Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

18Krommen

De meetkunde wordt nu differentiaal. Een kromme is een punt dat door de ruimte beweegt; de analyse geeft ons haar snelheid en versnelling, en de meetkunde vraagt wat intrinsiek is — onafhankelijk van hoe snel wij de baan doorlopen. De antwoorden zijn de booglengte, die de baan zelf meet, en de kromming, die meet hoe zij buigt. In dimensie $3$ meet een tweede invariant, de torsie, hoe de kromme uit haar vlak draait. Het boekhoudkundige hulpmiddel voor dit alles is het bewegende frenetstelsel.

18.1 Geparametriseerde bogen

Definitie 18.1 (Geparametriseerde boog)

Een geparametriseerde boog van klasse $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) is een afbeelding $\gamma \colon I \to \R^n$ van klasse $\mathcal{C}^k$ op een interval $I$ . Een punt $\gamma(t)$ heet regulier wanneer $\gamma'(t) \neq 0$ , en de boog heet regulier wanneer al haar punten dat zijn. De rechte door $\gamma(t)$ met richting $\gamma'(t)$ is de raaklijn in een regulier punt.

Definitie 18.2 (Parameterverandering)

Een parameterverandering van klasse $\mathcal{C}^k$ is een $\mathcal{C}^k$ -diffeomorfisme $\theta \colon J \to I$ tussen intervallen (met $\theta' \neq 0$ overal). De bogen $\gamma$ en $\gamma \circ \theta$ heten equivalent; een meetkundige boog (of kromme) is een equivalentieklasse. Begrippen die invariant zijn onder parameterverandering — de baan, de raaklijn, de booglengte, de kromming — heten meetkundig.

Opmerking 18.3

De baan alleen legt de meetkundige boog niet vast: de parametriseringen $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ op $[0, 2\pi]$ en op $[0, 4\pi]$ hebben hetzelfde beeld, maar doorlopen de cirkel eenmaal en tweemaal. Een meetkundige boog onthoudt de multipliciteit en de oriëntatie van het doorlopen, niet de snelheid.

Voorbeeld 18.4 (Snelheid verandert niets meetkundigs)

Parametriseer de eenheidscirkel met

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

De snelheid $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ groeit lineair, en toch is

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

dezelfde lengte als bij constante snelheid — zoals Stelling 18.7 belooft, via de parameterverandering $t \mapsto t^2$ . De raaklijn, de kromming berekend met Propositie 18.17 en elke andere meetkundige grootheid stemmen eveneens overeen; alleen $t = 0$ verdient een blik, waar $\gamma'(0) = 0$ deze parametrisering irregulier maakt hoewel de baan een volmaakte cirkel is. Meetkundige uitspraken verdragen slechte parametriseringen slecht: parametriseer eerst opnieuw, besluit daarna.

Voorbeeld 18.5

De boog $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ is $\mathcal{C}^\infty$ maar niet regulier: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Haar baan, de semikubische parabool $y^2 = x^3$ , heeft een keerpunt in de oorsprong: de gladheid van de parametrisering verhindert geen meetkundige singulariteit waar de snelheid verdwijnt. Daarom is de regulariteitshypothese $\gamma' \neq 0$ geen opsmuk.

18.2 Booglengte

Definitie 18.6 (Booglengte)

Zij $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ een $\mathcal{C}^1$ -boog. Haar lengte is

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

waarbij $\norm{\cdot}$ de euclidische norm is. De booglengtefunctie met basispunt $t_0$ is $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Stelling 18.7 (De lengte is meetkundig; karakterisering met veelhoeken)

Is $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ een $\mathcal{C}^1$ -parameterverandering, dan is $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
$L(\gamma)$ is het supremum van de lengten van de ingeschreven veelhoeken:

$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$

Bewijs. 1. Met de substitutie $t = \theta(u)$ (volume van bachelorjaar 1, geldig omdat $\theta$ monotoon en $\mathcal{C}^1$ is) is

\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u = \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,

waarbij we $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot (\gamma'\circ\theta)$ gebruikten en, als $\theta$ daalt, het teken van $\theta'$ door het omkeren van de grenzen wordt opgeslorpt.

2. Voor elke onderverdeling is $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$ , dus volgens de driehoeksongelijkheid voor integralen $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : elke veelhoek is korter dan $L(\gamma)$ , dus $\sup \leq L(\gamma)$ .

Voor de omgekeerde ongelijkheid, zij $\varepsilon > 0$ . Omdat $\gamma'$ continu is op het compacte $[a,b]$ , is zij uniform continu: er is een $\delta > 0$ met $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq \varepsilon$ zodra $\abs{t - u} \leq \delta$ . Neem een onderverdeling met stap $\leq \delta$ . Op elk stuk geldt, voor $t \in [t_{i-1}, t_i]$ ,

\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t = (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i, \qquad \norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),

want $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) - \gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$ . Bijgevolg is

\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})} - \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .

Sommeren, en $\sum (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ vergelijken met $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (een Riemannsom van de continue functie $\norm{\gamma'}$ , die voor voldoend kleine $\delta$ opnieuw wegens de uniforme continuïteit binnen $\varepsilon(b - a)$ van de integraal ligt), geeft een veelhoek met lengte $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$ . Met $\varepsilon \to 0$ volgt de bewering. ∎

Voorbeeld 18.8 (Archimedes en de ingeschreven veelhoeken)

Voor de eenheidscirkel heeft de ingeschreven regelmatige $n$ -hoek lengte $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , en de ontwikkeling $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ geeft

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

de veelhoeklengten van Stelling 18.7 convergeren kwadratisch. Numeriek: $L_6 = 6$ (de zeshoek, die de ruwe schatting $\pi > 3$ geeft), terwijl $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ tegenover $2\pi \approx 6.28319$ — de fout $0.00113$ stemt overeen met de voorspelde $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . Daarom kon Archimedes, door de zeshoek vijf maal te verdubbelen tot $96$ zijden, $\pi$ met de hand tot op drie cijfers insluiten: elke verdubbeling deelt de fout door vier. Het supremum in de karakterisering met veelhoeken wordt niet alleen in de limiet bereikt; het wordt snel bereikt, omdat een gladde kromme zich pas op tweede orde van haar koorden losmaakt.

Stelling 18.9 (Parametrisering naar booglengte)

Zij $\gamma \colon I \to \R^n$ een reguliere $\mathcal{C}^k$ -boog ( $k \geq 1$ ). De booglengtefunctie $s$ is een $\mathcal{C}^k$ -diffeomorfisme van $I$ op een interval $J$ , en $\tilde\gamma = \gamma \circ s^{-1}$ voldoet overal aan $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ . Op een translatie van de parameter en de oriëntatie na is deze parametrisering naar booglengte (of met eenheidssnelheid) uniek.

Bewijs. $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ en $s'$ is $\mathcal{C}^{k-1}$ (de samenstelling van de $\mathcal{C}^{k-1}$ -afbeelding $\gamma'$ met de norm, glad buiten $0$ ), dus is $s$ van klasse $\mathcal{C}^k$ , strikt stijgend, een bijectie op $J = s(I)$ , en haar inverse is $\mathcal{C}^k$ volgens de stelling van de inverse functie in dimensie $1$ (volume van bachelorjaar 1). Dan is

\tilde\gamma'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{s'(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}}, \qquad t = s^{-1}(\sigma),

een eenheidsvector. Is $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ een andere parametrisering met eenheidssnelheid, dan is $\abs{\theta'} = 1$ , dus $\theta' = \pm 1$ constant (continuïteit), dat wil zeggen $\theta(u) = \pm u + c$ . ∎

Opmerking 18.10

De booglengte is de parameter die de meetkunde van de dynamica scheidt. Een baan kan met elk snelheidsprofiel worden doorlopen — de fysica van de beweging — maar elke vraag die invariant is onder parametrisering (vorm, buiging, osculatie) heeft één canonieke klok: de afgelegde afstand. Daarom worden alle krommingsformules hieronder gedefinieerd bij eenheidssnelheid en daarna met de kettingregel vertaald naar willekeurige parametriseringen: de vertaalfactoren zijn machten van $v = s'$ , en die correct bijhouden is de hele inhoud van Propositie 18.17.

