निरूपण क्या है? — गणित

परिभाषा 5.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 5 — परिमित समूहों के निरूपण

$G$ का कोई निरूपण किसी $\C$ -सदिश समष्टि $V$ के लिए एक समाकारिता $\rho \colon G \to GL(V)$ है; $\dim V$ उसकी घात कहलाती है। कोई उपसमष्टि $W \subseteq V$ अपरिवर्ती कहलाती है यदि सभी $g$ के लिए $\rho(g)W \subseteq W$ हो; प्रतिबंध से $W$ एक उपनिरूपण बन जाता है। $\rho$ अखंडनीय कहलाता है यदि $V \neq 0$ हो और उसकी एकमात्र अपरिवर्ती उपसमष्टियाँ $0$ और $V$ हों। $(\rho, V)$ और $(\sigma, W)$ के बीच समाकारिता ऐसा रैखिक $f\colon V \to W$ है जिसके लिए सभी $g$ पर $f\rho(g) = \sigma(g)f$ हो (समतुल्यवर्तिता); एकैकी आच्छादक $f$ तुल्याकारिताएँ कहलाती हैं।

उदाहरण

उदाहरण 5.2

(क) घात $1$ : समाकारिताएँ $G \to \C^\times$ । (ख) नियमित निरूपण: आधार $(e_h)_{h \in G}$ वाला $V = \C^G$ , जिसमें $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; घात $\abs G$ । (ग) किसी परिमित समुच्चय $X$ पर $G$ की क्रमचय क्रिया $\C^X$ पर क्रमचय निरूपण देती है: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ । (घ) $S_n$ निर्देशांकों का क्रमचय करके $\C^n$ पर क्रिया करता है; अधिसमतल $\{\sum x_i = 0\}$ अपरिवर्ती है: यही घात $n - 1$ का मानक निरूपण है।

उदाहरण 5.15 ( $S_3$ की सारणी)

वर्ग: $e$ (आकार 1), स्थानांतरण (3), $3$ -चक्र (2); अतः $r = 3$ अखंडनीय, जिनकी घातें $\sum n_i^2 = 6$ के साथ $n_i$ हैं: $1, 1, 2$ । घात $1$ : तुच्छ $\mathbf 1$ और चिह्न $\varepsilon$ । अंतिम पंक्ति स्तंभ लांबिकता से (अथवा $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ से) निकलती है:

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

जाँच: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : अखंडनीय।

उदाहरण 5.16 ( $S_4$ की सारणी)

वर्ग: $e$ [1], स्थानांतरण [6], द्विक स्थानांतरण [3], $3$ -चक्र [8], $4$ -चक्र [6]: पाँच अखंडनीय, $\sum n_i^2 = 24$ , जिनमें दो घात- $1$ के हैं ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): अतः घातें $1, 1, 2, 3, 3$ । घात- $2$ वाला $S_4/V \cong S_3$ से उठता है (प्रतिज्ञप्ति 5.13(ख), जहाँ $V$ क्लाइन समूह है); और घात $3$ : मानक निरूपण तथा $\varepsilon$ से उसका मोड़:

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ प्रत्येक वर्ग के $V$ के सापेक्ष प्रतिबिंब पर $S_3$ -सारणी का मान लेता है।) सभी पंक्ति और स्तंभ लांबिकता जाँचें सफल होती हैं — उनमें से दो चलाना अभ्यास 5.3 का प्रारंभिक अभ्यास है।

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