Qu'est-ce que « représentation » ?

Exemple 5.2

(a) Degré $1$ : morphismes $G \to \C^\times$. (b) La représentation régulière : $V = \C^G$ de base $(e_h)_{h \in G}$, $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; degré $\abs G$. (c) Une action de permutation de $G$ sur un ensemble fini $X$ donne la représentation de permutation sur $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ agit sur $\C^n$ en permutant les coordonnées ; l’hyperplan $\{\sum x_i = 0\}$ est invariant : la représentation standard, de degré $n - 1$.

Exemple 5.15 (La table de $S_3$)

Classes : $e$ (taille $1$), transpositions ($3$), $3$-cycles ($2$) ; donc $r = 3$ irréductibles, de degrés $n_i$ avec $\sum n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$. Degré $1$ : triviale $\mathbf 1$ et signature $\varepsilon$. La dernière ligne suit de l’orthogonalité des colonnes (ou de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$) :

Vérification : $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}} \rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : irréductible.

Exemple 5.16 (La table de $S_4$)

Classes : $e$ [1], transpositions [6], doubles transpositions [3], $3$-cycles [8], $4$-cycles [6] : cinq irréductibles, $\sum n_i^2 = 24$ avec deux de degré $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$) : degrés $1, 1, 2, 3, 3$. Le degré $2$ se relève de $S_4/V \cong S_3$ (Proposition 5.13(b), $V$ le groupe de Klein) ; degré $3$ : la représentation standard et sa torsion par $\varepsilon$ :

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ évalue la table de $S_3$ sur l’image de chaque classe mod $V$.) Toutes les vérifications d’orthogonalité de lignes et colonnes passent — en faire deux est l’échauffement de Exercice 5.3.