jika

a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .

Petunjuk: kasus langsungnya $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ dan kasus tak langsungnya $\frac{c-a}{b-a} = -j$ , dengan $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ memenuhi $j^2 + j + 1 = 0$ ; atau faktorkan $a + jb + j^2c$ dan $a + j^2 b + jc$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.10.

Misalkan $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , sehingga $j^2 + j + 1 = 0$ dan $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$ , $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$ . Segitiganya sama sisi langsung jika dan hanya jika $c - a = -j^2 (b - a)$ , dan tak langsung jika dan hanya jika $c - a = -j(b - a)$ (Contoh 3.26).

Tinjau $P = a + jb + j^2 c$ dan $Q = a + j^2 b + jc$ . Dengan memakai $1 + j^2 = -j$ dan $j^3 = 1$ :

c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP,

jadi kasus langsungnya berbunyi $jP = 0 \iff P = 0$ ; perhitungan yang sama dengan $j$ menggantikan $j^2$ memberikan $c - a + j(b - a) = j^2 Q$ , sehingga kasus tak langsungnya berbunyi $Q = 0$ . Jadi: sama sisi (dengan orientasi apa pun) $\iff PQ = 0$ . Dengan menjabarkannya, dan memakai $j + j^2 = -1$ :

PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).

Jadi segitiganya sama sisi jika dan hanya jika $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ .

Latihan 3.11 ★★★

Untuk $n \in \N^*$ , hitunglah $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ dengan $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ . Petunjuk: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; bagilah dengan $X - 1$ lalu hitung nilainya di $X = 1$ . Lalu simpulkan $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$ .

Solusi

Solusi Latihan 3.11.

Karena $\omega^k$ , $k = 0, \dots, n-1$ , tepat merupakan $n$ akar $X^n - 1$ (Teorema 3.14), dan polinomialnya monik:

X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).

Dengan membaginya dengan $X - 1$ : $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$ . Menghitung nilainya di $X = 1$ memberikan $P = n$ .

Selanjutnya $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$ , jadi dengan mengambil modulus pada $P = n$ (setiap $\sin\frac{k\pi}n > 0$ untuk $1 \leq k \leq n-1$ ):

n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{sehingga}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .

Latihan 3.12 ★★

Misalkan $n \geq 2$ . Selesaikan persamaan $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ di $\C$ : tunjukkan bahwa ia mempunyai tepat $n - 1$ penyelesaian, semuanya murni imajiner, yaitu

z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 .

Petunjuk: $z = 1$ bukan penyelesaian, jadi bagilah lalu pakai akar satuan; setelah itu terapkan pemfaktoran setengah sudut pada Metode 3.11.

Solusi

Solusi Latihan 3.12.

$z = 1$ bukan penyelesaian (karena $2^n \neq 0$ ), jadi persamaannya setara dengan $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$ , yakni $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ dengan $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ dan $k \in \{0, \dots, n-1\}$ . Nilai $k = 0$ tersingkir (karena $z + 1 = z - 1$ mustahil). Untuk $1 \leq k \leq n - 1$ , menyelesaikan $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ memberikan $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$ , sehingga dengan $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ dan pemfaktoran setengah sudut $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$ , $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ :

z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,

yang murni imajiner sesuai klaimnya. Pemetaan $t \mapsto \cos t/\sin t$ bersifat injektif pada $\intoo0\pi$ (karena ia turun tegas), sehingga $n - 1$ nilai $z_k$ itu berbeda dua-dua: persamaan itu, yang berderajat $n - 1$ setelah dijabarkan (suku $z^n$ saling hapus), mempunyai tepat $n - 1$ penyelesaian ini.

3.6 Soal: Teorema Napoleon

Soal 3.1

Dirikan segitiga sama sisi ke arah luar pada setiap sisi sebuah segitiga sembarang: ketiga pusat segitiga itu selalu membentuk segitiga sama sisi. Inilah teorema Napoleon — pernyataan yang tak punya alasan kasatmata untuk menjadi benar, yang dibuktikan aljabar $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ dalam tiga baris perhitungan. Soal ini membangun perkakas lengkapnya (rotasi, kesebangunan langsung, kriteria $j$ pada Latihan 3.10), membuktikan teorema Napoleon yang dalam maupun yang luar, menentukan letak kasus merosotnya, lalu menutup dengan permata kedua dari mazhab yang sama: teorema van Schooten tentang segitiga sama sisi dan ketaksamaan Ptolemeus. Di sepanjang soal ini, titik bidang diidentifikasikan dengan afiksnya.

Bagian I — Bilangan $j$ dan rotasi.

Hitung bentuk aljabar $j$ , lalu $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ dan $j^{-1}$ . Tempatkan $1$ , $j$ , $j^2$ pada sketsa lingkaran satuan.
Tunjukkan bahwa rotasi berpusat $a$ dan bersudut $\theta$ adalah $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , dan bahwa komposisi dua rotasi, yang bersudut $\theta$ dan $\theta'$ , merupakan rotasi bersudut $\theta + \theta'$ bila $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ , dan merupakan translasi bila tidak. (Pakai Proposisi 3.23.)
Misalkan $b \neq c$ . Tunjukkan bahwa tepat ada dua titik $p$ yang membuat $(b, c, p)$ sama sisi, yaitu $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Untuk segitiga langsung $(a, b, c)$ , periksa pada contoh $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ bahwa pilihan $\eu^{-\iu\pi/3}$ adalah yang terletak di seberang garis $BC$ dari $a$ — yaitu puncak arah luarnya.
Dari penyelesaian Latihan 3.10, $(a, b, c)$ sama sisi langsung jika dan hanya jika $a + jb + j^2c = 0$ . Buktikan kedua kesamaan rotasi

$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$

lalu simpulkan bahwa kriteria itu tak berubah di bawah permutasi siklik $(a, b, c)$ .
Tunjukkan bahwa jika $a + jb + j^2c = 0$ dan dua di antara ketiga titiknya berimpit, maka ketiganya berimpit. (Jadi kriteria itu persis mencirikan: segitiga sama sisi langsung, atau sebuah titik tunggal.)

Bagian II — Kesebangunan langsung.

Tunjukkan bahwa pemetaan $f(z) = az + b$ dengan $a \in \C^*$ (kesebangunan langsung) tertutup terhadap komposisi dan pembalikan: komposisi dua di antaranya, dan invers salah satunya, kembali berbentuk sama. (Dalam bahasa Bab 7: mereka membentuk grup.)
Diberikan $z_1 \neq z_2$ dan $w_1 \neq w_2$ , tunjukkan bahwa ada tepat satu kesebangunan langsung $f$ dengan $f(z_1) = w_1$ dan $f(z_2) = w_2$ , lalu berikan $a$ dan $b$ secara eksplisit.
Tunjukkan bahwa kesebangunan langsung $f(z) = az + b$ mengalikan semua jarak dengan $\abs a$ dan mengawetkan bentuk $\frac{c - a'}{b' - a'}$ sebarang segitiga $(a', b', c')$ (pembilang dan penyebutnya sama-sama dikalikan $a$ ). Simpulkan bahwa dua segitiga sebangun langsung tepat ketika bentuknya sama.
Tentukan selengkapnya kesebangunan langsung dengan $f(0) = 1$ dan $f(1) = \iu$ : berikan $a$ , $b$ , titik tetapnya, rasionya dan sudutnya.
Misalkan $\alpha + \beta = 1$ . Tunjukkan bahwa “titik berbobot” $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ berkomutasi dengan setiap kesebangunan langsung: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Simpulkan bahwa titik berat, titik tengah, dan pusat Napoleon di bawah semuanya terangkut oleh kesebangunan — yaitu izin aljabar di balik setiap argumen “tanpa mengurangi keumuman, letakkan lingkaran luarnya pada lingkaran satuan”.

Bagian III — Teorema Napoleon. Misalkan $(a, b, c)$ sebuah segitiga langsung. Pada setiap sisinya dirikan segitiga sama sisi ke arah luar (pertanyaan 3) lalu misalkan $n_a$ , $n_b$ , $n_c$ pusat (titik berat) segitiga yang didirikan pada $[b, c]$ , $[c, a]$ , $[a, b]$ berturut-turut.

