O que é representação?

Exemplo 5.2

(a) Grau $1$: morfismos $G \to \C^\times$. (b) A representação regular: $V = \C^G$ com base $(e_h)_{h \in G}$, $\rho(g)e_h = e_{gh}$; de grau $\abs G$. (c) Uma ação por permutações de $G$ sobre um conjunto finito $X$ dá a representação de permutação em $\C^X$: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ age em $\C^n$ permutando as coordenadas; o hiperplano $\{\sum x_i = 0\}$ é invariante: é a representação padrão, de grau $n - 1$.

Exemplo 5.15 (A tabela de $S_3$)

Classes: $e$ (tamanho 1), transposições (3), $3$-ciclos (2); logo $r = 3$ irredutíveis, de graus $n_i$ com $\sum n_i^2 = 6$: $1, 1, 2$. Grau $1$: a trivial $\mathbf 1$ e a assinatura $\varepsilon$. A última linha decorre da ortogonalidade das colunas (ou de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

Verificação: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: é irredutível.

Exemplo 5.16 (A tabela de $S_4$)

Classes: $e$ [1], transposições [6], transposições duplas [3], $3$-ciclos [8], $4$-ciclos [6]: cinco irredutíveis, $\sum n_i^2 = 24$ com duas de grau $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): graus $1, 1, 2, 3, 3$. A de grau $2$ se levanta de $S_4/V \cong S_3$ (Proposição 5.13(b), com $V$ o grupo de Klein); as de grau $3$: a representação padrão e sua torção por $\varepsilon$:

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; $\chi_2$ avalia a tabela de $S_3$ na imagem de cada classe módulo $V$.) Todas as verificações de ortogonalidade de linhas e colunas passam — fazer duas delas é o aquecimento do Exercício 5.3.