Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

18Krommen

De meetkunde wordt nu differentiaal. Een kromme is een punt dat door de ruimte beweegt; de analyse levert snelheid en versnelling, en de meetkunde vraagt wat intrinsiek is — onafhankelijk van hoe snel we de baan doorlopen. De antwoorden zijn de booglengte, die de baan zelf meet, en de kromming, die meet hoe ze buigt. In dimensie $3$ meet een tweede invariant, de torsie, hoe de kromme uit haar vlak verdraait. Het boekhoudapparaat voor dit alles is het bewegende Frenet-raam.

18.1 Geparametriseerde bogen

Definitie 18.1 (Geparametriseerde boog)

Een geparametriseerde boog van klasse $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) is een afbeelding $\gamma \colon I \to \R^n$ van klasse $\mathcal{C}^k$ op een interval $I$ . Een punt $\gamma(t)$ is regulier als $\gamma'(t) \neq 0$ , en de boog is regulier als al haar punten dat zijn. De rechte door $\gamma(t)$ gericht door $\gamma'(t)$ is de raaklijn in een regulier punt.

Definitie 18.2 (Parameterwisseling)

Een parameterwisseling van klasse $\mathcal{C}^k$ is een $\mathcal{C}^k$ -diffeomorfisme $\theta \colon J \to I$ tussen intervallen ( $\theta' \neq 0$ overal). De bogen $\gamma$ en $\gamma \circ \theta$ heten equivalent; een meetkundige boog (of kromme) is een equivalentieklasse. Begrippen die invariant zijn onder parameterwisseling — de baan, de raaklijn, de booglengte, de kromming — heten meetkundig.

Opmerking 18.3

De baan alleen bepaalt de meetkundige boog niet: de parametrisaties $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ op $[0, 2\pi]$ en op $[0, 4\pi]$ hebben hetzelfde beeld maar doorlopen de cirkel één en twee keer. Een meetkundige boog onthoudt de multipliciteit en oriëntatie van de doorloping, niet haar snelheid.

Voorbeeld 18.4 (Snelheid verandert niets meetkundigs)

Parametriseer de eenheidscirkel door

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

De snelheid $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ groeit lineair, maar

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

dezelfde lengte als bij constante snelheid — zoals Stelling 18.7 belooft, via de parameterwisseling $t \mapsto t^2$ . De raaklijn, de kromming berekend uit Propositie 18.17, en elke andere meetkundige grootheid komen eveneens overeen; alleen $t = 0$ verdient een blik, waar $\gamma'(0) = 0$ deze parametrisatie irregulier maakt hoewel de baan een perfecte cirkel is. Meetkundige uitspraken verdragen slechte parametrisaties slecht: herparametriseer eerst, concludeer daarna.

Voorbeeld 18.5

De boog $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ is $\mathcal{C}^\infty$ maar niet regulier: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Haar baan, de semicubische parabool $y^2 = x^3$ , heeft een keerpunt in de oorsprong: gladheid van de parametrisatie verhindert geen meetkundige singulariteit waar de snelheid verdwijnt. Daarom is de regulariteitshypothese $\gamma' \neq 0$ geen cosmetica.

18.2 Booglengte

Definitie 18.6 (Booglengte)

Zij $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ een $\mathcal{C}^1$ -boog. Haar lengte is

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

waar $\norm{\cdot}$ de euclidische norm is. De booglengtefunctie gebaseerd in $t_0$ is $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Stelling 18.7 (Lengte is meetkundig; polygonale karakterisering)

Als $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ een $\mathcal{C}^1$ -parameterwisseling is, dan $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
$L(\gamma)$ is het supremum van de lengten van ingeschreven polygonen:

$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$

Bewijs. 1. Door de variabelensubstitutie $t = \theta(u)$ (volume Jaar 1, geldig omdat $\theta$ $\mathcal{C}^1$ monotoon is),

\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u = \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,

waar we $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot (\gamma'\circ\theta)$ gebruikten en, als $\theta$ dalend is, het teken van $\theta'$ door de omkering van de grenzen wordt opgenomen.

2. Voor elke onderverdeling, $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$ , dus door de driehoeksongelijkheid voor integralen $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : elke polygoon is korter dan $L(\gamma)$ , dus $\sup \leq L(\gamma)$ .

Voor de omgekeerde ongelijkheid, zij $\varepsilon > 0$ . Omdat $\gamma'$ continu is op het compacte $[a,b]$ , is ze uniform continu: er is $\delta > 0$ met $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq \varepsilon$ wanneer $\abs{t - u} \leq \delta$ . Neem een onderverdeling van stap $\leq \delta$ . Op elk stuk, voor $t \in [t_{i-1}, t_i]$ ,

\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t = (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i, \qquad \norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),

omdat $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) - \gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$ . Dus

\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})} - \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .

Optellen, en $\sum (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ vergelijken met $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (een Riemannsom van de continue functie $\norm{\gamma'}$ , binnen $\varepsilon(b - a)$ van de integraal voor $\delta$ klein genoeg door opnieuw uniforme continuïteit), levert een polygoon van lengte $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$ . Laten $\varepsilon \to 0$ bewijst de bewering. ∎

Voorbeeld 18.8 (Archimedes en de ingeschreven polygonen)

Voor de eenheidscirkel heeft de ingeschreven regelmatige $n$ -hoek lengte $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , en de ontwikkeling $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ geeft

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

de polygonale lengten van Stelling 18.7 convergeren kwadratisch. Numeriek: $L_6 = 6$ (de zeshoek, die de ruwe $\pi > 3$ geeft), terwijl $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ tegen $2\pi \approx 6.28319$ — de fout $0.00113$ stemt overeen met de voorspelde $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . Daarom kon Archimedes, door de zeshoek vijfmaal te verdubbelen tot $96$ zijden, $\pi$ met de hand tot drie cijfers inklemmen: elke verdubbeling deelt de fout door vier. Het supremum in de polygonale karakterisering wordt niet alleen in de limiet bereikt; het wordt snel bereikt, omdat een gladde kromme van haar koorden slechts op tweede orde scheidt.

Stelling 18.9 (Booglengteparametrisatie)

Zij $\gamma \colon I \to \R^n$ een reguliere $\mathcal{C}^k$ -boog ( $k \geq 1$ ). De booglengtefunctie $s$ is een $\mathcal{C}^k$ -diffeomorfisme van $I$ op een interval $J$ , en $\tilde\gamma = \gamma \circ s^{-1}$ voldoet aan $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ overal. Op een translatie van de parameter en de oriëntatie na is deze booglengte- (of eenheidssnelheids-)parametrisatie uniek.

Bewijs. $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ en $s'$ is $\mathcal{C}^{k-1}$ (samenstelling van de $\mathcal{C}^{k-1}$ -afbeelding $\gamma'$ met de norm, glad weg van $0$ ), dus is $s$ $\mathcal{C}^k$ , strikt stijgend, een bijectie op $J = s(I)$ , en haar inverse is $\mathcal{C}^k$ door de inversefunctiestelling in dimensie $1$ (volume Jaar 1). Dan

\tilde\gamma'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{s'(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}}, \qquad t = s^{-1}(\sigma),

een eenheidsvector. Als $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ een andere eenheidssnelheidsparametrisatie is, dan $\abs{\theta'} = 1$ , dus $\theta' = \pm 1$ constant (continuïteit), d.w.z. $\theta(u) = \pm u + c$ . ∎

Opmerking 18.10

Booglengte is de parameter die meetkunde van dynamica scheidt. Een baan kan met elk snelheidsprofiel worden doorlopen — de fysica van de beweging — maar elke parametrisatie-invariante vraag (vorm, buiging, osculatie) heeft een canonieke klok, de afgelegde afstand. Daarom worden alle krommingsformules hieronder gedefinieerd bij eenheidssnelheid en daarna naar willekeurige parametrisaties vertaald door de kettingregel: de vertaalfactoren zijn machten van $v = s'$ , en die correct bijhouden is de gehele inhoud van Propositie 18.17.