Voorbeeld 18.11 (Cirkel en schroeflijn)

Voor de cirkel $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ is $\norm{\gamma'} = R$ , dus $s = Rt$ en is de lengte van een volle omwenteling $2\pi R$ . Voor de schroeflijn $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ met $a > 0$ is $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ constant: de schroeflijn wordt met constante snelheid doorlopen, en $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Voorbeeld 18.12 (Booglengte in poolcoördinaten)

Een poolkromme $r = r(\theta)$ is de boog $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , met

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(de kruistermen heffen elkaar op): het lengte-element in poolcoördinaten is $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Voor de cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

en op $\intcc{-\pi}{\pi}$ is de cosinus van de halve hoek niet-negatief, dus

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

net als bij de cycloïdeboog van Oefening 18.1 heeft een kromme die uit cirkels is opgebouwd een rationale lengte, zonder enige $\pi$ . De ontbinding met de halve hoek is de standaardtruc voor de lengten van krommen die uit cirkels ontstaan; faalt zij (de ellips), dan is de lengte een werkelijk nieuwe functie — een elliptische integraal, buiten de elementaire gesloten vormen.

18.3 Kromming in het vlak

Overal in deze paragraaf zijn de bogen $\mathcal{C}^2$ en regulier in het georiënteerde euclidische vlak. Wij parametriseren naar booglengte en schrijven $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ voor de eenheidsraakvector, en $N(s)$ voor de eenheidsvector die er direct loodrecht op staat (de rotatie van $T$ over $+\pi/2$ ).

Stelling 18.13 (Formules van Frenet in het vlak)

Zij $\tilde\gamma$ een $\mathcal{C}^2$ -boog met eenheidssnelheid in het georiënteerde vlak. Er bestaat een continue functie $\kappa$ , de (algebraïsche) kromming, zodanig dat

T'(s) = \kappa(s)\, N(s), \qquad N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).

Bewijs. Omdat $\norm{T(s)}^2 = 1$ voor alle $s$ , geeft het differentiëren van het inproduct $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ : $T'(s)$ staat loodrecht op $T(s)$ en is dus collineair met $N(s)$ (dimensie $2$ ); schrijf $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ met $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$ , continu. Evenzo is $N' \perp N$ , dus $N' = \lambda T$ ; en het differentiëren van $\langle T, N\rangle = 0$ geeft $\langle T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$ . ∎

Definitie 18.14

Is $\kappa(s) \neq 0$ , dan is de kromtestraal $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ en het krommingsmiddelpunt $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; de cirkel met dat middelpunt en die straal $R(s)$ is de osculerende cirkel, de beste cirkelvormige benadering van de kromme in $\tilde\gamma(s)$ .

Voorbeeld 18.15 (De osculerende cirkel van de exponentiële functie)

Voor $y = \eu^x$ in het punt $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , dus volgens de grafiekformule hieronder

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

De eenheidsraakvector is $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , de directe normaal $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , en het krommingsmiddelpunt is

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

de osculerende cirkel heeft vergelijking $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Als controle van de bewering “beste cirkelvormige benadering”: de cirkelvergelijking naar $y$ oplossen nabij $(0,1)$ en ontwikkelen geeft $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — precies de tweede-ordeontwikkeling van Taylor van $\eu^x$ . De osculerende cirkel past bij de waarde, de helling en de tweede afgeleide; een gewone raakcirkel past alleen bij de eerste twee.

Voorbeeld 18.16 (De evolute van een cirkel is haar middelpunt)

Voor de cirkel met straal $R$ , tegen de wijzers van de klok in doorlopen, is $\kappa = 1/R$ en wijst $N$ naar het middelpunt, dus is het krommingsmiddelpunt $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ voor elke $s$ het middelpunt van de cirkel: de osculerende cirkel van een cirkel is de cirkel zelf, en de meetkundige plaats van de krommingsmiddelpunten klapt ineen tot één punt. Dit ontaarde geval ijkt Oefening 18.6: daar is de snelheid van de evolute $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , die identiek verdwijnt precies wanneer $\kappa$ constant is.

Propositie 18.17 (Kromming in een willekeurige parametrisering)

Voor een reguliere $\mathcal{C}^2$ -vlakke boog $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ is

\kappa(t) = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)} {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,

in het bijzonder $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ voor een grafiek $y = f(x)$ .

Bewijs. Schrijf $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$ , zodat $\gamma' = vT$ (de gegevens bij eenheidssnelheid samengesteld met $s$ ). Differentiëren geeft

\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .

Neem nu de determinant (in de canonieke georiënteerde basis) van $(\gamma', \gamma'')$ : omdat $\det(T, T) = 0$ en $\det(T, N) = 1$ , is

\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N) = v^3\kappa .

Het linkerlid is $x'y'' - y'x''$ , en $v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ . Het geval van de grafiek is de parametrisering $t \mapsto (t, f(t))$ . ∎

Voorbeeld 18.18 (Cirkel, rechte, parabool)

Een rechte heeft $\kappa = 0$ (en omgekeerd: $T' = 0$ betekent dat $T$ constant is, dus $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , een rechte). De cirkel met straal $R$ , tegen de wijzers van de klok in doorlopen, heeft $\kappa = 1/R$ : met $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ geeft de formule $\kappa = R^2/R^3$ . Voor de parabool $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , maximaal in de top — de parabool buigt het scherpst waar zij omkeert.

Opmerking 18.19 (Klassieke valkuilen rond de kromming)

(i) De algebraïsche kromming van een vlakke boog verandert van teken wanneer de oriëntatie van de boog of van het vlak wordt omgekeerd: alleen $\abs\kappa$ en $R = 1/\abs\kappa$ zijn zuiver meetkundig. Een cirkel die met de wijzers van de klok mee wordt doorlopen, heeft $\kappa = -1/R$ . (ii) De grafiekformule $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ kiest stilzwijgend de parametrisering naar $x$ ; haar toepassen op een kromme die nabij het punt geen grafiek is (verticale raaklijn) is de klassieke blunder. (iii) In een punt waar $\gamma' = 0$ is niets gedefinieerd — noch $T$ noch $\kappa$ — en kan de baan werkelijk breken (Voorbeeld 18.5); ga altijd de regulariteit na voordat je de eenheidsraakvector differentieert. (iv) In de ruimte is $\kappa = \norm{T'} \geq 0$ per afspraak: er valt geen teken verkeerd te doen, maar ook geen teken uit te buiten — informatie van het type buigpunt verhuist naar de torsie. (v) Ten slotte is $\kappa$ een afgeleide naar de booglengte: voor een parametrisering zonder eenheidssnelheid is het vergeten van de factor $v^3$ in Propositie 18.17 de meest voorkomende fout in de praktijk.

De parabool y = x2/2, haar bewegende frenetstelsel (T, N) en de osculerende cirkel in de top (straal 1, want (0) = 1). Het stelsel draait mee terwijl het punt beweegt; de kromming is de snelheid van dat draaien per eenheid booglengte. — **Figuur 18.1.** De parabool $y = x^2/2$ , haar bewegende frenetstelsel $(T, N)$ en de osculerende cirkel in de top (straal $1$ , want $\kappa(0) = 1$ ). Het stelsel draait mee terwijl het punt beweegt; de kromming is de snelheid van dat draaien per eenheid booglengte.

Stelling 18.20 (De kromming legt de kromme vast)

Zij $\kappa \colon J \to \R$ continu. Er bestaat een $\mathcal{C}^2$ -boog met eenheidssnelheid in het vlak met kromming $\kappa$ , en hij is uniek op een directe isometrie na (een rotatie gevolgd door een translatie).

Bewijs. Bestaan. Houd $s_0 \in J$ vast en zet $\varphi(s) = \int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$ , en dan

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\ \int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).

Dan is $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ een eenheidsvector, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ , en

T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi) = \kappa(s)\,N(s) :

de boog heeft eenheidssnelheid en kromming $\kappa$ .

Eenduidigheid. Zijn $\gamma_1, \gamma_2$ bogen met eenheidssnelheid en dezelfde kromming. Elke eenheidsraakvector laat zich tot een hoekfunctie liften, met een expliciete constructie: beschouw $T_j$ als het complexe getal $z_j = a_j + \iu b_j$ van modulus $1$ , kies $\varphi_j(0)$ met $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ , en zet

\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j, T_j'\bigr)(u)\,\dd u .

Uit $\abs{z_j} = 1$ volgt $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') = 0$ , dus $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') = \iu\,\varphi_j'$ , dat wil zeggen $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; dan is

\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)' = \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,

zodat overal $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ : $T_j = (\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ met $\varphi_j$ van klasse $\mathcal C^1$ . Bovendien is $\det(T_j, T_j') = \det(T_j, \kappa N_j) = \kappa$ , dus $\varphi_j' = \kappa$ . Bijgevolg is $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ voor een constante $c$ : $T_2$ is $T_1$ gedraaid over de vaste hoek $c$ , dus integreren geeft $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ , waarbij $\rho$ de rotatie over de hoek $c$ is en $w$ een constante vector. ∎

Opmerking 18.21

Dit is het eendimensionale prototype van een hoofdstelling van de meetkunde: een volledig stelsel lokale invarianten (hier één functie) klasseert het object op een starre beweging na. De driedimensionale versie hieronder heeft twee invarianten nodig.

