ما معنى تمثيل؟

مثال 5.2

(a) الدرجة $1$: التشاكلات $G \to \C^\times$. (b) التمثيل المنتظم: $V = \C^G$ بالأساس $(e_h)_{h \in G}$، $\rho(g)e_h = e_{gh}$؛ ودرجته $\abs G$. (c) يعطي فعلٌ تبديلي للزمرة $G$ على مجموعة منتهية $X$ التمثيل التبديلي على $\C^X$: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) تفعل $S_n$ على $\C^n$ بتبديل الإحداثيات؛ والفضاء الفائق $\{\sum x_i = 0\}$ صامد: وهو التمثيل المعياري، ودرجته $n - 1$.

مثال 5.15 (جدول $S_3$)

الأصناف: $e$ (وعدد عناصره 1)، والمبادلات (3)، والدورات الثلاثية (2)؛ ومنه $r = 3$ تمثيلًا غير قابل للاختزال، بدرجات $n_i$ تحقق $\sum n_i^2 = 6$: أي $1, 1, 2$. والدرجة $1$: الطابع التافه $\mathbf 1$ والإشارة $\varepsilon$. ويأتي السطر الأخير من تعامد الأعمدة (أو من $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

تحقق: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: أي إنه غير قابل للاختزال.

مثال 5.16 (جدول $S_4$)

الأصناف: $e$ [1]، والمبادلات [6]، والمبادلات المزدوجة [3]، والدورات الثلاثية [8]، والدورات الرباعية [6]: أي خمسة تمثيلات غير قابلة للاختزال، $\sum n_i^2 = 24$ مع طابعين من الدرجة $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$؛ $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): فالدرجات $1, 1, 2, 3, 3$. ويُرفع الطابع ذو الدرجة $2$ من $S_4/V \cong S_3$ (القضية 5.13(b)، حيث $V$ زمرة كلاين)؛ وأما الدرجة $3$: فالتمثيل المعياري وفتله بالطابع $\varepsilon$:

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$؛ ويقيّم $\chi_2$ جدولَ $S_3$ على صورة كل صنف بترديد $V$.) وتنجح جميع فحوص تعامد الأسطر والأعمدة — وتشغيل اثنين منها هو تمرين التمهيد في التمرين 5.3.