Voorbeeld 18.11 (Cirkel en schroeflijn)

Voor de cirkel $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $\norm{\gamma'} = R$ , dus $s = Rt$ en de lengte van een volle omwenteling is $2\pi R$ . Voor de schroeflijn $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ met $a > 0$ , is $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ constant: de schroeflijn wordt met constante snelheid doorlopen, en $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Voorbeeld 18.12 (Booglengte in poolcoördinaten)

Een poolkromme $r = r(\theta)$ is de boog $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , met

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(de kruistermen heffen op): het poolse lengte-element is $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Voor de cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

en op $\intcc{-\pi}{\pi}$ is de halve-hoekcosinus niet-negatief, dus

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

zoals de cycloïdeboog van Oefening 18.1 heeft een kromme gebouwd uit cirkels een rationale lengte, zonder $\pi$ ergens. De halve-hoekfactorisatie is de standaardtruc voor lengten van cirkel-gegenereerde krommen; wanneer ze faalt (de ellips), is de lengte een echt nieuwe functie — een elliptische integraal, voorbij elementaire gesloten vormen.

18.3 Kromming in het vlak

Doorheen deze paragraaf zijn bogen $\mathcal{C}^2$ en regulier in het georiënteerde euclidische vlak. We parametriseren op booglengte en schrijven $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ voor de eenheidstangens, en $N(s)$ voor de eenheidsvector direct orthogonaal op $T(s)$ (rotatie van $T$ over $+\pi/2$ ).

Stelling 18.13 (Vlakke Frenet-formules)

Zij $\tilde\gamma$ een eenheidssnelheids- $\mathcal{C}^2$ -boog in het georiënteerde vlak. Er is een continue functie $\kappa$ , de (algebraïsche) kromming, zodat

T'(s) = \kappa(s)\, N(s), \qquad N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).

Bewijs. Omdat $\norm{T(s)}^2 = 1$ voor alle $s$ , geeft differentiëren van het inwendig product $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ : $T'(s)$ is orthogonaal op $T(s)$ , dus collineair met $N(s)$ (dimensie $2$ ); schrijf $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ met $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$ , continu. Evenzo $N' \perp N$ , dus $N' = \lambda T$ ; en differentiëren van $\langle T, N\rangle = 0$ geeft $\langle T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$ . ∎

Definitie 18.14

Wanneer $\kappa(s) \neq 0$ , is de kromtestraal $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ en het kromtemiddelpunt is $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; de cirkel met dat centrum en straal $R(s)$ is de osculatiecirkel, de beste cirkelvormige benadering van de kromme in $\tilde\gamma(s)$ .

Voorbeeld 18.15 (De osculatiecirkel van de exponentiële)

Voor $y = \eu^x$ in het punt $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , dus door de grafiekformule hieronder,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

De eenheidstangens is $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , de directe normaal $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , en het kromtemiddelpunt is

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

de osculatiecirkel heeft vergelijking $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Als controle van de claim “beste cirkelvormige benadering”: de cirkelvergelijking naar $y$ oplossen nabij $(0,1)$ en ontwikkelen geeft $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — precies de tweede-orde Taylorontwikkeling van $\eu^x$ . De osculatiecirkel past waarde, richtingscoëfficiënt en tweede afgeleide; een gewone raakcirkel zou alleen de eerste twee passen.

Voorbeeld 18.16 (De evolute van een cirkel is haar centrum)

Voor de cirkel van straal $R$ linksom doorlopen, $\kappa = 1/R$ en $N$ wijst naar het centrum, dus is het kromtemiddelpunt $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ het centrum van de cirkel, voor elke $s$ : de osculatiecirkel van een cirkel is de cirkel zelf, en de meetkundige plaats van kromtemiddelpunten stort in tot een punt. Dit ontaarde geval kalibreert Oefening 18.6: daar is de snelheid van de evolute $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , die identiek verdwijnt precies wanneer $\kappa$ constant is.

Propositie 18.17 (Kromming in een willekeurige parametrisatie)

Voor een reguliere $\mathcal{C}^2$ vlakke boog $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ ,

\kappa(t) = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)} {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,

in het bijzonder $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ voor een grafiek $y = f(x)$ .

Bewijs. Schrijf $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$ , dus $\gamma' = vT$ (samenstellen van de eenheidssnelheidsgegevens met $s$ ). Differentiëren,

\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .

Neem nu de determinant (in de canonieke georiënteerde basis) van $(\gamma', \gamma'')$ : omdat $\det(T, T) = 0$ en $\det(T, N) = 1$ ,

\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N) = v^3\kappa .

De linkerkant is $x'y'' - y'x''$ , en $v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ . Het grafiekgeval is de parametrisatie $t \mapsto (t, f(t))$ . ∎

Voorbeeld 18.18 (Cirkel, rechte, parabool)

Een rechte heeft $\kappa = 0$ (en omgekeerd: $T' = 0$ betekent $T$ constant, dus $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , een rechte). De cirkel van straal $R$ linksom doorlopen heeft $\kappa = 1/R$ : met $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ geeft de formule $\kappa = R^2/R^3$ . Voor de parabool $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , maximaal in de top — de parabool is het scherpst gebogen waar ze omkeert.

Opmerking 18.19 (Klassieke valkuilen rond kromming)

(i) De algebraïsche kromming van een vlakke boog wisselt van teken wanneer de oriëntatie van de boog of van het vlak wordt omgekeerd: alleen $\abs\kappa$ en $R = 1/\abs\kappa$ zijn puur meetkundig. Een cirkel rechtsom doorlopen heeft $\kappa = -1/R$ . (ii) De grafiekformule $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ kiest stilzwijgend de parametrisatie op $x$ ; haar toepassen op een kromme die nabij het punt geen grafiek is (verticale raaklijn) is de klassieke blunder. (iii) In een punt waar $\gamma' = 0$ is niets gedefinieerd — noch $T$ noch $\kappa$ — en de baan kan echt breken (Voorbeeld 18.5); controleer altijd regulariteit voor je de eenheidstangens differentieert. (iv) In de ruimte is $\kappa = \norm{T'} \geq 0$ bij conventie: er is geen teken om fout te gaan, maar ook geen teken om uit te buiten — buigpuntachtige informatie verhuist naar de torsie. (v) Ten slotte is $\kappa$ een afgeleide naar booglengte: voor een niet-eenheidssnelheidsparametrisatie is vergeten van de factor $v^3$ in Propositie 18.17 de frequentste fout in de praktijk.

De parabool y = x2/2, haar bewegende Frenet-raam (T, N), en de osculatiecirkel in de top (straal 1, omdat (0) = 1). Het raam draait mee met het punt; kromming is de snelheid van die draaiing per eenheid booglengte. — **Figuur 18.1.** De parabool $y = x^2/2$ , haar bewegende Frenet-raam $(T, N)$ , en de osculatiecirkel in de top (straal $1$ , omdat $\kappa(0) = 1$ ). Het raam draait mee met het punt; kromming is de snelheid van die draaiing per eenheid booglengte.

Stelling 18.20 (Kromming bepaalt de kromme)

Zij $\kappa \colon J \to \R$ continu. Er bestaat een eenheidssnelheids- $\mathcal{C}^2$ -boog in het vlak met kromming $\kappa$ , en ze is uniek op een directe isometrie na (rotatie gevolgd door translatie).

Bewijs. Bestaan. Fixeer $s_0 \in J$ en stel $\varphi(s) = \int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$ , daarna

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\ \int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).

Dan is $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ een eenheidsvector, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , en

T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi) = \kappa(s)\,N(s) :

de boog is eenheidssnelheid met kromming $\kappa$ .

Uniciteit. Zij $\gamma_1, \gamma_2$ eenheidssnelheidsbogen met dezelfde kromming. Elke eenheidstangens lift tot een hoekfunctie, door een expliciete constructie: beschouw $T_j$ als het complexe getal $z_j = a_j + \iu b_j$ van modulus $1$ , kies $\varphi_j(0)$ met $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ , en stel

\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j, T_j'\bigr)(u)\,\dd u .

Uit $\abs{z_j} = 1$ : $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') = 0$ , dus $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') = \iu\,\varphi_j'$ , d.w.z. $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; daarna

\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)' = \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,

dus $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ doorheen: $T_j = (\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ met $\varphi_j$ van klasse $\mathcal C^1$ . Bovendien $\det(T_j, T_j') = \det(T_j, \kappa N_j) = \kappa$ , dus $\varphi_j' = \kappa$ . Vandaar $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ voor een constante $c$ : $T_2$ is $T_1$ geroteerd over de vaste hoek $c$ , dus door integreren $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ waar $\rho$ de rotatie over hoek $c$ is en $w$ een constante vector. ∎

Opmerking 18.21

Dit is het eendimensionale prototype van een fundamentele stelling van de meetkunde: een complete verzameling lokale invarianten (hier één functie) classificeert het object op een starre beweging na. De driedimensionale versie hieronder heeft twee invarianten nodig.