Tunjukkan bahwa

$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{dengan}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$
Periksa $\alpha + \beta = 1$ , lalu simpulkan bahwa segitiga $(n_a, n_b, n_c)$ mempunyai titik berat yang sama dengan $(a, b, c)$ .
Dengan memakai kesamaan pada pertanyaan 4, tunjukkan bahwa

$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$
Hitung $\alpha j + \beta$ lalu simpulkan: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , sehingga $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ untuk setiap segitiga: jadi segitiga Napoleon luarnya sama sisi langsung (atau sebuah titik). Teorema Napoleon pun terbukti.
Dirikan segitiga sama sisinya ke arah dalam sebagai gantinya (pilihan $\eu^{+\iu\pi/3}$ pada pertanyaan 3) lalu misalkan $m_a, m_b, m_c$ pusatnya. Tunjukkan $m_a = \beta b + \alpha c$ (dan seterusnya secara siklik), lalu buktikan $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : jadi segitiga Napoleon dalamnya pun sama sisi, dengan orientasi yang berlawanan.
Tentukan letak kemerosotannya: tunjukkan bahwa $n_a = n_b = n_c$ terjadi tepat ketika $a + j^2 b + jc = 0$ , yakni ketika $(a, b, c)$ merupakan segitiga sama sisi tak langsung. (Dua titik di antara $n_a, n_b, n_c$ berimpit jika dan hanya jika ketiganya berimpit, menurut pertanyaan 5; lalu pakai $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ dan periksa bahwa $\alpha + \beta j \neq 0$ .)
Jalankan seluruh perhitungannya pada segitiga $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : berikan $n_a, n_b, n_c$ secara eksak, lalu buktikan lewat perhitungan langsung atas ketiga kuadrat panjang sisinya bahwa segitiga itu sama sisi, dengan kuadrat sisi $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ .

Bagian IV — Ptolemeus dan van Schooten.

Buktikan kesamaan berikut, yang berlaku untuk setiap $a, b, c, d$ kompleks:

$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$
Simpulkan ketaksamaan Ptolemeus: untuk sebarang empat titik $A, B, C, D$ ,

$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$

dengan kesamaan jika dan hanya jika $(a-b)(c-d)$ dan $(a-d)(b-c)$ terletak pada satu sinar garis yang sama dari $0$ .
Tunjukkan bahwa untuk $\theta, \varphi \in \R$ berlaku $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .
(Teorema van Schooten) Misalkan $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — menurut Bagian II ini tidak mengurangi keumuman di antara segitiga sama sisi langsung — lalu misalkan $p = \eu^{\iu\theta}$ dengan $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , yaitu titik pada lingkaran luarnya di busur $BC$ yang tidak memuat $A$ . Buktikan

$PA = PB + PC .$

(Nyatakan ketiga jaraknya dengan pertanyaan 20 lalu pakai rumus jumlah-ke-hasil-kali.)
Periksa pada $p = -1$ bahwa ini persis kasus kesamaan pada ketaksamaan Ptolemeus untuk urutan siklik $A, B, P, C$ : hitung $(a - b)(p - c)$ dan $(a - c)(b - p)$ lalu periksa bahwa rasionya bilangan real positif.

Bagian V — Sintesis.

Hitung segitiga Napoleon luar dari segitiga sama sisi $(1, j, j^2)$ itu sendiri, lalu gambarkan hasilnya secara geometris.
Di mana persisnya soal ini memakai: (i) perkalian sebagai rotasi; (ii) struktur grup kesebangunan beserta bentuk yang invarian; (iii) pemfaktoran setengah sudut pada Metode 3.11? Satu kalimat untuk masing-masing.
Dalam satu paragraf pendek, rumuskan moral soal ini: apa yang dibeli kamus antara geometri bidang dan aljabar $\C$ , apa harganya, dan langkah bukti mana di antara keduanya — kesamaan $\alpha j + \beta = 0$ atau gambar klasiknya — yang menurut Anda lebih baik menjelaskan teorema Napoleon? Sebutkan satu tempat yang kamus itu akan muncul kembali di dalamnya dalam bentuk matriks di bagian akhir jilid ini.

Solusi

Solusi Soal 3.1.

1. $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (jumlah akar satuan pangkat tiga, Proposisi 3.18); $j^{-1} = j^2$ (karena $j \cdot j^2 = 1$ ). Pada lingkaran satuan, $1$ , $j$ , $j^2$ adalah titik sudut segitiga sama sisi langsung.

2. Rotasi berpusat $a$ dan bersudut $\theta$ menetapkan $a$ dan memutar setiap vektor yang keluar dari $a$ sebesar $\theta$ : $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , yakni $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ . Mengomposisikan $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ dan $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ :

r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{konstanta},

yaitu pemetaan berbentuk $Az + B$ dengan $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ yang bermodulus $1$ . Menurut Proposisi 3.23, ia adalah rotasi bersudut $\arg A = \theta + \theta'$ bila $A \neq 1$ , dan translasi bila $A = 1$ , yakni bila $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$ .

3. $(b, c, p)$ sama sisi jika dan hanya jika $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$ . Dengan menulis $q = \frac{p - b}{c - b}$ , kesamaan yang pertama mengatakan $\abs q = 1$ dan yang kedua $\abs{q - 1} = 1$ ; bersama-sama, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (kedua titik potong lingkaran $\abs q = 1$ dan $\abs{q - 1} = 1$ adalah $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$ ). Jadi $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Untuk $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ (sebuah segitiga langsung): pilihan $\eu^{-\iu\pi/3}$ memberikan

p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,

yang terletak di seberang garis $BC$ ( $x + y = 1$ ) dari $a = 0$ : yaitu arah luar. Pilihan $\eu^{+\iu\pi/3}$ memberikan $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$ , pada sisi yang sama dengan $a$ : yaitu arah dalam.

4. Kalikan $P = a + jb + j^2c$ dengan $j^2$ : $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (memakai $j^3 = 1$ , $j^4 = j$ ); lalu kalikan dengan $j$ : $jP = ja + j^2 b + c$ . Itulah kedua kesamaannya. Jika $P = 0$ maka $j^2 P = jP = 0$ : kriterianya berlaku untuk $(b, c, a)$ dan $(c, a, b)$ juga — yaitu keinvarianan siklik (memang harus demikian: sebuah segitiga sama sisi tak peduli titik sudut mana yang didaftar lebih dulu).

5. Jika $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (memakai $1 + j = -j^2$ ), sehingga $c = a$ . Jika $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$ , sehingga $a = b$ . Jika $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$ , sehingga $a = b$ . Pada masing-masing kasus ketiga titiknya berimpit.

6. $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ dengan $a'a \neq 0$ : bentuknya sama. Invers $z \mapsto az + b$ adalah $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$ , yang lagi-lagi berbentuk sama. Dengan pemetaan identitas sebagai unsur netralnya, semua kesebangunan langsung membentuk grup terhadap komposisi.

7. $f(z) = az + b$ memenuhi $f(z_1) = w_1$ , $f(z_2) = w_2$ jika dan hanya jika $a z_1 + b = w_1$ dan $a z_2 + b = w_2$ ; dengan mengurangkannya, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$ , jadi

a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1

terpaksa berlaku, dan sebaliknya pilihan itu memang memenuhi: itulah keberadaan dan ketunggalannya.

8. $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : semua jarak dikalikan $\abs a$ . Untuk bentuknya:

\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .

Jika dua segitiga $(a', b', c')$ dan $(a'', b'', c'')$ mempunyai bentuk yang sama, misalkan $f$ satu-satunya kesebangunan langsung dengan $f(a') = a''$ dan $f(b') = b''$ (pertanyaan 7); maka bentuk $(a'', b'', f(c'))$ sama dengan bentuk $(a', b', c')$ , jadi juga bentuk $(a'', b'', c'')$ , dan bentuk itu menentukan titik sudut ketiga dari kedua titik sudut pertamanya: $f(c') = c''$ . Sebaliknya kesamaan bentuk menyusul dari keinvarianan yang ditampilkan tadi.

