Wat is hausdorffruimte? — Wiskunde

Definitie 6.7 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 6 — Algemene topologie

$X$ heet Hausdorff (of gescheiden) als twee verschillende punten disjuncte omgevingen hebben. Metrische ruimten zijn Hausdorff (ballen met straal $d(x,y)/2$ ). Een rij $(x_n)$ convergeert naar $x$ als elke omgeving van $x$ op eindig veel na alle $x_n$ bevat; in een hausdorffruimte zijn limieten uniek (twee limieten zouden disjuncte omgevingen hebben die elk een staart bevatten). In een hausdorffruimte zijn punten — en dus eindige verzamelingen — gesloten.

Voorbeelden

Voorbeeld 6.11

Het quotiënt $\R/\Z$ (vereenzelvig $x$ met $x + n$ ) is homeomorf met de cirkel $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : de afbeelding $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ gaat over op een continue bijectie $\R/\Z \to S^1$ (Propositie 6.10(b)); haar inverse is continu wegens het compactheidsargument van Gevolg 6.14 hieronder (Oefening 6.5 werkt alles uit, ook waarom $\R/\Z$ Hausdorff en compact is). Net zo is $[0,1]$ met verlijmde eindpunten gelijk aan $S^1$ en is het vierkant met verlijmde overstaande zijden de torus, en is verlijmen eindelijk een stelling in plaats van een plaatje.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen