Wat is representatie?

Voorbeeld 5.2

(a) Graad $1$: de morfismen $G \to \C^\times$. (b) De reguliere representatie: $V = \C^G$ met basis $(e_h)_{h \in G}$ en $\rho(g)e_h = e_{gh}$; graad $\abs G$. (c) Een permutatiewerking van $G$ op een eindige verzameling $X$ geeft de permutatierepresentatie op $\C^X$: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) $S_n$ werkt op $\C^n$ door de coördinaten te permuteren; het hypervlak $\{\sum x_i = 0\}$ is invariant: de standaardrepresentatie, van graad $n - 1$.

Voorbeeld 5.15 (De tafel van $S_3$)

Klassen: $e$ (grootte 1), de transposities (3), de $3$-cykels (2); dus $r = 3$ irreducibele representaties, van graden $n_i$ met $\sum n_i^2 = 6$: $1, 1, 2$. Graad $1$: het triviale karakter $\mathbf 1$ en de signatuur $\varepsilon$. De laatste rij volgt uit de kolomorthogonaliteit (of uit $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

Controle: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: irreducibel.

Voorbeeld 5.16 (De tafel van $S_4$)

Klassen: $e$ [1], de transposities [6], de dubbele transposities [3], de $3$-cykels [8] en de $4$-cykels [6]: vijf irreducibele representaties met $\sum n_i^2 = 24$ en twee van graad $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; want $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): graden $1, 1, 2, 3, 3$. Die van graad $2$ tilt zich op uit $S_4/V \cong S_3$ (Propositie 5.13(b), met $V$ de viergroep van Klein); graad $3$: de standaardrepresentatie en haar twist met $\varepsilon$:

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; en $\chi_2$ evalueert de $S_3$-tafel op het beeld van elke klasse modulo $V$.) Alle rij- en kolomcontroles slagen — twee ervan uitvoeren is de opwarmer van Oefening 5.3.