Wat is Voortgebrachte ondergroep; orde? — Wiskunde

Definitie 1.13 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 1 — Verzamelingen en structuren

Zij $G$ een groep en $A \subseteq G$ . De door $A$ voortgebrachte ondergroep, genoteerd $\langle A \rangle$ , is de kleinste ondergroep die $A$ bevat — concreet: alle eindige producten van elementen van $A$ en hun inversen. Een groep heet cyclisch wanneer zij door één element wordt voortgebracht: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ . De orde van $a \in G$ is $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (eventueel oneindig); is zij eindig, dan is zij de kleinste $n \geq 1$ met $a^n = e$ , en geldt $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ .

Het ondergroepentralie van ℤ/12ℤ: één ondergroep per deler van 12 (), met een rib zodra de ene de andere met priemindex bevat. De insluitingen lopen tegen de deelbaarheid van de voortbrenger in: 4 ⊂eq 2 omdat 4 een veelvoud van 2 is. — Het ondergroepentralie van $\Z/12\Z$ : één ondergroep per deler van $12$ (Propositie 1.17), met een rib zodra de ene de andere met priemindex bevat. De insluitingen lopen *tegen* de deelbaarheid van de voortbrenger in: $\langle \overline4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ omdat $4$ een veelvoud van $2$ is.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.15 (Nevenklassen in actie: $A_3$ binnen $\mathfrak{S}_3$ )

Neem $G = \mathfrak{S}_3$ (orde $6$ ) en $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ . De linkernevenklassen zijn

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

twee klassen van drie elementen die $G$ verdelen, precies zoals de telling $\abs G = \abs H \times (\text{aantal nevenklassen})$ voorschrijft — en zichtbaar is dit de opsplitsing in even en oneven permutaties. Merk op dat $(1\,3)H = (1\,2)H$ hoewel $(1\,3) \neq (1\,2)$ : nevenklassen zijn klassen, niet gelabeld door hun representanten, en $x^{-1}y \in H$ is de enige legitieme vergelijking. Dit beeld van twee klassen is het algemene beeld voor de signatuur: $A_n$ en zijn enige begeleidende nevenklasse halveren $\mathfrak{S}_n$ , en zo telt de weekendopgave de bereikbare puzzelstanden.

Voorbeeld 1.16

Twee onmiddellijke opbrengsten. Groepen van priemorde zijn cyclisch: is $\abs G = p$ priem en $a \neq e$ , dan deelt $\operatorname{ord}(a)$ het getal $p$ en is zij niet $1$ , dus is zij $p$ : $\langle a\rangle = G$ . Het ondergroepentralie van $\Z/12\Z$ : volgens Propositie 1.17 hieronder is er precies één ondergroep per deler van $12$ — van orde $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , achtereenvolgens voortgebracht door $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ . Tot slot een waarschuwing: de omkering van Lagrange faalt in het algemeen — $A_4$ heeft orde $12$ maar geen ondergroep van orde $6$ , zoals we in de weekendopgave van dit hoofdstuk bewijzen (Probleem 1.1, vraag 14). Lagrange beperkt de mogelijke orden; hij belooft ze niet.

Voorbeeld 1.20 (Cykeltype als telling)

Hoeveel permutaties van $\mathfrak{S}_9$ hebben cykeltype $(4, 3, 2)$ — één $4$ -cykel, één $3$ -cykel, één transpositie? Kies de dragers en de cyclische volgorden:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

zet de negen symbolen op een rij ( $9!$ manieren), haak de eerste vier, de volgende drie en de laatste twee in cykels, en deel door de rotaties binnen elk haakje ( $4$ , $3$ en $2$ stuks) die dezelfde permutatie opleveren. (De cykellengten zijn hier verschillend, dus is er geen verdere deling nodig; bij gelijke lengten zou men ook nog door de permutaties van de gelijke haakjes moeten delen.) Elke zulke permutatie heeft orde $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ en signatuur $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Stelling 1.19 en de signatuurstelling hieronder). Eén partitie van $9$ , één conjugatieklasse, één telling — de combinatoriek van $\mathfrak{S}_n$ is de rekenkunde van de partities.

Lees in het hoofdstuk →