Voorbeeld 18.22 (Constante kromming betekent cirkel)

Neem $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ in de bestaansformule: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ en

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\ \frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :

de cirkel van straal $1/\kappa_0$ gecentreerd in $(0, 1/\kappa_0)$ , doorlopen met eenheidssnelheid. Door de uniciteitshelft van de stelling is elke eenheidssnelheidsboog van constante kromming $\kappa_0$ een stuk van een cirkel van straal $1/\kappa_0$ (of een rechte als $\kappa_0 = 0$ ) — het omgekeerde van de berekening in Voorbeeld 18.18, en het vlakke geval van Oefening 18.9.

Voorbeeld 18.23 (Een kromme reconstrueren uit haar kromming)

Welke eenheidssnelheidskromme heeft kromtestraal $R(s) = 1 + s^2$ ? Volgend op het bestaansbewijs met $\kappa(s) = \frac1{1+s^2}$ en $s_0 = 0$ : $\varphi(s) = \arctan s$ , dus

T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\ \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),

en integreren,

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\ \sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).

Met $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$ , d.w.z. $s = \sinh x$ , is de tweede coördinaat $\cosh x - 1$ : de kromme is de kettinglijn $y = \cosh x - 1$ . Dit sluit de lus met Oefening 18.3, waar we $R = \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x = 1 + s^2$ direct berekenden: de fundamentele stelling garandeert dat de kettinglijn de enige kromme is met dit krommingsprofiel, op een directe isometrie na.

Opmerking 18.24 (Waar kromming hierna wordt gebruikt)

De ontbinding $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ verkregen in het bewijs van Propositie 18.17 is de kinematica van elke gekromde beweging: tangentiële versus centripetale versnelling. Kromming keert terug voor oppervlakken (Hoofdstuk 19) via de kromming van erop getekende krommen, en de omhullendencalculus van het weekendprobleem van dit hoofdstuk — evoluten, caustieken — is de meetkundige optica van golfvlakken. Het volume van Jaar 3 neemt het intrinsieke standpunt opnieuw op voor deelvariëteiten van $\R^n$ .

18.4 Frenet-raam in de ruimte

Zij nu $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ een eenheidssnelheids- $\mathcal{C}^3$ -boog die biregulair is: $T'(s) \neq 0$ voor alle $s$ . Dan definieert $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ de kromming (geen teken in de ruimte: er is geen voorkeursoriëntatie van de normaal), en we stellen:

N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)} \quad\text{(hoofdnormaal)}, \qquad B(s) = T(s) \wedge N(s) \quad\text{(binormaal)} ,

zodat $(T, N, B)$ een direct orthonormaal raam is, het Frenet-raam. Het vlak door $\tilde\gamma(s)$ opgespannen door $T, N$ is het osculatievlak.

Stelling 18.25 (Frenet-formules in de ruimte)

Er is een continue functie $\tau$ , de torsie, met

T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N .

Bewijs. De eerste formule is de definitie van $N$ . Elk van de vectoren $T, N, B$ heeft constante norm $1$ en ze zijn paarsgewijs orthogonaal; differentiëren van de zes relaties $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ toont dat de matrix van $(T', N', B')$ in de basis $(T, N, B)$ antisymmetrisch is: immers $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ en $\langle X', X\rangle = 0$ . Haar $(N, T)$ -entry is $\langle N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$ , en haar $(T, B)$ -kolomentry $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$ . De resterende vrije entry $\tau = \langle N', B\rangle$ noemen geeft precies de drie weergegeven formules: antisymmetrie vult $\langle B', N\rangle = -\tau$ en $\langle B', T\rangle = 0$ in. Continuïteit van $\tau = \langle N', B\rangle$ is duidelijk omdat $N'$ en $B$ continu zijn ( $\tilde\gamma$ is $\mathcal{C}^3$ , dus $N = T'/\kappa$ is $\mathcal{C}^1$ ). ∎

Voorbeeld 18.26 (De Darboux-vector)

De drie Frenet-formules comprimeren tot één. Stel $\omega(s) = \tau\,T + \kappa\,B$ (de Darboux-vector). Met $B \wedge T = N$ , $T \wedge N = B$ , $N \wedge B = T$ :

\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad \omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad \omega \wedge B = -\tau\,N = B' :

elke raamvector evolueert door $X' = \omega \wedge X$ , de kinematische handtekening van een momentane rotatie met hoeksnelheidsvector $\omega$ . Het raam draait met snelheid $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ om de bewegende as $\omega$ ; kromming is de component van de draaiing om de binormaal, torsie de component om de tangens. Voor de schroeflijn is $\omega$ een constante vector langs de as van de cilinder — precies daarom precesseert het raam van de schroeflijn gelijkmatig. De antisymmetrie van de Frenet-matrix, uitgebuit in Oefening 18.7, is de matrixvorm van dit ene meetkundige feit.

Propositie 18.27 (Torsie meet planariteit)

Een biregulaire boog ligt in een vlak dan en slechts dan als $\tau \equiv 0$ ; in dat geval is het vlak het (constante) osculatievlak.

Bewijs. Als $\tau \equiv 0$ , dan $B' = 0$ , dus is $B$ een constante eenheidsvector $B_0$ , en

\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle = \langle T(s), B_0\rangle = 0 :

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ is constant, dus ligt de boog in een vlak orthogonaal op $B_0$ . Omgekeerd, als de boog in een vlak $P$ ligt, dan zijn $T$ en $T'$ (dus $N$ ) evenwijdig aan de richting van $P$ voor alle $s$ ; dus is $B = T \wedge N$ één van de twee eenheidsnormalen van $P$ , en omdat ze continu is is ze constant; dan $0 = B' = -\tau N$ met $N \neq 0$ dwingt $\tau \equiv 0$ . ∎

Voorbeeld 18.28 (Een gekantelde cirkel heeft nultorsie)

De boog $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ ligt in het vlak $y = z$ , en is de eenheidscirkel van dat vlak (controle: $\norm{\gamma(t)} = 1$ en de orthonormale basis $(1,0,0)$ , $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ van het vlak vertoont de standaardparametrisatie). Zonder enige Frenet-berekening voorspelt Propositie 18.27 $\tau \equiv 0$ , en de vaste binormaal moet de eenheidsnormaal $\pm(0, \tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ van het vlak zijn. Torsie meet niet “gekanteld in de ruimte zijn”; ze meet een vlak verlaten. Alleen de niet-nulle $b$ van de schroeflijn hieronder produceert echte torsie.

Voorbeeld 18.29 (De schroeflijn)

Voor de schroeflijn $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ , $a > 0$ , berekenden we $s = ct$ met $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dan

T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b), \qquad T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),

dus $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ en $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ : de hoofdnormaal wijst horizontaal naar de as. Vervolgens $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$ , en $B' \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ geeft

\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }

Beide invarianten zijn constant — en men kan omgekeerd tonen dat de enige biregulaire krommen met constante $\kappa > 0$ en constante $\tau$ schroeflijnen zijn (cirkels wanneer $\tau = 0$ ). Let op de tekens: $b > 0$ geeft een rechtshandige schroeflijn met positieve torsie.

Voorbeeld 18.30 (Kromming en torsie zonder booglengte; de verdraaide kubische)

Herparametriseren op booglengte is meestal in gesloten vorm onmogelijk, dus moeten de invarianten uit de ruwe afgeleiden worden gehaald. Schrijf $v = \norm{\gamma'} = s'$ ; dan $\gamma' = vT$ en, zoals in het bewijs van Propositie 18.17,

\gamma'' = v'T + v^2\kappa N, \qquad \gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) = v^3\kappa\,B .

Normen nemen ( $\kappa \geq 0$ in de ruimte):

\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .

Nogmaals differentiëren van $\gamma''$ en $N' = v(-\kappa T + \tau B)$ omzetten (kettingregel door $s$ ), de enige $B$ -component komt van de laatste term:

\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T + \bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,

zodat, gepaard met $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$ ,

\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge \gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .

Toepassing op de verdraaide kubische $\gamma(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$ in $t = 0$ : $\gamma' = (1, 0, 0)$ , $\gamma'' = (0, 2, 0)$ , $\gamma''' = (0, 0, 6)$ , dus $v = 1$ ,

\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2, \qquad \det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) = \frac{12}{4} = 3 .

Slotinzicht: beide formules zijn verhoudingen waarin de snelheid $v$ tot precies de nodige graad wegvalt — $\kappa$ schaalt als een tweede afgeleide per lengte-eenheid, $\tau$ als het gemengde volume van drie afgeleiden per kwadraatoppervlak — wat is waarom ze meetkundig zijn terwijl $\gamma''$ zelf dat niet is.

Opmerking 18.31 (Fundamentele stelling voor ruimtekrommen)

Zoals in het vlak bepaalt het paar $(\kappa, \tau)$ met $\kappa > 0$ een biregulaire boog op een directe isometrie van $\R^3$ na: de Frenet-formules vormen een lineair differentiaalstelsel voor het raam $(T, N, B)$ , waarop de Cauchy–Lipschitz-theorie van Hoofdstuk 16 van toepassing is; orthonormaliteit van het oplossingsraam blijft bewaard omdat de coëfficiëntenmatrix antisymmetrisch is (zelfde Gram-matrixargument als in Oefening 18.7), en de kromme wordt herwonnen door $T$ te integreren. We laten de details aan de lezer als een stevige maar leerzame oefening.

18.5 Lokale studie: ligging ten opzichte van de raaklijn

Propositie 18.32 (Lokale vorm in een regulier punt)

Zij $\gamma$ een vlakke boog van klasse $\mathcal{C}^k$ in $t_0$ , met $p$ de kleinste index met $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ en $q$ de kleinste index $> p$ met $\gamma^{(q)}(t_0)$ niet collineair met $\gamma^{(p)}(t_0)$ (beide bestaan verondersteld, $q \leq k$ ). In de basis $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ gecentreerd in $\gamma(t_0)$ geeft Taylor–Young coördinaten

X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!}, \qquad Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .

Het lokale beeld hangt alleen af van de pariteiten van $p$ en $q$ :

$p$ oneven, $q$ even	ordinair punt	kromme blijft aan één kant van de raaklijn
$p$ oneven, $q$ oneven	buigpunt	kromme kruist haar raaklijn
$p$ even, $q$ oneven	keerpunt 1e soort	takken aan overstaande kanten van de raaklijn
$p$ even, $q$ even	keerpunt 2e soort	beide takken aan dezelfde kant

Bewijs. Taylor–Young van orde $q$ (de functie $\gamma$ is $\mathcal{C}^q$ nabij $t_0$ ):

\gamma(t) - \gamma(t_0) = \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0) + o\bigl((t-t_0)^q\bigr).

Door de keuze van $p$ en $q$ is elke $\gamma^{(j)}(t_0)$ met $p \leq j < q$ collineair met $u$ ; componenten verzamelen in de basis $(u, v)$ : $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ en $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$ . De tekentabel van $X$ en $Y$ voor $t \gtrless t_0$ — precies bestuurd door de pariteiten — geeft de vier beelden: bijvoorbeeld als $p$ even is, $X > 0$ aan beide kanten (beide takken vertrekken in de richting $+u$ : een keerpunt), en de kant van de raaklijn ( $\operatorname{sign} Y$ ) wisselt met $q$ oneven. ∎

Voorbeeld 18.33

Voor $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ in $t_0 = 0$ (Voorbeeld 18.5): $\gamma'' (0)= (2, 0)$ , $\gamma'''(0) = (0, 6)$ , dus $p = 2$ , $q = 3$ : een keerpunt van de eerste soort, het vertrouwde beeld van de semicubische parabool. Voor $\gamma(t) = (t, t^3)$ in $0$ : $p = 1$ , $q = 3$ : buigpunt — de kubische kruist haar raaklijn.

Opmerking 18.34 (Perspectieven binnen dit volume)

Krommen voeden de volgende hoofdstukken op drie manieren. Op een oppervlak getekend, definiëren ze haar raakvlakken en haar eerste fundamentaalvorm (Hoofdstuk 19), en hun lengten worden berekend door de omgevende metriek te beperken — het komende hoofdstuk is grotendeels dit hoofdstuk gerelativeerd. De omhullendencalculus van het weekendprobleem ontmoet dubbelintegralen in Hoofdstuk 20, waar de oppervlakte van de astroïde opnieuw wordt berekend met de formule van Green (Oefening 20.5) — één kromme, twee theorieën, overeenkomende antwoorden. En het Frenet-stelsel gebruikte al de lineaire differentiaalvergelijkingen van Hoofdstuk 16 (bestaan, uniciteit, en het orthogonaliteitsbehoudargument van Oefening 18.7): de fundamentele stelling van krommen is een differentiaalvergelijkingenstelling in meetkundige kleren.

Opmerking 18.35 (Methode: de lokale studie uitvoeren)

In de praktijk is de classificatie een routine van vier stappen. Eén, differentieer in $t_0$ tot de eerste niet-nulle afgeleide verschijnt: haar index is $p$ , haar waarde de vector $u$ . Twee, blijf differentiëren tot een afgeleide niet collineair met $u$ verschijnt: index $q$ , vector $v$ . Drie, lees de pariteiten $(p, q)$ in de tabel. Vier, teken: de kromme vertrekt langs $+u$ als $p$ oneven is (langs $u$ dan terug langs $u$ als $p$ even is), aan de kant van $v$ voorgeschreven door het teken van $Y$ . Twee voorzorgen. Het raam $(u, v)$ is in het algemeen niet orthonormaal — de tabel beschrijft posities ten opzichte van de raaklijn, geen hoeken of afstanden, dus lees geen kromming van de tekening. En intermediaire afgeleiden collineair met $u$ zijn toegestaan tussen rangen $p$ en $q$ (ze verschuiven alleen de ontwikkeling van $X$ ); wat niet mag gebeuren is stoppen bij de eerste niet-nulle afgeleide en $q = p + 1$ raden: voor $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ is de naïeve gok $q = 3$ fout, omdat $\gamma^{(3)}(0)$ nog collineair is met $\gamma''(0)$ — dat is precies Oefening 18.5.

18.6 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Bereken de lengte van één boog van de cycloïde $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ . (Gebruik $1 - \cos t = 2\sin^2(t/2)$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$ , dus

\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,

en $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (niet-negatief op $[0, 2\pi]$ ). Vandaar

L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t = \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :

één boog van de cycloïde heeft lengte $8$ (voor een wiel van straal $1$ ) — een beroemd resultaat van Wren, zonder $\pi$ in zicht.

Oefening 18.2 ★

Bereken de kromming van de ellips $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a > b > 0$ ) en lokaliseer de punten van maximale en minimale kromming.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

Met $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$ , $y' = b\cos t$ , $x'' = -a\cos t$ , $y'' = -b\sin t$ , dus door Propositie 18.17

\kappa(t) = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t} {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .

De noemer is minimaal wanneer $\sin t = 0$ (waarde $b^3$ , punten $(\pm a, 0)$ ) en maximaal wanneer $\cos t = 0$ (waarde $a^3$ , punten $(0, \pm b)$ ), omdat $a > b$ . Dus is $\kappa$ maximaal in de einden van de grote as, $\kappa_{\max} = a/b^2$ , en minimaal in de einden van de kleine as, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : de ellips buigt het scherpst in de uiteinden van haar lange as.

Oefening 18.3 ★

Toon dat de booglengte van de grafiek van $f(x) = \cosh x$ over $[0, x]$ gelijk is aan $\sinh x$ , en bereken de kromming van deze kromme (de kettinglijn). Verifieer dat $R(x) = 1/\kappa(x) = \cosh^2 x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

Voor de grafiek $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ : $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$ , dus is de booglengte van $0$ tot $x$ gelijk aan $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$ . Kromming van een grafiek (Propositie 18.17):

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}} = \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,

dus $R(x) = \cosh^2 x$ , zoals aangekondigd. Merk de nette toeval op $R(x) = 1 + s(x)^2$ met $s = \sinh x$ de booglengte: de kromtestraal van de kettinglijn groeit met het kwadraat van de booglengte vanaf de top.

Oefening 18.4 ★★

(Logaritmische spiraal) Zij $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$ , $t \in \R$ . Toon dat de hoek tussen $\gamma(t)$ en $\gamma'(t)$ constant is, bereken de booglengte van $\gamma$ op $(-\infty, 0]$ (eindig!), en de kromming.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$ , dus

\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t} \bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = e^{2t},

terwijl $\norm{\gamma(t)} = e^t$ en $\norm{\gamma'(t)} = e^t\sqrt 2$ . Vandaar

\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr) = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :

de raaklijn maakt altijd de hoek $\pi/4$ met de straal — de equiangulare eigenschap van de logaritmische spiraal. Booglengte op $(-\infty, 0]$ :

\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t = \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,

eindig hoewel de spiraal oneindig vaak om de oorsprong draait. Kromming: met $x'y'' - y'x''$ berekend uit $\gamma'' = e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$ ,

x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t) + 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},

dus $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} = \dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : de kromming is $1/(\sqrt2\, \norm{\gamma})$ , afnemend naarmate de spiraal groeit.

Oefening 18.5 ★★

Bepaal $p$ , $q$ en de lokale vorm (ordinair, buigpunt, keerpunt) van $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ in $t = 0$ , en van $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ in $t = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

Eerste boog: $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ . Afgeleiden in $0$ : $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$ , dus $p = 2$ . Dan $\gamma^{(3)}(0) = (0, 0)$ , $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ , niet collineair met $(2, 0)$ : $q = 4$ . Beide even: keerpunt van de tweede soort — beide takken vertrekken in de richting $+u = (1,0)$ en blijven aan dezelfde kant van de raaklijn. (Inderdaad $y = x^2 \pm x^{5/2}$ op de twee takken: zelfde teken voor kleine $x$ .)

Tweede boog: $\gamma(t) = (t^3, t^4)$ . $\gamma'(0) = \gamma''(0) = 0$ , $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$ , oneven. Volgende $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$ , even. Oneven–even: ordinair punt — ondanks de verdwijnende snelheid kruist de baan $y = x^{4/3}$ de oorsprong glad, boven haar raaklijn $y = 0$ blijvend.

Oefening 18.6 ★★

Zij $\gamma$ een eenheidssnelheids vlakke boog met $\kappa(s) > 0$ voor alle $s$ , en zij $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ het kromtemiddelpunt (de kromme $c$ is de evolute). Onder de aanname dat $\kappa$ $\mathcal{C}^1$ is, toon $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : de evolute is raak aan de normaallijnen van $\gamma$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

Differentiëer $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ met de vlakke Frenet-formules (Stelling 18.13):

c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,

de raaktermen heffen precies op. Dus wordt de snelheid van de evolute gedragen door $N(s)$ , die de normaallijn van $\gamma$ in $\gamma(s)$ richt — en het punt $c(s)$ ligt op precies die normaallijn: de evolute is de omhullende van de normalen. (Waar $\kappa' = 0$ heeft de evolute een singulier punt; dat produceert de keerpunten van de evolute van een ellips.)

Oefening 18.7 ★★★

Zij $A(s)$ een continue familie van antisymmetrische $3 \times 3$ -matrices en $F' = F A$ een matrixoplossing met $F(s_0)$ orthogonaal. Toon dat $F(s)$ orthogonaal is voor alle $s$ . (Differentiëer $G = F F^{\mathsf T}$ en gebruik uniciteit in Cauchy–Lipschitz.) Verklaar de relevantie voor het Frenet-stelsel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

Zij $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$ . Dan, met $F' = FA$ en $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$ ,

G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})' = FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T} = F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0

door antisymmetrie. Dus is $G$ constant op het interval, gelijk aan $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ : $F(s)$ is orthogonaal voor elke $s$ . (Alternatief, zonder $G'$ tot nul te rekenen: zowel $G$ als de constante $I$ lossen het lineaire stelsel $Y' = YA + A^{\mathsf T}Y$ op met dezelfde beginwaarde, en Cauchy–Lipschitz-uniciteit voor lineaire stelsels, Hoofdstuk 16, dwingt $G \equiv I$ .)

Relevantie: het Frenet-stelsel $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ heeft de antisymmetrische coëfficiëntenmatrix

A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

(kolommen die $T', N', B'$ uitdrukken). De berekening hierboven toont dat een oplossingsraam dat orthonormaal start orthonormaal blijft — de sleutelstap in de fundamentele stelling die een kromme uit $(\kappa, \tau)$ reconstrueert.

Oefening 18.8 ★★★

(Totale kromming van een gesloten convexe kromme) Zij $\tilde\gamma$ een eenheidssnelheids- $\mathcal{C}^2$ gesloten vlakke boog van lengte $L$ (dus $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$ ), éénmaal linksom doorlopen. Met de hoekfunctie $\varphi$ met $T = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ uit Stelling 18.20, verklaar waarom $\varphi(L) - \varphi(0)$ een veelvoud van $2\pi$ is, en toon dat $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$ . (Voor een cirkel van straal $R$ : $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$ . De stelling van de draaiende tangens beweert de waarde $2\pi$ voor elke eenvoudige gesloten kromme; u wordt niet gevraagd dat te bewijzen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

Door Stelling 18.20 (uniciteitsdeel) is er een $\mathcal{C}^1$ -hoekfunctie $\varphi$ met $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ en $\varphi' = \kappa$ . Vandaar

\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .

Omdat de boog gesloten is van periode $L$ , $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0), \sin\varphi(0))$ , dus $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$ . De totale kromming van een gesloten kromme is dus altijd een geheel veelvoud van $2\pi$ — het gehele getal is het windingsgetal van de tangens (het aantal volle omwentelingen dat $T$ maakt). Voor de cirkel van straal $R$ : $\kappa = 1/R$ en $L = 2\pi R$ , totale kromming $2\pi$ , windingsgetal $1$ ; de stelling van de draaiende tangens beweert dat deze waarde voor elke eenvoudige gesloten kromme geldt.

Oefening 18.9 ★★★

Toon dat een biregulaire ruimtekromme met constante $\kappa > 0$ en $\tau = 0$ (een boog van) een cirkel van straal $1/\kappa$ is. (Gebruik Propositie 18.27, toon daarna dat het centrum $\gamma + \frac1\kappa N$ constant is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

Omdat $\tau \equiv 0$ ligt de kromme in een vlak (Propositie 18.27); werk in dat vlak. Beschouw het kandidaat-centrum

c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s) \qquad (\kappa \text{ constant}).

Differentiëren met de Frenet-formules ( $N' = -\kappa T + \tau B = -\kappa T$ hier):

c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,

dus is $c$ een constant punt $\Omega$ . Dan $\norm{\gamma(s) - \Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ voor alle $s$ : de kromme ligt op de cirkel met centrum $\Omega$ en straal $1/\kappa$ (in haar vlak), en is als niet-constante boog ervan een boog van die cirkel.

Oefening 18.10 ★

Bereken de booglengte van de parabool $y = x^2/2$ over $\intcc0a$ en toon dat ze gelijk is aan

\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 + a^2}\bigr)\Bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Voor de grafiek $\gamma(x) = (x, x^2/2)$ , $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + x^2}$ , dus $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$ . Substitueren $x = \sinh u$ ( $\dd x = \cosh u\,\dd u$ , $u$ van $0$ tot $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$ ):

L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u = \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a} = \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) + a\sqrt{1+a^2}\Bigr),

met $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ en $\sinh u_a = a$ , $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$ .

Oefening 18.11 ★★

Zij $\gamma$ een reguliere $\mathcal C^2$ -boog in $\R^n$ waarvan alle raaklijnen door een vast punt $P$ gaan. Bewijs dat de baan van $\gamma$ bevat is in een rechte lijn. (Parametriseer op booglengte, schrijf $\gamma(s) + \lambda(s)T(s) = P$ en differentieer.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

Parametriseer op booglengte (Stelling 18.9) en stel $\lambda(s) = \langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$ , een $\mathcal C^1$ -functie; omdat $P$ op de raaklijn in $\gamma(s)$ ligt, is de vector $P - \gamma(s)$ collineair met $T(s)$ , dus $P = \gamma(s) + \lambda(s)T(s)$ . Differentiëren,

0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s) = \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),

en $T'(s) \perp T(s)$ (differentiëer $\norm T^2 = 1$ ), dus verdwijnen beide componenten: $\lambda' = -1$ en $\lambda T' = 0$ . Dan verdwijnt $\lambda(s) = c - s$ ten hoogste één keer, dus $T' = 0$ op een dichte verzameling, dus overal door continuïteit: $T$ is een constante eenheidsvector en $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s - s_0)T$ : een rechte lijn (door $P$ , zoals het moet).

