निरूपण क्या है?

उदाहरण 5.2

(क) घात $1$: समाकारिताएँ $G \to \C^\times$। (ख) नियमित निरूपण: आधार $(e_h)_{h \in G}$ वाला $V = \C^G$, जिसमें $\rho(g)e_h = e_{gh}$; घात $\abs G$। (ग) किसी परिमित समुच्चय $X$ पर $G$ की क्रमचय क्रिया $\C^X$ पर क्रमचय निरूपण देती है: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$। (घ) $S_n$ निर्देशांकों का क्रमचय करके $\C^n$ पर क्रिया करता है; अधिसमतल $\{\sum x_i = 0\}$ अपरिवर्ती है: यही घात $n - 1$ का मानक निरूपण है।

उदाहरण 5.15 ($S_3$ की सारणी)

वर्ग: $e$ (आकार 1), स्थानांतरण (3), $3$-चक्र (2); अतः $r = 3$ अखंडनीय, जिनकी घातें $\sum n_i^2 = 6$ के साथ $n_i$ हैं: $1, 1, 2$। घात $1$: तुच्छ $\mathbf 1$ और चिह्न $\varepsilon$। अंतिम पंक्ति स्तंभ लांबिकता से (अथवा $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ से) निकलती है:

जाँच: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: अखंडनीय।

उदाहरण 5.16 ($S_4$ की सारणी)

वर्ग: $e$ [1], स्थानांतरण [6], द्विक स्थानांतरण [3], $3$-चक्र [8], $4$-चक्र [6]: पाँच अखंडनीय, $\sum n_i^2 = 24$, जिनमें दो घात-$1$ के हैं ($\mathbf 1, \varepsilon$; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): अतः घातें $1, 1, 2, 3, 3$। घात-$2$ वाला $S_4/V \cong S_3$ से उठता है (प्रतिज्ञप्ति 5.13(ख), जहाँ $V$ क्लाइन समूह है); और घात $3$: मानक निरूपण तथा $\varepsilon$ से उसका मोड़:

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; $\chi_2$ प्रत्येक वर्ग के $V$ के सापेक्ष प्रतिबिंब पर $S_3$-सारणी का मान लेता है।) सभी पंक्ति और स्तंभ लांबिकता जाँचें सफल होती हैं — उनमें से दो चलाना अभ्यास 5.3 का प्रारंभिक अभ्यास है।