9. $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ memberikan $a = \iu - 1$ . Rasionya $\abs a = \sqrt2$ , sudutnya $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$ . Titik tetapnya:

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .

Jadi $f$ adalah kesebangunan langsung berpusat $\frac{2+\iu}5$ , berasio $\sqrt2$ dan bersudut $\frac{3\pi}4$ .

10. Dengan $\alpha + \beta = 1$ dan $f(z) = az + b$ :

f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') ,

dengan kuncinya adalah $b = (\alpha + \beta)b$ . Titik tengah ( $\alpha = \beta = \frac12$ ), titik berat (dengan mengiterasikannya), dan pusat Napoleon $\alpha b + \beta c$ di bawah karena itu bersifat ekuivarian: mentransformasikan segitiganya berarti mentransformasikan mereka juga. Jadi membuktikan sebuah pernyataan yang invarian terhadap kesebangunan untuk satu segitiga yang ditempatkan baik sudah membuktikannya untuk semua — itulah izin yang dipakai pada pertanyaan 21.

11. Puncak arah luar pada $[b, c]$ adalah $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (pertanyaan 3), jadi pusatnya adalah

n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c ,

dengan $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ dan $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$ . Perhitungan yang sama pada sisi $[c, a]$ dan $[a, b]$ memberikan $n_b = \alpha c + \beta a$ dan $n_c = \alpha a + \beta b$ (yaitu pergeseran siklik perannya).

12. $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$ . Jadi

\frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :

kedua segitiga itu berbagi titik beratnya.

13. Kelompokkan menurut $\alpha$ dan $\beta$ lalu terapkan kesamaan pertanyaan 4 pada $P = a + jb + j^2c$ :

n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P .

14. Dengan $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ :

\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,

sehingga $\alpha j + \beta = 0$ , jadi $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , dan pertanyaan 13 memberikan $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ untuk setiap segitiga $(a, b, c)$ . Menurut kriterianya (pertanyaan 4–5), pusat-pusatnya membentuk segitiga sama sisi langsung atau sebuah titik tunggal: itulah teorema Napoleon.

15. Puncak arah dalamnya adalah $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$ , dan perhitungan pertanyaan 11 dengan $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ menukarkan $\alpha$ dan $\beta$ : $m_a = \beta b + \alpha c$ , $m_b = \beta c + \alpha a$ , $m_c = \beta a + \alpha b$ . Dengan memakai kesamaan analognya $b + j^2c + ja = j\,Q$ dan $c + j^2a + jb = j^2 Q$ untuk $Q = a + j^2b + jc$ :

m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,

karena $\alpha j = -\beta$ (pertanyaan 14). Jadi pusat yang di dalam memenuhi kriteria sama sisi tak langsung: sama sisi dengan orientasi yang berlawanan (atau sebuah titik).

16. Menurut pertanyaan 5 yang diterapkan pada tripel $(n_a, n_b, n_c)$ (yang memenuhi kriteria langsung), dua pusat berimpit jika dan hanya jika ketiganya berimpit; dan ketiganya berimpit jika dan hanya jika kedua kriterianya berlaku, yakni jika dan hanya jika berlaku pula $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$ . Hitunglah seperti pada pertanyaan 13, dengan kesamaan $b + j^2c + ja = jQ$ , $c + j^2a + jb = j^2Q$ :

n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .

Secara langsung: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$ , sehingga $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$ . Jadi segitiga Napoleon luarnya merosot jika dan hanya jika $Q = a + j^2b + jc = 0$ , yakni jika dan hanya jika $(a, b, c)$ merupakan segitiga sama sisi tak langsung — dan dalam hal itu semua konstruksi “arah luar” justru menunjuk ke dalam daerah terlingkupi segitiganya dan berbagi satu pusat.

17. Dengan $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ :

n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .

Kuadrat sisinya: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ memberikan $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ ; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ memberikan $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ memberikan nilai yang sama lagi. Ketiga kuadrat sisinya sama dengan $\frac{2 + \sqrt3}3$ : jadi sama sisi, sesuai janjinya.