Voorbeeld 18.22 (Constante kromming betekent cirkel)

Neem $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ in de bestaansformule: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ en

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\ \frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :

de cirkel met straal $1/\kappa_0$ en middelpunt $(0, 1/\kappa_0)$ , met eenheidssnelheid doorlopen. Volgens de eenduidigheidshelft van de stelling is elke boog met eenheidssnelheid en constante kromming $\kappa_0$ een stuk van een cirkel met straal $1/\kappa_0$ (of een rechte als $\kappa_0 = 0$ ) — de omkering van de berekening in Voorbeeld 18.18, en het vlakke geval van Oefening 18.9.

Voorbeeld 18.23 (Een kromme uit haar kromming reconstrueren)

Welke kromme met eenheidssnelheid heeft kromtestraal $R(s) = 1 + s^2$ ? Het bestaansbewijs volgen met $\kappa(s) = \frac1{1+s^2}$ en $s_0 = 0$ : $\varphi(s) = \arctan s$ , dus

T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\ \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),

en integreren geeft

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\ \sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).

Zetten we $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$ , dat wil zeggen $s = \sinh x$ , dan is de tweede coördinaat $\cosh x - 1$ : de kromme is de kettinglijn $y = \cosh x - 1$ . Hiermee is de cirkel rond met Oefening 18.3, waar wij $R = \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x = 1 + s^2$ rechtstreeks berekenden: de hoofdstelling waarborgt dat de kettinglijn de enige kromme met dit krommingsprofiel is, op een directe isometrie na.

Opmerking 18.24 (Waar de kromming hierna wordt gebruikt)

De ontbinding $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ die in het bewijs van Propositie 18.17 werd verkregen, is de kinematica van elke gekromde beweging: tangentiële tegenover centripetale versnelling. De kromming keert terug bij oppervlakken (Hoofdstuk 19) via de kromming van krommen die erop getekend zijn, en de rekenkunde van de omhullenden uit de weekendopgave van dit hoofdstuk — evoluten, caustieken — is de meetkundige optica van golffronten. Het volume van bachelorjaar 3 neemt het intrinsieke standpunt weer op voor deelvariëteiten van $\R^n$ .

18.4 Het frenetstelsel in de ruimte

Zij nu $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ een $\mathcal{C}^3$ -boog met eenheidssnelheid die biregulier is: $T'(s) \neq 0$ voor alle $s$ . Dan definieert $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ de kromming (geen teken in de ruimte: er is geen bevoorrechte oriëntatie van de normaal), en zetten wij:

N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)} \quad\text{(hoofdnormaal)}, \qquad B(s) = T(s) \wedge N(s) \quad\text{(binormaal)} ,

zodat $(T, N, B)$ een direct orthonormaal stelsel is, het frenetstelsel. Het vlak door $\tilde\gamma(s)$ opgespannen door $T, N$ is het osculerende vlak.

Stelling 18.25 (Formules van Frenet in de ruimte)

Er bestaat een continue functie $\tau$ , de torsie, met

T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N .

Bewijs. De eerste formule is de definitie van $N$ . Elk van de vectoren $T, N, B$ heeft constante norm $1$ en zij staan paarsgewijs loodrecht op elkaar; het differentiëren van de zes betrekkingen $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ toont dat de matrix van $(T', N', B')$ in de basis $(T, N, B)$ antisymmetrisch is: immers $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ en $\langle X', X\rangle = 0$ . Haar element op plaats $(N, T)$ is $\langle N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$ , en het element $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$ in de $(T, B)$ -kolom. Het overige vrije element $\tau = \langle N', B\rangle$ een naam geven levert precies de drie getoonde formules: de antisymmetrie vult $\langle B', N\rangle = -\tau$ en $\langle B', T\rangle = 0$ aan. De continuïteit van $\tau = \langle N', B\rangle$ is duidelijk, omdat $N'$ en $B$ continu zijn ( $\tilde\gamma$ is $\mathcal{C}^3$ , dus $N = T'/\kappa$ is $\mathcal{C}^1$ ). ∎

Voorbeeld 18.26 (De vector van Darboux)

De drie formules van Frenet klappen samen tot één. Zet $\omega(s) = \tau\,T + \kappa\,B$ (de vector van Darboux). Met $B \wedge T = N$ , $T \wedge N = B$ en $N \wedge B = T$ :

\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad \omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad \omega \wedge B = -\tau\,N = B' :

elke stelselvector evolueert als $X' = \omega \wedge X$ , de kinematische handtekening van een ogenblikkelijke rotatie met hoeksnelheidsvector $\omega$ . Het stelsel draait met snelheid $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ om de bewegende as $\omega$ ; de kromming is de component van het draaien om de binormaal, de torsie de component om de raakvector. Voor de schroeflijn is $\omega$ een constante vector langs de as van de cilinder — en precies daarom precedeert het stelsel van de schroeflijn gelijkmatig. De antisymmetrie van de frenetmatrix, in Oefening 18.7 uitgebuit, is de matrixvorm van dit ene meetkundige feit.

Propositie 18.27 (De torsie meet de vlakheid)

Een bireguliere boog ligt in een vlak dan en slechts dan als $\tau \equiv 0$ ; in dat geval is het vlak het (constante) osculerende vlak.

Bewijs. Is $\tau \equiv 0$ , dan is $B' = 0$ , dus is $B$ een constante eenheidsvector $B_0$ , en

\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle = \langle T(s), B_0\rangle = 0 :

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ is constant, dus ligt de boog in een vlak loodrecht op $B_0$ . Omgekeerd, ligt de boog in een vlak $P$ , dan zijn $T$ en $T'$ (en dus $N$ ) voor alle $s$ evenwijdig aan de richting van $P$ ; dus is $B = T \wedge N$ een van de twee eenheidsnormalen van $P$ , en omdat zij continu is, is zij constant; dan dwingt $0 = B' = -\tau N$ met $N \neq 0$ af dat $\tau \equiv 0$ . ∎

Voorbeeld 18.28 (Een gekantelde cirkel heeft torsie nul)

De boog $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ ligt in het vlak $y = z$ en is de eenheidscirkel van dat vlak (controle: $\norm{\gamma(t)} = 1$ , en de orthonormale basis $(1,0,0)$ , $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ van het vlak vertoont de standaardparametrisering). Zonder enige berekening met Frenet voorspelt Propositie 18.27 dat $\tau \equiv 0$ , en moet de vaste binormaal de eenheidsnormaal $\pm(0, \tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ van het vlak zijn. De torsie meet niet het “gekanteld zijn in de ruimte”; zij meet het verlaten van een vlak. Alleen de $b$ ongelijk aan nul van de schroeflijn hieronder brengt echte torsie voort.

Voorbeeld 18.29 (De schroeflijn)

Voor de schroeflijn $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ met $a > 0$ berekenden wij $s = ct$ met $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dan is

T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b), \qquad T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),

dus $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ en $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ : de hoofdnormaal wijst horizontaal naar de as. Vervolgens is $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$ , en $B' \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ geeft

\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }

Beide invarianten zijn constant — en men kan omgekeerd aantonen dat de enige bireguliere krommen met constante $\kappa > 0$ en constante $\tau$ de schroeflijnen zijn (cirkels wanneer $\tau = 0$ ). Let op de tekens: $b > 0$ geeft een rechtsdraaiende schroeflijn met positieve torsie.

Voorbeeld 18.30 (Kromming en torsie zonder booglengte; de gedraaide kubiek)

Opnieuw parametriseren naar booglengte is meestal onmogelijk in gesloten vorm, dus moeten de invarianten uit de ruwe afgeleiden worden gehaald. Schrijf $v = \norm{\gamma'} = s'$ ; dan is $\gamma' = vT$ en, zoals in het bewijs van Propositie 18.17,

\gamma'' = v'T + v^2\kappa N, \qquad \gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) = v^3\kappa\,B .

Normen nemen ( $\kappa \geq 0$ in de ruimte) geeft

\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .

$\gamma''$ nog eenmaal differentiëren en $N' = v(-\kappa T + \tau B)$ omzetten (kettingregel via $s$ ): de enige $B$ -component komt uit de laatste term,

\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T + \bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,

zodat, gepaard met $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$ ,

\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge \gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .

Toepassing op de gedraaide kubiek $\gamma(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$ in $t = 0$ : $\gamma' = (1, 0, 0)$ , $\gamma'' = (0, 2, 0)$ , $\gamma''' = (0, 0, 6)$ , dus $v = 1$ ,

\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2, \qquad \det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) = \frac{12}{4} = 3 .

Het inzicht om te onthouden: beide formules zijn verhoudingen waarin de snelheid $v$ precies in de nodige graad wegvalt — $\kappa$ schaalt als een tweede afgeleide per eenheid lengte, $\tau$ als het gemengde volume van drie afgeleiden per kwadraat van een oppervlakte — en daarom zijn zij meetkundig terwijl $\gamma''$ zelf dat niet is.

Opmerking 18.31 (Hoofdstelling voor ruimtekrommen)

Net als in het vlak legt het paar $(\kappa, \tau)$ met $\kappa > 0$ een bireguliere boog vast op een directe isometrie van $\R^3$ na: de formules van Frenet vormen een lineair differentiaalstelsel voor het stelsel $(T, N, B)$ , waarop de theorie van Cauchy–Lipschitz uit Hoofdstuk 16 van toepassing is; de orthonormaliteit van het oplossingsstelsel blijft bewaard omdat de coëfficiëntenmatrix antisymmetrisch is (hetzelfde argument met de Gram-matrix als in Oefening 18.7), en de kromme wordt teruggevonden door $T$ te integreren. Wij laten de bijzonderheden aan de lezer over als een stevige maar leerzame oefening.

18.5 Lokale studie: ligging ten opzichte van de raaklijn

Propositie 18.32 (Lokale gedaante in een regulier punt)

Zij $\gamma$ een vlakke boog van klasse $\mathcal{C}^k$ in $t_0$ , met $p$ de kleinste index waarvoor $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ en $q$ de kleinste index $> p$ waarvoor $\gamma^{(q)}(t_0)$ niet collineair is met $\gamma^{(p)}(t_0)$ (aangenomen dat beide bestaan, $q \leq k$ ). In de basis $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ met oorsprong $\gamma(t_0)$ geeft Taylor–Young de coördinaten

X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!}, \qquad Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .

Het lokale beeld hangt alleen van de pariteiten van $p$ en $q$ af:

$p$ oneven, $q$ even	gewoon punt	de kromme kruist geen rechte, blijft aan één kant van de raaklijn
$p$ oneven, $q$ oneven	buigpunt	de kromme kruist haar raaklijn
$p$ even, $q$ oneven	keerpunt van de eerste soort	beide takken aan weerszijden van de raaklijn
$p$ even, $q$ even	keerpunt van de tweede soort	beide takken aan dezelfde kant

Bewijs. Taylor–Young van orde $q$ (de functie $\gamma$ is $\mathcal{C}^q$ nabij $t_0$ ):

\gamma(t) - \gamma(t_0) = \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0) + o\bigl((t-t_0)^q\bigr).

Wegens de keuze van $p$ en $q$ is elke $\gamma^{(j)}(t_0)$ met $p \leq j < q$ collineair met $u$ ; de componenten in de basis $(u, v)$ verzamelen geeft $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ en $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$ . De tekentabel van $X$ en $Y$ voor $t \gtrless t_0$ — precies bestuurd door de pariteiten — geeft de vier beelden: is bijvoorbeeld $p$ even, dan is $X > 0$ aan beide kanten (beide takken vertrekken in de richting $+u$ : een keerpunt), en de kant van de raaklijn ( $\operatorname{sign} Y$ ) wisselt als $q$ oneven is. ∎

Voorbeeld 18.33

Voor $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ in $t_0 = 0$ (Voorbeeld 18.5): $\gamma'' (0)= (2, 0)$ , $\gamma'''(0) = (0, 6)$ , dus $p = 2$ , $q = 3$ : een keerpunt van de eerste soort, het vertrouwde beeld van de semikubische parabool. Voor $\gamma(t) = (t, t^3)$ in $0$ : $p = 1$ , $q = 3$ : buigpunt — de derdegraads kromme kruist haar raaklijn.

Opmerking 18.34 (Vooruitblik binnen dit volume)

Krommen voeden de volgende hoofdstukken op drie manieren. Op een oppervlak getekend definiëren zij zijn raakvlakken en zijn eerste fundamentaalvorm (Hoofdstuk 19), en hun lengten worden berekend door de omgevende metriek te beperken — het hoofdstuk hierna is grotendeels dit hoofdstuk, gerelativeerd. De rekenkunde van de omhullenden uit de weekendopgave ontmoet dubbele integralen in Hoofdstuk 20, waar de oppervlakte van de astroïde opnieuw wordt berekend met de formule van Green (Oefening 20.5) — één kromme, twee theorieën, overeenstemmende antwoorden. En het stelsel van Frenet gebruikte al de lineaire differentiaalvergelijkingen van Hoofdstuk 16 (bestaan, eenduidigheid en het argument voor het behoud van de orthogonaliteit uit Oefening 18.7): de hoofdstelling voor krommen is een stelling over differentiaalvergelijkingen in meetkundige kledij.

Opmerking 18.35 (Methode: de lokale studie uitvoeren)

In de praktijk is de klassering een routine van vier stappen. Eén: differentieer in $t_0$ tot de eerste afgeleide ongelijk aan nul verschijnt: haar index is $p$ , haar waarde de vector $u$ . Twee: blijf differentiëren tot een afgeleide verschijnt die niet collineair is met $u$ : index $q$ , vector $v$ . Drie: lees de pariteiten $(p, q)$ in de tabel. Vier: teken: de kromme vertrekt langs $+u$ als $p$ oneven is (langs $u$ en dan weer terug langs $u$ als $p$ even is), aan de kant van $v$ die het teken van $Y$ voorschrijft. Twee waarschuwingen. Het stelsel $(u, v)$ is in het algemeen niet orthonormaal — de tabel beschrijft liggingen ten opzichte van de raaklijn, geen hoeken of afstanden, dus lees geen kromming van het beeld af. En tussenliggende afgeleiden die collineair zijn met $u$ zijn tussen de rangen $p$ en $q$ toegestaan (zij verschuiven alleen de ontwikkeling van $X$ ); wat niet mag gebeuren, is stoppen bij de eerste afgeleide ongelijk aan nul en $q = p + 1$ gokken: voor $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ is de naïeve gok $q = 3$ verkeerd, want $\gamma^{(3)}(0)$ is nog altijd collineair met $\gamma''(0)$ — en dat is precies Oefening 18.5.

18.6 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Bereken de lengte van één boog van de cycloïde $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ . (Gebruik $1 - \cos t = 2\sin^2(t/2)$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$ , dus

\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,

en $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (niet-negatief op $[0, 2\pi]$ ). Bijgevolg is

L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t = \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :

één boog van de cycloïde heeft lengte $8$ (voor een wiel met straal $1$ ) — een beroemd resultaat van Wren, zonder enige $\pi$ in zicht.

Oefening 18.2 ★

Bereken de kromming van de ellips $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a > b > 0$ ) en lokaliseer de punten van maximale en minimale kromming.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

Met $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$ , $y' = b\cos t$ , $x'' = -a\cos t$ , $y'' = -b\sin t$ , dus volgens Propositie 18.17

\kappa(t) = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t} {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .

De noemer is minimaal wanneer $\sin t = 0$ (waarde $b^3$ , punten $(\pm a, 0)$ ) en maximaal wanneer $\cos t = 0$ (waarde $a^3$ , punten $(0, \pm b)$ ), omdat $a > b$ . Bijgevolg is $\kappa$ maximaal in de uiteinden van de grote as, $\kappa_{\max} = a/b^2$ , en minimaal in de uiteinden van de kleine as, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : de ellips buigt het scherpst in de toppen van haar lange as.

Oefening 18.3 ★

Toon aan dat de booglengte van de grafiek van $f(x) = \cosh x$ over $[0, x]$ gelijk is aan $\sinh x$ , en bereken de kromming van deze kromme (de kettinglijn). Ga na dat $R(x) = 1/\kappa(x) = \cosh^2 x$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

Voor de grafiek $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ is $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$ , dus is de booglengte van $0$ tot $x$ gelijk aan $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$ . Kromming van een grafiek (Propositie 18.17):

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}} = \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,

dus $R(x) = \cosh^2 x$ , zoals aangekondigd. Merk het nette toeval $R(x) = 1 + s(x)^2$ op met $s = \sinh x$ de booglengte: de kromtestraal van de kettinglijn groeit met het kwadraat van de booglengte vanaf de top.

Oefening 18.4 ★★

(Logaritmische spiraal) Zij $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$ , $t \in \R$ . Toon aan dat de hoek tussen $\gamma(t)$ en $\gamma'(t)$ constant is, bereken de booglengte van $\gamma$ op $(-\infty, 0]$ (eindig!) en de kromming.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$ , dus

\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t} \bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = e^{2t},

terwijl $\norm{\gamma(t)} = e^t$ en $\norm{\gamma'(t)} = e^t\sqrt 2$ . Bijgevolg is

\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr) = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :

de raaklijn maakt altijd de hoek $\pi/4$ met de voerstraal — de gelijkhoekige eigenschap van de logaritmische spiraal. Booglengte op $(-\infty, 0]$ :

\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t = \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,

eindig hoewel de spiraal zich oneindig vaak om de oorsprong windt. Kromming: met $x'y'' - y'x''$ berekend uit $\gamma'' = e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$ ,

x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t) + 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},

dus $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} = \dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : de kromming is $1/(\sqrt2\, \norm{\gamma})$ en vervalt naarmate de spiraal groeit.

Oefening 18.5 ★★

Bepaal $p$ , $q$ en de lokale gedaante (gewoon punt, buigpunt, keerpunt) van $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ in $t = 0$ , en van $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ in $t = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

Eerste boog: $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ . Afgeleiden in $0$ : $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$ , dus $p = 2$ . Vervolgens is $\gamma^{(3)}(0) = (0, 0)$ en $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ , niet collineair met $(2, 0)$ : $q = 4$ . Beide even: keerpunt van de tweede soort — beide takken vertrekken in de richting $+u = (1,0)$ en blijven aan dezelfde kant van de raaklijn. (Inderdaad is $y = x^2 \pm x^{5/2}$ op de twee takken: hetzelfde teken voor kleine $x$ .)

Tweede boog: $\gamma(t) = (t^3, t^4)$ . $\gamma'(0) = \gamma''(0) = 0$ , $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$ , oneven. Vervolgens $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$ , even. Oneven–even: gewoon punt — ondanks de verdwijnende snelheid gaat de baan $y = x^{4/3}$ glad door de oorsprong en blijft zij boven haar raaklijn $y = 0$ .

Oefening 18.6 ★★

Zij $\gamma$ een vlakke boog met eenheidssnelheid en $\kappa(s) > 0$ voor alle $s$ , en zij $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ het krommingsmiddelpunt (de kromme $c$ is de evolute). Toon aan, aangenomen dat $\kappa$ van klasse $\mathcal{C}^1$ is, dat $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : de evolute raakt de normaallijnen van $\gamma$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

Differentieer $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ met de formules van Frenet in het vlak (Stelling 18.13):

c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,

waarbij de raaktermen elkaar precies opheffen. De snelheid van de evolute wordt dus door $N(s)$ gedragen, die de normaallijn van $\gamma$ in $\gamma(s)$ richt — en het punt $c(s)$ ligt op juist die normaallijn: de evolute is de omhullende van de normalen. (Waar $\kappa' = 0$ heeft de evolute een singulier punt; dat brengt de keerpunten van de evolute van een ellips voort.)

Oefening 18.7 ★★★

Zij $A(s)$ een continue familie antisymmetrische $3 \times 3$ -matrices en $F' = F A$ een matrixoplossing met $F(s_0)$ orthogonaal. Toon aan dat $F(s)$ orthogonaal is voor alle $s$ . (Differentieer $G = F F^{\mathsf T}$ en gebruik de eenduidigheid in Cauchy–Lipschitz.) Leg het belang voor het stelsel van Frenet uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

Zij $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$ . Dan is, met $F' = FA$ en $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$ ,

G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})' = FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T} = F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0

wegens de antisymmetrie. Dus is $G$ constant op het interval, gelijk aan $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ : $F(s)$ is orthogonaal voor elke $s$ . (Alternatief, zonder $G'$ tot nul te berekenen: zowel $G$ als de constante $I$ lossen het lineaire stelsel $Y' = YA + A^{\mathsf T}Y$ met dezelfde beginwaarde op, en de eenduidigheid van Cauchy–Lipschitz voor lineaire stelsels, Hoofdstuk 16, dwingt $G \equiv I$ af.)

Belang: het stelsel van Frenet $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ heeft de antisymmetrische coëfficiëntenmatrix

A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

(de kolommen drukken $T', N', B'$ uit). De berekening hierboven toont dat een oplossingsstelsel dat orthonormaal begint, orthonormaal blijft — de sleutelstap in de hoofdstelling die een kromme uit $(\kappa, \tau)$ reconstrueert.

Oefening 18.8 ★★★

(Totale kromming van een gesloten convexe kromme) Zij $\tilde\gamma$ een gesloten vlakke $\mathcal{C}^2$ -boog met eenheidssnelheid en lengte $L$ (dus $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$ ), eenmaal tegen de wijzers van de klok in doorlopen. Leg met de hoekfunctie $\varphi$ waarvoor $T = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ uit Stelling 18.20 uit waarom $\varphi(L) - \varphi(0)$ een veelvoud van $2\pi$ is, en toon aan dat $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$ . (Voor een cirkel met straal $R$ : $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$ . De stelling van de draaiende raaklijnen beweert de waarde $2\pi$ voor elke enkelvoudige gesloten kromme; dat hoef je niet te bewijzen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

Volgens Stelling 18.20 (het gedeelte over de eenduidigheid) bestaat er een $\mathcal{C}^1$ -hoekfunctie $\varphi$ met $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ en $\varphi' = \kappa$ . Bijgevolg is

\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .

Omdat de boog gesloten is met periode $L$ , is $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0), \sin\varphi(0))$ , dus $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$ . De totale kromming van een gesloten kromme is dus altijd een geheel veelvoud van $2\pi$ — waarbij dat gehele getal het windingsgetal van de raakvector is (het aantal volle omwentelingen dat $T$ maakt). Voor de cirkel met straal $R$ : $\kappa = 1/R$ en $L = 2\pi R$ , totale kromming $2\pi$ , windingsgetal $1$ ; de stelling van de draaiende raaklijnen stelt dat deze waarde voor elke enkelvoudige gesloten kromme geldt.

Oefening 18.9 ★★★

Toon aan dat een bireguliere ruimtekromme met constante $\kappa > 0$ en $\tau = 0$ (een boog van) een cirkel met straal $1/\kappa$ is. (Gebruik Propositie 18.27 en toon dan aan dat het middelpunt $\gamma + \frac1\kappa N$ constant is.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

Omdat $\tau \equiv 0$ , ligt de kromme in een vlak (Propositie 18.27); werk in dat vlak. Beschouw het kandidaat-middelpunt

c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s) \qquad (\kappa \text{ constant}).

Differentiëren met de formules van Frenet ( $N' = -\kappa T + \tau B = -\kappa T$ hier) geeft

c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,

dus is $c$ een constant punt $\Omega$ . Dan is $\norm{\gamma(s) - \Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ voor alle $s$ : de kromme ligt op de cirkel met middelpunt $\Omega$ en straal $1/\kappa$ (in haar vlak), en omdat zij er een niet-constante boog van is, is zij een boog van die cirkel.

Oefening 18.10 ★

Bereken de booglengte van de parabool $y = x^2/2$ over $\intcc0a$ en toon aan dat zij gelijk is aan

\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 + a^2}\bigr)\Bigr).

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

Voor de grafiek $\gamma(x) = (x, x^2/2)$ is $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + x^2}$ , dus $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$ . De substitutie $x = \sinh u$ ( $\dd x = \cosh u\,\dd u$ , $u$ van $0$ tot $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$ ) geeft

L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u = \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a} = \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) + a\sqrt{1+a^2}\Bigr),

met $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ en $\sinh u_a = a$ , $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$ .

Oefening 18.11 ★★

Zij $\gamma$ een reguliere $\mathcal C^2$ -boog in $\R^n$ waarvan alle raaklijnen door een vast punt $P$ gaan. Bewijs dat de baan van $\gamma$ in een rechte lijn bevat is. (Parametriseer naar booglengte, schrijf $\gamma(s) + \lambda(s)T(s) = P$ en differentieer.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

Parametriseer naar booglengte (Stelling 18.9) en zet $\lambda(s) = \langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$ , een $\mathcal C^1$ -functie; omdat $P$ op de raaklijn in $\gamma(s)$ ligt, is de vector $P - \gamma(s)$ collineair met $T(s)$ , dus $P = \gamma(s) + \lambda(s)T(s)$ . Differentiëren geeft

0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s) = \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),

en $T'(s) \perp T(s)$ (differentieer $\norm T^2 = 1$ ), dus verdwijnen beide componenten: $\lambda' = -1$ en $\lambda T' = 0$ . Dan verdwijnt $\lambda(s) = c - s$ hoogstens eenmaal, dus is $T' = 0$ op een dichte verzameling, en wegens de continuïteit overal: $T$ is een constante eenheidsvector en $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s - s_0)T$ : een rechte lijn (door $P$ , zoals het moet).

Oefening 18.12 ★★★

(Hoofdstelling voor ruimtekrommen) Zijn $\kappa > 0$ en $\tau$ continue functies op een interval $J$ . Voer het programma uit van de opmerking na Voorbeeld 18.29: (a) toon aan dat het lineaire stelsel $F' = FA(s)$ , met $A(s)$ de antisymmetrische frenetmatrix opgebouwd uit $\kappa, \tau$ en $F(s_0)$ een direct orthonormaal stelsel, een unieke globale oplossing heeft die een direct orthonormaal stelsel blijft; (b) construeer een bireguliere kromme met eenheidssnelheid, kromming $\kappa$ en torsie $\tau$ ; (c) bewijs de eenduidigheid op een directe isometrie van $\R^3$ na.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

(a) De frenetmatrix

A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

heeft continue elementen, dus heeft het lineaire stelsel $F' = FA(s)$ , $F(s_0) = F_0$ (een directe orthonormale matrix) een unieke oplossing op heel $J$ (Stelling 16.4). Volgens Oefening 18.7 is $F(s)$ orthogonaal voor elke $s$ ; $\det F$ is continu met waarden in $\{\pm1\}$ en gelijk aan $1$ in $s_0$ , dus is $F(s)$ direct voor alle $s$ .

(b) Lees de rijen $T, N, B$ van $F$ af (zodat $T' = \kappa N$ , $N' = -\kappa T + \tau B$ , $B' = -\tau N$ ) en zet $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$ . Dan is $\gamma' = T$ een eenheidsvector: eenheidssnelheid; $T' = \kappa N$ met $\kappa > 0$ en $N$ een eenheidsvector loodrecht op $T$ , dus is $\gamma$ biregulier met kromming $\norm{T'} = \kappa$ en hoofdnormaal $N$ ; de binormaal is $T \wedge N = B$ (direct orthonormaal stelsel), en $B' = -\tau N$ identificeert de torsie als $\tau$ .

(c) Zijn $\gamma_1, \gamma_2$ bireguliere krommen met eenheidssnelheid en dezelfde $(\kappa, \tau)$ . Er is een unieke directe isometrie $\Phi = \rho + w$ ( $\rho \in SO(3)$ ) die $\gamma_1(s_0)$ naar $\gamma_2(s_0)$ zendt en het frenetstelsel van $\gamma_1$ in $s_0$ naar dat van $\gamma_2$ in $s_0$ . De kromme $\Phi\circ\gamma_1$ heeft eenheidssnelheid en dezelfde invarianten (haar stelsel is $\rho$ toegepast op dat van $\gamma_1$ , en $\rho$ bewaart kruisproducten omdat zij direct is). Nu lossen de stelsels van $\Phi\circ\gamma_1$ en $\gamma_2$ beide $F' = FA(s)$ op met dezelfde beginwaarde, dus vallen zij samen wegens de eenduidigheid; in het bijzonder stemmen de raakvectoren overeen, en integreren vanaf het gemeenschappelijke punt $s_0$ geeft $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$ .

18.7 Probleem: omhullenden — de astroïde, twee evoluten en een caustiek

Een ladder van lengte 1 die langs een muur naar beneden glijdt (blauwe standen) kruist de astroïde x2/3 + y2/3 = 1 (rood) nooit: de astroïde is de omhullende van de familie segmenten, rakend aan elk ervan. — Een ladder van lengte $1$ die langs een muur naar beneden glijdt (blauwe standen) kruist de astroïde $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (rood) nooit: de astroïde is de *omhullende* van de familie segmenten, rakend aan elk ervan.

Probleem 18.1

Weekendopgave — de machine van de omhullenden en vier klassieke krommen

Een familie rechten met één parameter dekt het vlak gewoonlijk niet gelijkmatig: de rechten hopen zich op langs een kromme die aan alle raakt, hun omhullende. Lichtstralen maken omhullenden zichtbaar als caustieken — de heldere kromme met keerpunten in een kop koffie. Deze opgave bouwt de algemene machine van de omhullenden en laat haar dan vier keer lopen: de glijdende ladder (astroïde), de normalen van de parabool en van de cycloïde (evoluten, met aan het eind de slinger van Huygens) en de caustiek van het koffiekopje (nefroïde). Overal duidt $D_t$ de rechte met vergelijking $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$ aan, waarbij $a, b, c$ van klasse $\mathcal C^2$ zijn met $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$ , en is $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$ .

Deel I — De machine van de omhullenden.

Neem aan dat $\Delta(t) \neq 0$ . Toon aan dat het karakteristieke stelsel

$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\ a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$

een unieke oplossing $E(t) = (x(t), y(t))$ heeft, gegeven door $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$ , $y = \dfrac{ac' - a'c}{\Delta}$ .
Neem bovendien aan dat $E$ nabij $t$ van klasse $\mathcal C^1$ is met $E'(t) \neq 0$ . Toon, door de eerste vergelijking van het stelsel te differentiëren, aan dat $a(t)\,x'(t) + b(t)\,y'(t) = 0$ , en besluit dat de kromme $E$ door een punt van $D_t$ gaat met de richting van $D_t$ : de familie raakt aan $E$ , die haar omhullende wordt genoemd.
Verstandscontrole: de raaklijnen van de parabool $y = x^2/2$ in de punten $(t, t^2/2)$ zijn $tx - y = t^2/2$ . Ga na dat de machine van de omhullenden de parabool zelf teruggeeft.
(Omhullende van de normalen) Zij $\gamma$ van eenheidssnelheid met $\kappa(s) \neq 0$ . De normaallijn in $\gamma(s)$ is $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s) \rangle = 0\}$ . Toon aan dat haar karakteristieke stelsel $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle = 1/\kappa(s)$ afdwingt, en dus dat het karakteristieke punt het krommingsmiddelpunt is: de omhullende van de normalen is de evolute, waarmee Oefening 18.6 wordt teruggevonden. Ga na dat $\Delta(s) = \kappa(s)$ .
Twee ontaardingen. Toon voor de waaier $D_\theta : x\cos \theta + y\sin\theta = 0$ aan dat het karakteristieke punt voor elke $\theta$ de oorsprong is (de “omhullende” klapt ineen tot een punt, en $E' = 0$ : vraag 2 is niet van toepassing). Toon voor een familie evenwijdige rechten ( $a, b$ constant) aan dat $\Delta \equiv 0$ en dat het karakteristieke stelsel in het algemeen strijdig is: geen omhullende.

Deel II — De glijdende ladder en de astroïde. Een segment van lengte $1$ glijdt met het ene uiteinde $P_t = (\cos t, 0)$ op de vloer en het andere $Q_t = (0, \sin t)$ tegen de muur, $t \in \intoo0{\pi/2}$ .

Toon aan dat de rechte $(P_tQ_t)$ vergelijking $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ heeft, en dat de machine van de omhullenden het karakteristieke punt

$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t)$

geeft: de astroïde, met impliciete vergelijking $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (door symmetrie tot de andere kwadranten uitgebreid).
Toon aan dat $E'(0) = 0$ en, met de lokale klassering (Propositie 18.32), dat de astroïde in $(1, 0)$ een keerpunt van de eerste soort heeft — en evenzo in haar vier punten op de assen.
Bereken $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ en leid af dat de totale lengte van de astroïde $6$ is.
Waar raakt de ladder de astroïde? Toon aan dat $E(t) = P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : het raakpunt verdeelt de ladder in de verhouding $\sin^2 t : \cos^2 t$ , en veegt haar terwijl de ladder glijdt van het ene uiteinde naar het andere.
Bereken de oppervlakte die de astroïde omsluit: toon aan dat de oppervlakte in het eerste kwadrant $3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t$ is, evalueer de integraal door lineariseren ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ), en besluit dat de totale oppervlakte $3\pi/8$ is.

Deel III — De evolute van de parabool. Zij $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ .

Toon aan dat de normaallijn in $\gamma(t)$ vergelijking $x + t\,y = t + t^3/2$ heeft.
Laat de machine van de omhullenden lopen: toon aan dat de omhullende van de normalen

$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr)$

is, met impliciete vergelijking $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : een semikubische parabool.
Kruiscontrole met vraag 4: bereken het krommingsmiddelpunt $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ uit $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ (Voorbeeld 18.18) en vind hetzelfde punt terug.
Toon aan dat de evolute in $(0, 1)$ een keerpunt van de eerste soort heeft, het krommingsmiddelpunt in de top — het punt waar $\kappa$ extremaal is, zoals de formule $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ uit Oefening 18.6 voorspelt.
Hoeveel normalen van de parabool gaan door een gegeven punt $(x_0, y_0)$ ? Toon aan dat het antwoord bestuurd wordt door de derdegraadsvergelijking $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; behandel het geval op de as $x_0 = 0$ volledig (één normaal voor $y_0 < 1$ , drie voor $y_0 > 1$ ), en interpreteer de evolute als de overgangskromme.

Deel IV — De caustiek van het koffiekopje. Evenwijdige stralen met richting $(1, 0)$ treffen de binnenkant van de spiegelende cirkel $x^2 + y^2 = 1$ ; de straal die $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ raakt, weerkaatst volgens de weerkaatsingswet.

Verantwoord met de spiegelsymmetrie in de normaal (de straal) dat de weerkaatste richting $v = u - 2\langle u, n\rangle n$ is met $u = (1,0)$ , $n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , en bereken $v = -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
Toon aan dat de weerkaatste straal op de rechte

$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta$

ligt.
Laat de machine van de omhullenden lopen ( $\Delta = 2$ ): toon aan dat de caustiek

$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta - \sin3\theta}4\Bigr)$

is, de nefroïde.
Bereken $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\, (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; ga na dat de raakrichting de richting van de weerkaatste straal is (vraag 16), lokaliseer de twee keerpunten $(\pm\tfrac12, 0)$ , en toon aan dat de weerkaatste straal de as $y = 0$ snijdt in $x = \frac1{2\cos\theta}$ — zodat bijna axiale stralen in $x = \tfrac12$ samenkomen: de brandpuntsafstand $R/2$ van een spiegel met straal $R$ .
Toon aan dat de nefroïde totale lengte $6$ heeft en dat nabij $\theta = 0$

$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) = \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 + o(\theta^3)\bigr) :$

een keerpunt van de eerste soort, wijzend langs de as.
Leg in één alinea uit waarom de caustiek helder is: door elk punt net buiten de caustiek gaan twee weerkaatste stralen, en in elk punt erop zijn de stralen “oneindig geconcentreerd” (de afbeelding $(\theta, \text{afstand langs de straal}) \mapsto \R^2$ heeft precies op de omhullende een kritiek punt).

Deel V — Huygens: de cycloïde is haar eigen evolute. Zij $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in \intoo0{2\pi}$ , één boog van de cycloïde.

Bereken $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ en het krommingsmiddelpunt; toon aan dat de evolute

$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$

is, en dat de substitutie $t = u + \pi$ haar vertoont als de oorspronkelijke cycloïde, getransleerd over $(\pi, -2)$ : de evolute van een cycloïde is een congruente cycloïde (Huygens).
Ga na dat de kromtestraal in de top $t = \pi$ gelijk is aan $4$ , de helft van de lengte $8$ van één boog (Oefening 18.1); lokaliseer het keerpunt van de evolute recht onder de top, op afstand $4$ .
(De eigenschap van het koord) Zij $\gamma$ van eenheidssnelheid met $\kappa > 0$ , $\kappa$ van klasse $\mathcal C^1$ en $R = 1/\kappa$ strikt monotoon. Toon met $c' = R'N$ aan dat de booglengte van de evolute tussen $c(s_0)$ en $c(s_1)$ gelijk is aan $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interpreteer: een strak koord dat van de evolute wordt afgewikkeld en bij aanvang lengte $R(s_0)$ heeft, laat zijn vrije uiteinde de oorspronkelijke kromme beschrijven — zodat een slinger die tussen twee cycloïdale wangen van de klok van Huygens zwaait, een cycloïde beschrijft.
Synthese. De machine van Deel I bracht een astroïde, een semikubische parabool, een nefroïde en een cycloïde voort. Geef voor elk van de vier families in één zin aan waar de hypothesen $\Delta \neq 0$ en $E' \neq 0$ golden of faalden, en welk meetkundig verschijnsel (keerpunt, brandpunt, ontaarding) elk falen van $E' \neq 0$ aankondigde. Waar moeten de extrema van de kromming op de omhullende van de normalen verschijnen, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. Het stelsel is lineair in $(x, y)$ met determinant $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ : de regel van Cramer geeft de unieke oplossing

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.

2. Omdat $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ identiek geldt, geeft differentiëren $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ ; de tweede karakteristieke vergelijking doodt $a'x + b'y - c'$ , dus $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ staat loodrecht op $(a, b)$ en is dus evenwijdig met $(-b, a)$ , de richting van $D_t$ . Omdat $E(t) \in D_t$ (eerste vergelijking) en $E'(t) \neq 0$ , is de rechte $D_t$ precies de raaklijn van de kromme $E$ in $E(t)$ .

3. Hier is $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$ , dus $\Delta = t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ en

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 + t = t, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 = \tfrac{t^2}2 :

de omhullende van de raaklijnen van de parabool is de parabool, zoals het hoort.

4. De normaallijn is $\langle M, T(s)\rangle = \langle\gamma(s), T(s)\rangle$ : coëfficiënten $a = T_1$ , $b = T_2$ , $c = \langle\gamma, T\rangle$ . Differentiëren met Frenet ( $T' = \kappa N$ ): $a' = \kappa N_1$ , $b' = \kappa N_2$ , en $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ . De tweede karakteristieke vergelijking $\kappa\langle M, N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ luidt $\kappa\langle M - \gamma, N\rangle = 1$ . De eerste zegt dat $M - \gamma \perp T$ , dus $M - \gamma = \mu N$ met $\mu = 1/\kappa$ : het karakteristieke punt is $\gamma + \frac1\kappa N$ , het krommingsmiddelpunt, en de omhullende van de normalen is de evolute uit Oefening 18.6. Ten slotte is $\Delta = T_1\kappa N_2 - \kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$ .

5. Waaier: het stelsel $x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ heeft determinant $1$ en oplossing $(0,0)$ voor elke $\theta$ : $E \equiv (0,0)$ , $E' \equiv 0$ , en er is geen kromme — slechts het gemeenschappelijke punt van alle rechten. Evenwijdige familie: $a' = b' = 0$ geeft $\Delta \equiv 0$ en als tweede vergelijking $0 = c'(t)$ , wat faalt zodra de familie werkelijk beweegt: geen karakteristiek punt, en inderdaad raakt een familie evenwijdige rechten geen enkele kromme langs al haar leden.

6. De rechte door $(\cos t, 0)$ en $(0, \sin t)$ is $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$ , dat wil zeggen $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ . Met $(a, b, c) = (\sin t, \cos t, \sin t\cos t)$ : $a' = \cos t$ , $b' = -\sin t$ , $c' = \cos 2t$ , $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$ . Cramer:

\begin{align*} x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t = \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\ y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t = \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t . \end{align*}

En $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : de astroïde.

7. $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ verdwijnt in $t = 0$ . Daar geeft $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ dat $p = 2$ ; de $x$ -component van $E$ is even in $t$ , dus $E'''(0) = (0, 6)$ , niet collineair: $q = 3$ . Even–oneven: keerpunt van de eerste soort in $(1, 0)$ (Propositie 18.32), met raaklijn langs de $x$ -as. De symmetrieën $x \mapsto -x$ , $y \mapsto -y$ en $(x, y) \mapsto (y, x)$ van de astroïde brengen het keerpunt over naar $(-1, 0)$ en $(0, \pm1)$ .

8. $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ , dus $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ . Eén kwadrant: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t = \tfrac32$ , en wegens de symmetrie is de totale lengte $4 \cdot \tfrac32 = 6$ .

9. $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) = \sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ . Het raakpunt is dus het barycentrum van $(P_t, \cos^2 t)$ en $(Q_t, \sin^2 t)$ : terwijl $t$ van $0$ tot $\pi/2$ loopt, glijdt het van het uiteinde op de vloer naar het uiteinde tegen de muur.

10. In het eerste kwadrant heeft het gebied onder de astroïde oppervlakte $\int_0^1 y\,\dd x$ met $x = \cos^3 t$ , dat van $1$ tot $0$ daalt terwijl $t$ van $0$ tot $\pi/2$ loopt:

\int_0^1 y\,\dd x = \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t = 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .

Lineariseren: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t = \tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$ , en $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ terwijl $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t = \bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$ . De integraal is dus $\tfrac\pi{32}$ , de oppervlakte van het kwadrant $\tfrac{3\pi}{32}$ , en de omsloten oppervlakte $4 \cdot \tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$ .

11. De raaklijn in $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ heeft richting $(1, t)$ , dus is de normaallijn $\{(x, y) : (x - t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$ , dat wil zeggen $x + t\,y = t + \tfrac{t^3}2$ .

12. $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$ , $b' = 1$ , $c' = 1 + \tfrac32 t^2$ , $\Delta = 1$ . Dan is $y = ac' - a'c = 1 + \tfrac32t^2$ en

x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 + \tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .

$t$ elimineren: $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ en $x^2 = t^6 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : een semikubische parabool met top $(0, 1)$ .

13. $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$ , $N = (-t, 1)/\sqrt{1+t^2}$ , en $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ , dus

\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) + (1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),

dezelfde kromme: de omhullende van de normalen is de meetkundige plaats van de krommingsmiddelpunten, zoals vraag 4 beloofde.

14. $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ verdwijnt in $t = 0$ ; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ geeft $p = 2$ en $E'''(0) = (-6, 0)$ geeft $q = 3$ : een keerpunt van de eerste soort in $(0, 1)$ . De top is waar $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ maximaal is, dus $\kappa'(0) = 0$ en de snelheid $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ van de evolute verdwijnt daar precies: de keerpunten van de evolute liggen in de extrema van de kromming.

15. De normaal bij parameter $t$ gaat door $(x_0, y_0)$ dan en slechts dan als $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$ , dat wil zeggen

\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,

een derdegraadsvergelijking in $t$ : één of drie reële nulpunten (zonder multipliciteit geteld, voor generieke punten). Op de as $x_0 = 0$ ontbindt zij als $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ : het nulpunt $t = 0$ (de as is de normaal in de top), plus $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ wanneer $y_0 > 1$ . Dus: één normaal voor $y_0 < 1$ , drie voor $y_0 > 1$ , en in $y_0 = 1$ markeert het drievoudige nulpunt het keerpunt van de evolute. In het algemeen betekent een dubbel nulpunt van de derdegraadsvergelijking dat het punt zowel aan de vergelijking van de rechte als aan haar afgeleide naar $t$ voldoet — het ligt op de omhullende: de evolute is precies de grens tussen het gebied met één en dat met drie normalen.

16. De weerkaatsing in de spiegel keert de normale component van de richting om en behoudt de tangentiële: schrijven we $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$ , dan is de weerkaatste richting $u_{\mathrm{tan}} - \langle u, n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$ . Hier is $\langle u, n\rangle = \cos\theta$ , dus

v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta) = (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta) = -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).

17. De weerkaatste straal gaat door $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ met richting $(\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; een normaalvector is $(-\sin2\theta, \cos2\theta)$ , dus is de rechte

-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y - \sin\theta) = 0,

en de constante is $-\sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : met $-1$ vermenigvuldigen geeft $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$ .

18. $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta, \sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$ , $b' = 2\sin2\theta$ , $c' = \cos\theta$ , $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$ . Cramer, en dan de formules die producten in sommen omzetten:

\begin{align*} x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta + \cos\theta\cos2\theta}{2} = \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta + \cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\ y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2 = \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta - \sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 : \end{align*}

de nefroïde, een gesloten kromme met twee keerpunten.

19. Differentiëren en ontbinden met $\sin3\theta - \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$ en $\cos\theta - \cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ :

E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\ \cos\theta - \cos3\theta\bigr) = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),

evenwijdig met de weerkaatste richting van vraag 16: elke weerkaatste straal raakt de caustiek, zoals de eigenschap van de omhullende eist. $E' = 0$ precies wanneer $\sin\theta = 0$ : $E(0) = (\tfrac12, 0)$ en $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$ , de twee keerpunten. $y = 0$ stellen in de vergelijking van de rechte geeft $x\sin2\theta = \sin\theta$ , dus $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ als $\theta \to 0$ : paraxiale stralen komen samen op afstand $R/2$ van het middelpunt — de brandpuntsafstand van de bolvormige spiegel.

20. $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$ , dus is de lengte $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\, \dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$ . Nabij $\theta = 0$ geldt, met $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ en $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 + O(\theta^5)$ :

x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4} = \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4), \qquad y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4} = \theta^3 + O(\theta^5) :

$p = 2$ , $q = 3$ , een keerpunt van de eerste soort dat langs de as wijst — het heldere punt van de caustiek in het koffiekopje.

21. Parametriseer de verlichte punten met $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (de ligging langs elke weerkaatste straal). De jacobideterminant $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) = \det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ is affien in $r$ en verdwijnt voor precies één $r = r_*(\theta)$ — en $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ is het karakteristieke punt, want daar worden de richting van de straal en de variatie van de familie afhankelijk. Buiten de omhullende is de afbeelding een lokaal diffeomorfisme, en een punt net binnen de caustiek wordt door twee nabije stralen getroffen (twee oplossingen $\theta$ ), een punt erbuiten door geen enkele uit dat deel van de familie; op de caustiek vallen de twee samen. De lichtintensiteit is omgekeerd evenredig met de absolute waarde van de jacobideterminant, en explodeert dus langs de omhullende: de caustiek is de heldere kromme, het helderst van al in het keerpunt, waar de ontaarding het ergst is.

22. $x' = 1 - \cos t$ , $y' = \sin t$ , $x'' = \sin t$ , $y'' = \cos t$ , dus $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ en $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; volgens Propositie 18.17 is

\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2} = \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2} = -\frac1{4\sin\tfrac t2} \qquad (0 < t < 2\pi).

Met $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ ( $\gamma'$ delen door $2\sin\tfrac t2$ ) en $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac t2)$ :

\gamma + \frac1\kappa N = \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\ \sin\tfrac t2\Bigr) = \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos t)\bigr),

dat wil zeggen $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$ . De substitutie $t = u + \pi$ geeft

c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr) = \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :

de cycloïde $\gamma(u)$ , getransleerd over $(\pi, -2)$ . De evolute van een cycloïde is een congruente cycloïde, die één niveau lager hangt.

23. $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$ , dus $R(\pi) = 4$ : de helft van de booglengte $8$ berekend in Oefening 18.1. De snelheid $c'(t) = (1 + \cos t, -\sin t)$ van de evolute verdwijnt in $t = \pi$ : het keerpunt is $c(\pi) = (\pi, -2)$ , recht onder de top $\gamma(\pi) = (\pi, 2)$ , op afstand $4 = R(\pi)$ , precies de lengte van de osculerende straal daar.

24. Volgens Oefening 18.6 is $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$ , dus $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ en, voor monotone $R$ ,

\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s = \Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) - R(s_0)} .

Neem aan dat $R$ daalt. Een koord dat langs de evolute voorbij $c(s_0)$ wordt gelegd en verlengd met het segment van $c(s_0)$ naar $\gamma(s_0)$ (dat volgens vraag 4 aan de evolute raakt), heeft, wanneer het tot $c(s)$ wordt afgepeld en strak getrokken, een recht deel met lengte $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ dat vanuit $c(s)$ langs de normaal wijst — en dat precies op $\gamma(s)$ uitkomt: het vrije uiteinde beschrijft de oorspronkelijke kromme (de “involute”). Huygens hing een slinger tussen twee cycloïdale wangen: het koord wikkelt zich op de evolute, dus beschrijft de slingerbol een cycloïde — de tautochroon, waarvan de trillingstijd niet van de amplitude afhangt.

25. Raaklijnen van de parabool: $\Delta = 1$ en $E' = (1, t) \neq 0$ overal — een gladde omhullende (de parabool zelf). Glijdende ladder: $\Delta = -1$ , maar $E' = \tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ verdwijnt in de uiteinden van het kwadrant — de vier keerpunten van de astroïde. Normalen van de parabool en van de cycloïde: $\Delta = \kappa \neq 0$ , en $E' = R'N$ verdwijnt precies waar de kromming extremaal is — keerpunten van de evoluten in $(0,1)$ en $(\pi, -2)$ . Caustiek: $\Delta = 2$ , en $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta)$ verdwijnt in $\theta = 0, \pi$ — de twee keerpunten van de nefroïde, de brandpunten van de spiegel. Extrema van de kromming moeten keerpunten op de omhullende van de normalen voortbrengen, omdat de snelheid van de evolute $R'N$ is: daarom heeft de evolute van de ellips vier keerpunten (vier toppen), en de ontaarde families (waaier, evenwijdige rechten) zijn de gevallen waarin de machine een punt of helemaal niets voortbrengt.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst