¿Qué es representación?

Ejemplo 5.2

(a) Grado $1$: los morfismos $G \to \C^\times$. (b) La representación regular: $V = \C^G$ con base $(e_h)_{h \in G}$, $\rho(g)e_h = e_{gh}$; grado $\abs G$. (c) Una acción por permutaciones de $G$ sobre un conjunto finito $X$ da la representación de permutación sobre $\C^X$: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ actúa sobre $\C^n$ permutando las coordenadas; el hiperplano $\{\sum x_i = 0\}$ es invariante: la representación estándar, de grado $n - 1$.

Ejemplo 5.15 (La tabla de $S_3$)

Clases: $e$ (tamaño 1), las trasposiciones (3) y los $3$-ciclos (2); luego hay $r = 3$ irreducibles, de grados $n_i$ con $\sum n_i^2 = 6$: $1, 1, 2$. Grado $1$: la trivial $\mathbf 1$ y la signatura $\varepsilon$. La última fila se sigue de la ortogonalidad por columnas (o de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

Comprobación: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: irreducible.

Ejemplo 5.16 (La tabla de $S_4$)

Clases: $e$ [1], trasposiciones [6], dobles trasposiciones [3], $3$-ciclos [8], $4$-ciclos [6]: cinco irreducibles, $\sum n_i^2 = 24$ con dos de grado $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): grados $1, 1, 2, 3, 3$. La de grado $2$ se eleva desde $S_4/V \cong S_3$ (la Proposición 5.13(b), con $V$ el grupo de Klein); grado $3$: la representación estándar y su torsión por $\varepsilon$:

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; $\chi_2$ evalúa la tabla de $S_3$ sobre la imagen de cada clase módulo $V$.) Todas las comprobaciones de ortogonalidad por filas y columnas salen bien — ejecutar dos de ellas es el calentamiento del Ejercicio 5.3.