18. Jabarkan:

(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd ,

dan $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : keduanya sama.

19. Ambil modulus pada pertanyaan 18 lalu terapkan ketaksamaan segitiga (Proposisi 3.2 (4)):

AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC ,

dengan kesamaan jika dan hanya jika kedua sukunya terletak pada satu sinar garis yang sama dari $0$ (yakni kasus kesamaan pada ketaksamaan segitiga).

20. Pemfaktoran setengah sudut (Metode 3.11 (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$ , dan mengambil modulusnya mematikan faktor yang bermodulus satu: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .

21. Dengan $p = \eu^{\iu\theta}$ , $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , pertanyaan 20 memberikan

PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .

Pada busur itu, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : maka $\sin\frac\theta2 > 0$ ; lalu $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$ , jadi sinus kedua bernilai positif; dan $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$ , jadi yang ketiga negatif sehingga $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$ . Dari jumlah ke hasil kali:

\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 ,

jadi $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : itulah teorema van Schooten.

22. Pada $p = -1$ : $PA = 2$ , $PB = PC = 1$ dan semua sisi segitiga sama sisinya berpanjang $\sqrt3$ , sehingga kedua ruas Ptolemeus terbaca $2\sqrt3$ . Secara aljabar, dengan memakai $-1 - j^2 = j$ dan $1 + j = -j^2$ :

(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 ,

(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 .

Kedua sukunya sama, jadi rasionya $1 \in \R_{>0}$ : yaitu kasus kesamaan pertanyaan 19, yang cocok persis dengan $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$ .

23. Untuk $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ : $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (pertanyaan 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; secara numerik $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$ . Demikian pula $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ dan $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$ . Jadi segitiga Napoleon luar dari $(1, j, j^2)$ adalah $(-1, -j, -j^2)$ : yaitu segitiga aslinya yang dicerminkan lewat titik beratnya $0$ — berukuran sama, terputar setengah putaran. Segitiga sama sisi adalah bentuk tetap bagi konstruksi Napoleon, bukan limit yang menyusut.

24. (i) Perkalian dengan bilangan bermodulus satu sebagai rotasi membangun puncak dan pusatnya (pertanyaan 2–3, 11) dan mengubah jarak pada lingkaran menjadi sinus (pertanyaan 20). (ii) Struktur grupnya beserta bentuk yang invarian membenarkan penormalan lingkaran luarnya menjadi lingkaran satuan dan segitiganya menjadi $(1, j, j^2)$ pada pertanyaan 21, lewat keekuivarianan pertanyaan 10. (iii) Pemfaktoran setengah sudut menggerakkan baik pertanyaan 20 maupun langkah jumlah-ke-hasil-kali yang menuntaskan van Schooten.

25. Kamus itu mengubah pernyataan geometris menjadi kesamaan polinomial yang setiap hipotesisnya berupa persamaan: yang dibelinya adalah mekanisasi — teorema Napoleon menyusut menjadi $\alpha j + \beta = 0$ , satu baris aritmetika di $\Q(\iu\sqrt3)$ ; yang dibayarnya adalah keterlihatan geometris — perhitungan itu mengesahkan tetapi tidak memperlihatkan mengapa pusat-pusatnya menutup menjadi segitiga sama sisi. Jawaban yang adil adalah bahwa kesamaan itu menjelaskan keniscayaan teoremanya (ia berlaku secara identik dalam $a, b, c$ , jadi tak ada kecerdikan konfigurasi yang terlibat), sedangkan gambarnya menjelaskan isinya. Kamus yang sama kembali dalam bentuk matriks ketika rotasi ini menjelma menjadi matriks ortogonal $2 \times 2$ pada Bab 21 dan Bab 23, yang di sana “perkalian dengan $\eu^{\iu\theta}$ ” menjadi prototipe isometri linear.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium

3.1 Lapangan C\CC, modulus dan konjugat

3.2 Bentuk eksponensial

3.3 Akar bilangan kompleks

3.4 Bilangan kompleks dan geometri bidang

3.5 Latihan

3.6 Soal: Teorema Napoleon

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

3.1 Lapangan $\C$ , modulus dan konjugat