Oefening 18.12 ★★★

(Fundamentele stelling voor ruimtekrommen) Zij $\kappa > 0$ en $\tau$ continue functies op een interval $J$ . Voer het programma uit van de opmerking na Voorbeeld 18.29: (a) toon dat het lineaire stelsel $F' = FA(s)$ , met $A(s)$ de antisymmetrische Frenet-matrix gebouwd uit $\kappa, \tau$ en $F(s_0)$ een direct orthonormaal raam, een unieke globale oplossing heeft, die een direct orthonormaal raam blijft; (b) construeer een eenheidssnelheids biregulaire kromme met kromming $\kappa$ en torsie $\tau$ ; (c) bewijs uniciteit op een directe isometrie van $\R^3$ na.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

(a) De Frenet-matrix

A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

heeft continue entries, dus heeft het lineaire stelsel $F' = FA(s)$ , $F(s_0) = F_0$ (een directe orthonormale matrix) een unieke oplossing op heel $J$ (Stelling 16.4). Door Oefening 18.7 is $F(s)$ orthogonaal voor elke $s$ ; $\det F$ is continu met waarden in $\{\pm1\}$ en gelijk aan $1$ in $s_0$ , dus is $F(s)$ direct voor alle $s$ .

(b) Lees de rijen $T, N, B$ van $F$ af (zodat $T' = \kappa N$ , $N' = -\kappa T + \tau B$ , $B' = -\tau N$ ) en stel $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$ . Dan is $\gamma' = T$ een eenheidsvector: eenheidssnelheid; $T' = \kappa N$ met $\kappa > 0$ en $N$ eenheid orthogonaal op $T$ , dus is $\gamma$ biregulair met kromming $\norm{T'} = \kappa$ en hoofdnormaal $N$ ; de binormaal is $T \wedge N = B$ (direct orthonormaal raam), en $B' = -\tau N$ identificeert de torsie als $\tau$ .

(c) Zij $\gamma_1, \gamma_2$ eenheidssnelheids biregulaire krommen met dezelfde $(\kappa, \tau)$ . Er is een unieke directe isometrie $\Phi = \rho + w$ ( $\rho \in SO(3)$ ) die $\gamma_1(s_0)$ naar $\gamma_2(s_0)$ stuurt en het Frenet-raam van $\gamma_1$ in $s_0$ naar dat van $\gamma_2$ in $s_0$ . De kromme $\Phi\circ\gamma_1$ is eenheidssnelheid met dezelfde invarianten (haar raam is $\rho$ toegepast op dat van $\gamma_1$ , en $\rho$ behoudt kruisproducten, omdat ze direct is). Nu lossen de ramen van $\Phi\circ\gamma_1$ en $\gamma_2$ beide $F' = FA(s)$ op met dezelfde beginwaarde, dus vallen ze samen door uniciteit; in het bijzonder komen de tangenten overeen, en integreren vanaf het gemeenschappelijke punt $s_0$ : $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$ .

18.7 Probleem: omhullenden — de astroïde, twee evoluten, en een caustiek

Een ladder van lengte 1 die langs een muur afglijdt (blauwe posities) kruist nooit de astroïde x2/3 + y2/3 = 1 (rood): de astroïde is de omhullende van de familie segmenten, raak aan elk ervan. — Een ladder van lengte $1$ die langs een muur afglijdt (blauwe posities) kruist nooit de astroïde $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (rood): de astroïde is de *omhullende* van de familie segmenten, raak aan elk ervan.

Probleem 18.1

Weekendprobleem — de omhullendemachine en vier klassieke krommen

Een éénparameterfamilie van lijnen dekt het vlak meestal niet gelijkmatig: de lijnen stapelen zich op langs een kromme raak aan ze allemaal, hun omhullende. Lichtstralen maken omhullenden zichtbaar als caustieken — de heldere gekeerde kromme in een mok koffie. Dit probleem bouwt de algemene omhullendemachine, en draait haar dan vier keer: de glijdende ladder (astroïde), de normalen van de parabool en van de cycloïde (evoluten, met Huygens’ slinger aan het eind), en de koffiekop-caustiek (nefroïde). Doorheen duidt $D_t$ de lijn van vergelijking $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$ aan, waar $a, b, c$ $\mathcal C^2$ -functies zijn met $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$ , en $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$ .

Deel I — De omhullendemachine.

Stel $\Delta(t) \neq 0$ . Toon dat het karakteristieke stelsel

$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\ a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$

een unieke oplossing $E(t) = (x(t), y(t))$ heeft, gegeven door $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$ , $y = \dfrac{ac' - a'c}{\Delta}$ .
Neem bovendien aan dat $E$ $\mathcal C^1$ nabij $t$ is met $E'(t) \neq 0$ . Door de eerste vergelijking van het stelsel te differentiëren, toon $a(t)\,x'(t) + b(t)\,y'(t) = 0$ , en concludeer dat de kromme $E$ door een punt van $D_t$ gaat met de richting van $D_t$ : de familie is raak aan $E$ , die haar omhullende heet.
Gezondheidscontrole: de raaklijnen van de parabool $y = x^2/2$ in de punten $(t, t^2/2)$ zijn $tx - y = t^2/2$ . Verifieer dat de omhullendemachine de parabool zelf teruggeeft.
(Omhullende van de normalen) Zij $\gamma$ eenheidssnelheid met $\kappa(s) \neq 0$ . De normaallijn in $\gamma(s)$ is $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s) \rangle = 0\}$ . Toon dat haar karakteristieke stelsel $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle = 1/\kappa(s)$ dwingt, dus dat het karakteristieke punt het kromtemiddelpunt is: de omhullende van de normalen is de evolute, wat Oefening 18.6 herwint. Controleer $\Delta(s) = \kappa(s)$ .
Twee ontaardingen. Voor de bundel $D_\theta : x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , toon dat het karakteristieke punt de oorsprong is voor elke $\theta$ (de “omhullende” stort in tot een punt, en $E' = 0$ : vraag 2 is niet van toepassing). Voor een familie evenwijdige lijnen ( $a, b$ constant), toon $\Delta \equiv 0$ en dat het karakteristieke stelsel in het algemeen inconsistent is: geen omhullende.

Deel II — De glijdende ladder en de astroïde. Een segment van lengte $1$ glijdt met één uiteinde $P_t = (\cos t, 0)$ op de vloer en het andere $Q_t = (0, \sin t)$ op de muur, $t \in \intoo0{\pi/2}$ .

Toon dat de lijn $(P_tQ_t)$ vergelijking $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ heeft, en dat de omhullendemachine het karakteristieke punt

$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$

geeft: de astroïde, van impliciete vergelijking $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (uitgebreid tot de andere kwadranten door symmetrie).
Toon dat $E'(0) = 0$ en, met de lokale classificatie (Propositie 18.32), dat de astroïde een keerpunt van de eerste soort heeft in $(1, 0)$ — en evenzo in haar vier as-punten.
Bereken $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ en leid af dat de totale lengte van de astroïde $6$ is.
Waar raakt de ladder de astroïde? Toon $E(t) = P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : het raakpunt deelt de ladder in de verhouding $\sin^2 t : \cos^2 t$ , en veegt haar van het ene uiteinde naar het andere terwijl de ladder glijdt.
Bereken de door de astroïde ingesloten oppervlakte: toon dat de eerste-kwadrantoppervlakte $3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t$ is, evalueer de integraal door linearisatie ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ), en concludeer dat de totale oppervlakte $3\pi/8$ is.

Deel III — De evolute van de parabool. Zij $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ .

Toon dat de normaallijn in $\gamma(t)$ vergelijking $x + t\,y = t + t^3/2$ heeft.
Draai de omhullendemachine: toon dat de omhullende van de normalen

$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$

is, met impliciete vergelijking $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : een semicubische parabool.
Controleer met vraag 4: bereken het kromtemiddelpunt $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ uit $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ (Voorbeeld 18.18) en herwin hetzelfde punt.
Toon dat de evolute een keerpunt van de eerste soort heeft in $(0, 1)$ , het kromtemiddelpunt in de top — het punt waar $\kappa$ extreem is, zoals voorspeld door de formule $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ van Oefening 18.6.
Hoeveel normalen van de parabool gaan door een gegeven punt $(x_0, y_0)$ ? Toon dat het antwoord bestuurd wordt door de kubische $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; behandel het as-geval $x_0 = 0$ volledig (één normaal voor $y_0 < 1$ , drie voor $y_0 > 1$ ), en interpreteer de evolute als de overgangskromme.

Deel IV — De koffiekop-caustiek. Evenwijdige stralen van richting $(1, 0)$ treffen de binnenkant van de spiegelcirkel $x^2 + y^2 = 1$ ; de straal die $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ treft, kaatst volgens de reflectiewet.

Uit de spiegelsymmetrie in de normaal (de straal), rechtvaardig dat de gereflecteerde richting $v = u - 2\langle u, n\rangle n$ is met $u = (1,0)$ , $n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , en bereken $v = -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
Toon dat de gereflecteerde straal op de lijn

$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$

ligt.
Draai de omhullendemachine ( $\Delta = 2$ ): toon dat de caustiek

$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta - \sin3\theta}4\Bigr),$

is, de nefroïde.
Bereken $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\, (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; controleer dat de raakrichting de gereflecteerde-straalrichting is (vraag 16), lokaliseer de twee keerpunten $(\pm\tfrac12, 0)$ , en toon dat de gereflecteerde straal de as $y = 0$ snijdt in $x = \frac1{2\cos\theta}$ — dus focussen bijna-axiale stralen in $x = \tfrac12$ : de brandpuntsafstand $R/2$ van een spiegel van straal $R$ .
Toon dat de nefroïde totale lengte $6$ heeft en dat nabij $\theta = 0$ ,

$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) = \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 + o(\theta^3)\bigr) :$

een keerpunt van de eerste soort, wijzend langs de as.
Verklaar in één alinea waarom de caustiek helder is: door elk punt net buiten de caustiek gaan twee gereflecteerde stralen, door elk punt erop zijn de stralen “oneindig geconcentreerd” (de afbeelding $(\theta, \text{afstand langs straal}) \mapsto \R^2$ heeft precies op de omhullende een kritiek punt).

Deel V — Huygens: de cycloïde is haar eigen evolute. Zij $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in \intoo0{2\pi}$ , één boog van de cycloïde.

Bereken $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ en het kromtemiddelpunt; toon dat de evolute

$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$

is, en dat de substitutie $t = u + \pi$ haar als de oorspronkelijke cycloïde getransleerd over $(\pi, -2)$ vertoont: de evolute van een cycloïde is een congruente cycloïde (Huygens).
Verifieer dat de kromtestraal in de top $t = \pi$ gelijk is aan $4$ , wat de helft is van de lengte $8$ van één boog (Oefening 18.1); lokaliseer het keerpunt van de evolute direct onder de top, op afstand $4$ .
(De snaareigenschap) Zij $\gamma$ eenheidssnelheid met $\kappa > 0$ , $\kappa$ van klasse $\mathcal C^1$ en $R = 1/\kappa$ strikt monotoon. Met $c' = R'N$ , toon dat de booglengte van de evolute tussen $c(s_0)$ en $c(s_1)$ gelijk is aan $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interpreteer: een strakke snaar afgewikkeld van de evolute, van lengte $R(s_0)$ bij de start, heeft haar vrije uiteinde de oorspronkelijke kromme beschrijven — dus beschrijft een slinger die tussen twee cycloïdale wangen van Huygens’ klok zwaait een cycloïde.
Synthese. De machine van Deel I produceerde de astroïde, een semicubische parabool, een nefroïde en een cycloïde. Voor elk van de vier families, formuleer in één zin waar de hypotheses $\Delta \neq 0$ en $E' \neq 0$ golden of faalden, en welk meetkundig gebeuren (keerpunt, brandpunt, ontaarding) elk falen van $E' \neq 0$ signaleerde. Waar moeten extrema van kromming op de omhullende van de normalen verschijnen, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. Het stelsel is lineair in $(x, y)$ met determinant $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ : de regel van Cramer geeft de unieke oplossing

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.

2. Omdat $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ identiek, geeft differentiëren $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ ; de tweede karakteristieke vergelijking doodt $a'x + b'y - c'$ , dus $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ is orthogonaal op $(a, b)$ , dus evenwijdig aan $(-b, a)$ , de richting van $D_t$ . Omdat $E(t) \in D_t$ (eerste vergelijking) en $E'(t) \neq 0$ , is de lijn $D_t$ precies de raaklijn van de kromme $E$ in $E(t)$ .

3. Hier $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$ , dus $\Delta = t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ en

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 + t = t, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 = \tfrac{t^2}2 :

de omhullende van de raaklijnen van de parabool is de parabool, zoals het hoort.

4. De normaallijn is $\langle M, T(s)\rangle = \langle\gamma(s), T(s)\rangle$ : coëfficiënten $a = T_1$ , $b = T_2$ , $c = \langle\gamma, T\rangle$ . Differentiëren met Frenet ( $T' = \kappa N$ ): $a' = \kappa N_1$ , $b' = \kappa N_2$ , en $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ . De tweede karakteristieke vergelijking $\kappa\langle M, N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ leest $\kappa\langle M - \gamma, N\rangle = 1$ . De eerste zegt $M - \gamma \perp T$ , dus $M - \gamma = \mu N$ met $\mu = 1/\kappa$ : het karakteristieke punt is $\gamma + \frac1\kappa N$ , het kromtemiddelpunt, en de omhullende van de normalen is de evolute van Oefening 18.6. Ten slotte $\Delta = T_1\kappa N_2 - \kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$ .

5. Bundel: het stelsel $x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ heeft determinant $1$ en oplossing $(0,0)$ voor elke $\theta$ : $E \equiv (0,0)$ , $E' \equiv 0$ , en er is geen kromme — slechts het gemeenschappelijke punt van alle lijnen. Evenwijdige familie: $a' = b' = 0$ geeft $\Delta \equiv 0$ en de tweede vergelijking $0 = c'(t)$ , die faalt zodra de familie echt beweegt: geen karakteristiek punt, en inderdaad raakt een familie evenwijdige lijnen geen kromme langs al haar leden.

6. De lijn door $(\cos t, 0)$ en $(0, \sin t)$ is $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$ , d.w.z. $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ . Met $(a, b, c) = (\sin t, \cos t, \sin t\cos t)$ : $a' = \cos t$ , $b' = -\sin t$ , $c' = \cos 2t$ , $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$ . Cramer:

\begin{align*} x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t = \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\ y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t = \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t . \end{align*}

En $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : de astroïde.

7. $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ verdwijnt in $t = 0$ . Daar geeft $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ $p = 2$ ; de $x$ -component van $E$ is even in $t$ , dus $E'''(0) = (0, 6)$ , niet collineair: $q = 3$ . Even–oneven: keerpunt van de eerste soort in $(1, 0)$ (Propositie 18.32), met raaklijn langs de $x$ -as. De symmetrieën $x \mapsto -x$ , $y \mapsto -y$ , $(x, y) \mapsto (y, x)$ van de astroïde transporteren het keerpunt naar $(-1, 0)$ en $(0, \pm1)$ .

8. $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ , dus $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ . Eén kwadrant: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t = \tfrac32$ , en door symmetrie is de totale lengte $4 \cdot \tfrac32 = 6$ .

9. $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) = \sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ . Dus is het raakpunt het barycentrum van $(P_t, \cos^2 t)$ en $(Q_t, \sin^2 t)$ : terwijl $t$ van $0$ tot $\pi/2$ loopt glijdt ze van het vloereinde naar het muureinde van de ladder.

10. In het eerste kwadrant heeft het gebied onder de astroïde oppervlakte $\int_0^1 y\,\dd x$ met $x = \cos^3 t$ dalend van $1$ tot $0$ terwijl $t$ van $0$ tot $\pi/2$ loopt:

\int_0^1 y\,\dd x = \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t = 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .

Lineariseren: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t = \tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$ , en $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ terwijl $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t = \bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$ . Dus is de integraal $\tfrac\pi{32}$ , de kwadrantoppervlakte $\tfrac{3\pi}{32}$ , en de ingesloten oppervlakte $4 \cdot \tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$ .

11. De raaklijn in $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ is gericht door $(1, t)$ , dus is de normaallijn $\{(x, y) : (x - t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$ , d.w.z. $x + t\,y = t + \tfrac{t^3}2$ .

12. $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$ , $b' = 1$ , $c' = 1 + \tfrac32 t^2$ , $\Delta = 1$ . Dan $y = ac' - a'c = 1 + \tfrac32t^2$ en

x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 + \tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .

Elimineren van $t$ : $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ en $x^2 = t^6 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : een semicubische parabool met top $(0, 1)$ .

13. $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$ , $N = (-t, 1)/\sqrt{1+t^2}$ , en $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ , dus

\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) + (1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),

dezelfde kromme: de omhullende van de normalen is de meetkundige plaats van de kromtemiddelpunten, zoals vraag 4 beloofde.

14. $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ verdwijnt in $t = 0$ ; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ geeft $p = 2$ en $E'''(0) = (-6, 0)$ geeft $q = 3$ : een keerpunt van de eerste soort in $(0, 1)$ . De top is waar $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ maximaal is, dus $\kappa'(0) = 0$ en de snelheid van de evolute $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ verdwijnt precies daar: keerpunten van de evolute zitten in de extrema van kromming.

15. De normaal bij parameter $t$ gaat door $(x_0, y_0)$ dan en slechts dan als $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$ , d.w.z.

\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,

een kubische in $t$ : één of drie reële wortels (geteld zonder multipliciteit, voor generieke punten). Op de as $x_0 = 0$ factoriseert ze als $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ : de wortel $t = 0$ (de as is de normaal in de top), plus $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ wanneer $y_0 > 1$ . Dus: één normaal voor $y_0 < 1$ , drie voor $y_0 > 1$ , en in $y_0 = 1$ markeert de drievoudige wortel het keerpunt van de evolute. In het algemeen betekent een dubbele wortel van de kubische dat het punt zowel aan de lijnvergelijking als aan haar $t$ -afgeleide voldoet — ze ligt op de omhullende: de evolute is precies de grens tussen de één-normaal- en drie-normaalregio’s.

16. Reflectie in de spiegel keert de normaalcomponent van de richting om en houdt de tangentiële: schrijvend $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$ , is de gereflecteerde richting $u_{\mathrm{tan}} - \langle u, n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$ . Hier $\langle u, n\rangle = \cos\theta$ , dus

v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta) = (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta) = -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).

17. De gereflecteerde straal gaat door $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ met richting $(\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; een normaalvector is $(-\sin2\theta, \cos2\theta)$ , dus is de lijn

-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y - \sin\theta) = 0,

en de constante is $-\sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : vermenigvuldigen met $-1$ , $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$ .

18. $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta, \sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$ , $b' = 2\sin2\theta$ , $c' = \cos\theta$ , $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$ . Cramer, daarna product-naar-somformules:

\begin{align*} x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta + \cos\theta\cos2\theta}{2} = \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta + \cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\ y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2 = \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta - \sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 : \end{align*}

de nefroïde, een gesloten kromme met twee keerpunten.

19. Differentiëren en factoriseren met $\sin3\theta - \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$ , $\cos\theta - \cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ :

E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\ \cos\theta - \cos3\theta\bigr) = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),

evenwijdig aan de gereflecteerde richting van vraag 16: elke gereflecteerde straal is raak aan de caustiek, zoals de omhullende-eigenschap eist. $E' = 0$ precies wanneer $\sin\theta = 0$ : $E(0) = (\tfrac12, 0)$ en $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$ , de twee keerpunten. Stellen $y = 0$ in de lijnvergelijking: $x\sin2\theta = \sin\theta$ , dus $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ als $\theta \to 0$ : paraxiale stralen focussen op afstand $R/2$ van het centrum — de brandpuntsafstand van de bolvormige spiegel.

20. $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$ , dus is de lengte $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\, \dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$ . Nabij $\theta = 0$ , met $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ en $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 + O(\theta^5)$ :

x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4} = \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4), \qquad y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4} = \theta^3 + O(\theta^5) :

$p = 2$ , $q = 3$ , een keerpunt van de eerste soort wijzend langs de as — het heldere punt van de koffiekop-caustiek.

21. Parametriseer de belichte punten door $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (positie langs elke gereflecteerde straal). De Jacobiaandeterminant $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) = \det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ is affien in $r$ en verdwijnt voor precies één $r = r_*(\theta)$ — en $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ is het karakteristieke punt, omdat daar de straalrichting en de variatie van de familie afhankelijk worden. Buiten de omhullende is de afbeelding een lokaal diffeomorfisme, en een punt net binnen de caustiek wordt door twee nabije stralen getroffen (twee oplossingen $\theta$ ), een punt erbuiten door geen van dat deel van de familie; op de caustiek smelten de twee samen. Lichtintensiteit is omgekeerd evenredig met de absolute waarde van de Jacobiaan, dus blaast ze op langs de omhullende: de caustiek is de heldere kromme, het helderst van al in het keerpunt, waar de ontaarding het ergst is.

22. $x' = 1 - \cos t$ , $y' = \sin t$ , $x'' = \sin t$ , $y'' = \cos t$ , dus $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ en $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; door Propositie 18.17,

\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2} = \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2} = -\frac1{4\sin\tfrac t2} \qquad (0 < t < 2\pi).

Met $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ (deel $\gamma'$ door $2\sin\tfrac t2$ ) en $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac t2)$ :

\gamma + \frac1\kappa N = \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\ \sin\tfrac t2\Bigr) = \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos t)\bigr),

d.w.z. $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$ . Substitueren $t = u + \pi$ :

c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr) = \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :

de cycloïde $\gamma(u)$ getransleerd over $(\pi, -2)$ . De evolute van een cycloïde is een congruente cycloïde, hangend één niveau lager.

23. $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$ , dus $R(\pi) = 4$ : de helft van de booglengte $8$ berekend in Oefening 18.1. De snelheid van de evolute $c'(t) = (1 + \cos t, -\sin t)$ verdwijnt in $t = \pi$ : het keerpunt is $c(\pi) = (\pi, -2)$ , direct onder de top $\gamma(\pi) = (\pi, 2)$ , op afstand $4 = R(\pi)$ , precies de lengte van de osculatiestraal daar.

24. Uit Oefening 18.6, $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$ , dus $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ en, voor monotone $R$ ,

\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s = \Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) - R(s_0)} .

Zeg $R$ daalt. Een snaar gelegd langs de evolute voorbij $c(s_0)$ en verlengd met het segment van $c(s_0)$ naar $\gamma(s_0)$ (dat raak is aan de evolute, door vraag 4) heeft, wanneer afgepeld tot $c(s)$ en strak gespannen, recht deel van lengte $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ wijzend van $c(s)$ langs de normaal — precies landend op $\gamma(s)$ : het vrije uiteinde beschrijft de oorspronkelijke kromme (“involute”). Huygens hing een slinger tussen twee cycloïdale wangen: het koord wikkelt op de evolute, dus beschrijft de bob een cycloïde — de tautochroon, waarvan de oscillatieperiode niet van de amplitude afhangt.

25. Raaklijnen van de parabool: $\Delta = 1$ en $E' = (1, t) \neq 0$ overal — gladde omhullende (de parabool zelf). Glijdende ladder: $\Delta = -1$ , maar $E' = \tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ verdwijnt in de kwadrant-einden — de vier keerpunten van de astroïde. Normalen van de parabool en van de cycloïde: $\Delta = \kappa \neq 0$ , en $E' = R'N$ verdwijnt precies waar de kromming extreem is — keerpunten van de evoluten in $(0,1)$ en $(\pi, -2)$ . Caustiek: $\Delta = 2$ , en $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta)$ verdwijnt in $\theta = 0, \pi$ — de twee keerpunten van de nefroïde, de brandpunten van de spiegel. Extrema van kromming moeten keerpunten op de omhullende van de normalen produceren, omdat de snelheid van de evolute $R'N$ is: daarom heeft de evolute van de ellips vier keerpunten (vier toppen), en zijn de ontaarde families (bundel, evenwijdigen) de gevallen waar de machine een punt of niets produceert.