Wat is norm? — Wiskunde

Definitie 5.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 5 — Genormeerde vectorruimten

Een norm op $E$ is een afbeelding $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ met, voor alle $x, y \in E$ en $\lambda \in K$ ,

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Dan is $d(x, y) = \norm{x - y}$ een afstand en is heel Hoofdstuk 4 van toepassing. De omgekeerde driehoeksongelijkheid $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ maakt de norm zelf $1$ -Lipschitz; de optelling en de scalaire vermenigvuldiging zijn continu (schattingen $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , enzovoort).

Voorbeelden

Voorbeeld 5.2

Op $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ is een norm wegens Cauchy–Schwarz, volume van bachelorjaar 1). Op $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

waarbij de laatste twee normen zijn dankzij de strikte positiviteit van de integraal en de integraalversie van Cauchy–Schwarz (volume van bachelorjaar 1). Op matrices: elke norm op $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; de operatornormen hieronder zijn de structureel belangrijke.

Voorbeeld 5.4 (Geen equivalentie in oneindige dimensie)

Op $C(\intcc{0}{1})$ geldt altijd $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ , maar er is geen omgekeerde grens: $f_n(x) = x^n$ heeft $\norm{f_n}_\infty = 1$ en $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Dus $f_n \to 0$ voor $\norm\cdot_1$ maar niet voor $\norm\cdot_\infty$ : de twee normen zijn het oneens over de convergentie zelf.

Voorbeeld 5.5 (Expliciete constanten in dimensie $n$ )

Op $K^n$ zijn de drie klassieke normen equivalent met scherpe constanten:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

waarbij de middelste grens $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ uit Cauchy–Schwarz tegen de vector vol enen komt. Extremale vectoren: $e_1$ maakt de eerste twee ongelijkheden tot gelijkheden, en $(1, 1, \dots, 1)$ de laatste twee. De dimensie $n$ zit zichtbaar in de constanten — het kwantitatieve zaad van het falen in oneindige dimensie: als $n \to \infty$ overleeft geen enkele uniforme constante, en dat is precies wat Voorbeeld 5.4 op functieruimten laat zien.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen