Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

24Vlakke krommen

De analyse van Hoofdstukken 14 en 16 was gebouwd voor functies $y = f(x)$ ; de meeste krommen uit de meetkunde en de mechanica — banen, cirkels die over cirkels rollen, omloopbanen — weigeren die vorm en komen in plaats daarvan als geparametriseerde krommen $t \mapsto (x(t), y(t))$ of als poolkrommen $r = r(\theta)$ . Dit klassieke hoofdstuk bestudeert beide, en sluit af met de kegelsneden.

24.1 Geparametriseerde krommen

Definitie 24.1

Een geparametriseerde kromme is een afbeelding $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , met $x, y$ (minstens) van klasse $C^1$ op het interval $I$ . De snelheidsvector is $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; het punt $M(t_0)$ heet regulier wanneer $f'(t_0) \neq (0,0)$ , en de raaklijn daar is de rechte door $M(t_0)$ met richting $f'(t_0)$ .

Waarom $f'$ de raaklijn richt. Volgens Taylor–Young, component per component, is $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : de richting van de koorde $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ nadert tot $f'(t_0)$ . De hypothese van regulariteit is wat van de limiet een richting maakt: is $f'(t_0) = 0$ , dan stort de formule in tot $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ en zegt zij niets over hoe de kromme het punt verlaat — vandaar de afzonderlijke behandeling van singuliere punten in de methode hieronder, waar de eerste afgeleide die niet nul is de rol van $f'$ overneemt. Merk ook op dat de raaklijn een meetkundig object is: elke herparametrisering verandert $f'$ met een scalaire factor ongelijk aan nul en laat de rechte onveranderd. ∎

Methode 24.2 (Een geparametriseerde kromme onderzoeken)

Verklein het domein met symmetrieën: betrekkingen tussen $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … en $M(t)$ (spiegelingen, translaties, periodiciteit), en teken daarna alleen het verkleinde deel.
Verloop: tabelleer de tekens van $x'$ en $y'$ samen; de kromme beweegt naar rechts of links volgens $x'$ , omhoog of omlaag volgens $y'$ .
Opmerkelijke punten: horizontale raaklijn ( $y' = 0 \neq x'$ ), verticale raaklijn ( $x' = 0 \neq y'$ ); in een singulier punt ( $f' = 0$ ) onderzoek je hogere afgeleiden voor de richting van de raaklijn.
Asymptotisch gedrag aan de uiteinden van $I$ , en daarna schetsen.

Voorbeeld 24.3 (Asymptotische takken, uitgewerkt)

$x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ op $\intoo{0}{+\infty}$ . Als $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ terwijl $y \to +\infty$ — de kromme klimt langs de verticale asymptoot $x = 0$ (een eindige limiet voor de ene coördinaat, oneindig voor de andere). Als $t \to +\infty$ blazen beide coördinaten op, dus toets een rechte: het verschil

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

toont de schuine asymptoot $y = x$ , van boven benaderd. Daartussenin wordt $y' = 1 - \frac1{t^2}$ nul bij $t = 1$ : het punt $(1, 2)$ is het laagste punt van de tak, en $x' = 1 > 0$ overal, dus schuift de kromme altijd naar rechts op. Eén boog, twee asymptoten, één minimum: een volledig beeld uit drie berekeningen — met het algemene recept eronder zichtbaar: gaan $x$ en $y$ samen naar oneindig, onderzoek dan $y/x$ voor een kandidaat-helling (hier $\to 1$ ), en daarna $y - (\text{helling})\,x$ voor het snijpunt en de kant van de benadering.

Voorbeeld 24.4 (De astroïde)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . Symmetrieën: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (bestudeer één periode); $M(-t)$ is de spiegeling van $M(t)$ in de $x$ -as; $M(\pi - t)$ in de $y$ -as; $M(\frac\pi2 - t)$ in de diagonaal $y = x$ : het volstaat $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ te bestuderen en uit te vouwen.

Snelheid: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ . Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ zijn alle punten regulier met een raaklijn gericht door $(-\cos t, \sin t)$ ; bij $t = 0$ (het punt $(1,0)$ ) wordt de snelheid nul: een keerpunt, waar de kromme omkeert langs de raakrichting $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — uit symmetrie liggen de vier keerpunten in $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ .

Voorbeeld 24.5 (Een liggende acht, volledig onderzocht)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (een lissajouskromme). Symmetrieën: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (spiegeling in de $y$ -as), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (centrale symmetrie), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (spiegeling in de $x$ -as): het volstaat $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ te bestuderen en uit te vouwen. Verloop: $x' = \cos t \geq 0$ overal, terwijl $y' = 2\cos 2t$ positief is vóór $t = \frac\pi4$ en negatief erna: de boog klimt naar rechts tot de top $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ bij $t = \frac\pi4$ (horizontale raaklijn), en daalt daarna naar rechts tot $(1, 0)$ bij $t = \frac\pi2$ , waar $x' = 0 \neq y'$ : verticale raaklijn. Dubbelpunt: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , met twee verschillende snelheden

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

twee reguliere takken die elkaar in de oorsprong onder verschillende hoeken kruisen — een dubbelpunt, geen singulier punt: elke doorgang is volmaakt glad, de twee doorgangen delen alleen hun plaats. De hele kromme is de liggende acht hieronder.

De lissajouskromme ( t, 2t): een dubbelpunt in de oorsprong, waar twee reguliere takken elkaar kruisen met snelheden (1, 2) en (-1, 2), en horizontale raaklijnen in de vier toppen. De symmetrie herleidde al het werk tot een kwart periode. — De lissajouskromme $(\sin t, \sin 2t)$ : een dubbelpunt in de oorsprong, waar twee reguliere takken elkaar kruisen met snelheden $(1, 2)$ en $(-1, 2)$ , en horizontale raaklijnen in de vier toppen. De symmetrie herleidde al het werk tot een kwart periode.

De astroïde ( 3 t, 3 t): vier bogen die elkaar in vier keerpunten ontmoeten. Het is de kromme die wordt getekend door een punt van een cirkel met straal 1/4 die binnen de eenheidscirkel rolt. — De astroïde $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : vier bogen die elkaar in vier keerpunten ontmoeten. Het is de kromme die wordt getekend door een punt van een cirkel met straal $\frac14$ die binnen de eenheidscirkel rolt.

24.2 Poolkrommen

Definitie 24.6

Een poolkromme wordt gegeven door $r = r(\theta)$ : het punt met parameter $\theta$ is

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Met $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ is de snelheid

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Gevolgen: waar $r \neq 0$ is het punt regulier, en maakt de raaklijn met de voerstraal de hoek $V$ gegeven door $\tan V = \frac{r}{r'}$ (de hoek tussen $M'$ en $\vec u$ ); waar $r(\theta_0) = 0$ gaat de kromme door de oorsprong met als raaklijn de voerstraal $\theta = \theta_0$ (richting $\vec u(\theta_0)$ , af te lezen uit $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , of uit de limietkoorde: de koorde van $O$ naar $M(\theta)$ wordt gedragen door $\vec u(\theta)$ zelf, dat naar $\vec u(\theta_0)$ nadert — zodat de regel zelfs geldt wanneer $r'(\theta_0) = 0$ en het punt singulier is, en daarom krijgen pool-keerpunten in de oorsprong, zoals dat van de cardioïde, hun raaklijn gratis).

Voorbeeld 24.7 (De cardioïde)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Symmetrie: $r(-\theta) = r(\theta)$ : spiegeling in de $x$ -as; bestudeer $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ daalt van $2$ tot $0$ ; bij $\theta = \pi$ is $r = 0$ : de kromme bereikt de oorsprong rakend aan de voerstraal $\theta = \pi$ (de $x$ -as), en vormt daar een keerpunt — de punt van het hart. Raaklijn bij $\theta = 0$ : $r' = 0$ , dus $\tan V = \infty$ : loodrecht op de as.

De hoek $V$ verdient nog één lezing. Bij $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ en $r' = -1$ , dus $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : de raaklijn maakt drie kwart van een rechte hoek met de uitgaande voerstraal — de kromme buigt al terug naar haar keerpunt. De formule $\tan V = r/r'$ levert langs de hele kromme de raakrichtingen zonder ook maar één berekening van $M'(\theta)$ : zij is het poolanalogon van het aflezen van een helling.

Voorbeeld 24.8 (Van pool naar cartesisch: een verborgen cirkel)

Wat is de poolkromme $r = 2\cos\theta$ ? Vermenigvuldig met $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , dus $x^2 + y^2 = 2x$ , dus

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

de cirkel met middelpunt $(1, 0)$ en straal $1$ , die door de oorsprong gaat. De boekhouding doet ertoe: terwijl $\theta$ $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ doorloopt, wordt de hele cirkel precies één keer bestreken ( $r$ wordt nul in beide uiteinden), en bij $\theta = \pm\frac\pi2$ geeft de regel “raaklijn in de oorsprong langs de voerstraal $\theta = \theta_0$ ” daar een verticale raaklijn — in overeenstemming met de meetkunde, want de verticale as raakt deze cirkel inderdaad in $O$ . Voor $\theta$ buiten dat bereik doorloopt $r < 0$ dezelfde cirkel opnieuw: een herinnering dat een poolkromme een geparametriseerd object is, dat over zichzelf heen mag gaan.

De roos met vier bladen r = 2 (). De bladen langs de y-as worden met r < 0 getekend (het punt wordt afgezet op de voerstraal tegenover ); de gestreepte diagonalen = ± π4 zijn de raaklijnen in de oorsprong, waar r nul wordt. — De roos met vier bladen $r = \cos 2\theta$ (Oefening 24.4). De bladen langs de $y$ -as worden met $r < 0$ getekend (het punt wordt afgezet op de voerstraal tegenover $\theta$ ); de gestreepte diagonalen $\theta = \pm\frac\pi4$ zijn de raaklijnen in de oorsprong, waar $r$ nul wordt.

De cardioïde r = 1 +. Poolkrommen leest men door de hoek rond te vegen: de straal zwelt en krimpt naarmate draait. — De cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ . Poolkrommen leest men door de hoek rond te vegen: de straal zwelt en krimpt naarmate $\theta$ draait.

24.3 Booglengte

Definitie 24.9 (Lengte van een boog)

De lengte van een $C^1$ -boog $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ is de integraal van de snelheid:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivering: op een klein interval is $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , zodat de boog dicht bij een veelhoek ligt waarvan de lengten van de segmenten een Riemannsom van $\norm{f'}$ vormen, Stelling 15.20.) Voor een poolkromme $r = r(\theta)$ heeft de snelheid $r'\vec u + r\vec v$ orthogonale componenten, dus is

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

De lengte hangt niet af van de gekozen (monotone, $C^1$ -)parametrisering: de substitutie $t = \varphi(s)$ in de integraal (Stelling 15.15) vermenigvuldigt $f'$ met $\varphi'$ en $\dd t$ met $\varphi'^{-1}$ .

Voorbeeld 24.10 (Controle: de cirkel)

Voor $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ op $\intcc{0}{2\pi}$ is $\norm{f'} = R$ , dus $L = 2\pi R$ — de definitie geeft de omtrek terug. Toets op herparametrisering: de afbeelding $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ op $\intcc{0}{\pi}$ tekent dezelfde cirkel met dubbele snelheid $\norm{g'} = 2R$ , en

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

opnieuw: de halve tijd, de dubbele snelheid, dezelfde lengte — de invariantie die in de definitie werd beloofd, één keer op getallen bekeken. ( $g$ over heel $\intcc{0}{2\pi}$ laten lopen zou $4\pi R$ geven: een kromme die twee keer wordt doorlopen is tweemaal zo lang als reis; de lengte meet het geparametriseerde pad, en eerlijke boekhouding van het interval hoort bij de berekening.) Voor de astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ is $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , en uit symmetrie $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : een kromme getekend binnen de eenheidscirkel, van lengte $6 < 2\pi$ . De weekendopgave meet de beroemdste boog van allemaal.

Eén boog van de cycloïde (straal R = 1), de rollende cirkel bij t = 2, en de twee hulplijnen van de weekendopgave: de koorde MC naar het contactpunt staat loodrecht op de kromme, de koorde MT naar de top van de cirkel is rakend. — Eén boog van de cycloïde (straal $R = 1$ ), de rollende cirkel bij $t = 2$ , en de twee hulplijnen van de weekendopgave: de koorde $MC$ naar het contactpunt staat *loodrecht* op de kromme, de koorde $MT$ naar de top van de cirkel is *rakend*.

24.4 Kegelsneden

Definitie 24.11 (Definitie met brandpunt en richtlijn)

Leg een punt $F$ (brandpunt), een rechte $D$ die niet door $F$ gaat (richtlijn) en $e > 0$ (excentriciteit) vast. De kegelsnede van deze gegevens is

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

een ellips voor $e < 1$ , een parabool voor $e = 1$ , een hyperbool voor $e > 1$ . (De cirkel verschijnt als ontaarde limiet $e \to 0$ .)

Voorbeeld 24.12 (De definitie, getoetst op een parabool)

Neem de parabool $y^2 = 4x$ , dus $2p = 4$ : brandpunt $F = (1, 0)$ en richtlijn $D : x = -1$ (de gereduceerde vorm Stelling 24.13 plaatst ze in $\pm\frac p2$ ). In het punt $M = (1, 2)$ van de kromme:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

gelijk, zoals $e = 1$ eist. In $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ en opnieuw $d(M', D) = 5$ . De definitie met brandpunt en richtlijn is geen abstractie: het is een paar afstanden dat men in elk punt kan meten, en de algebra van de gereduceerde vergelijkingen is niets anders dan die meting, eens en voor altijd uitgevoerd.

Stelling 24.13 (Gereduceerde vergelijkingen)

In een goedgekozen orthonormaal assenstelsel:

\text{ellips: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{hyperbool: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{parabool: } y^2 = 2px,

met, voor de ellips: brandpunten in $(\pm c, 0)$ , $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ , en de bifocale karakterisering $MF + MF' = 2a$ ; voor de hyperbool: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , asymptoten $y = \pm\frac ba x$ .

Bewijs. Neem het brandpunt in de oorsprong en de richtlijn verticaal, $x = -h$ ( $h > 0$ ): de voorwaarde $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ luidt $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ . Voor $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$ , een parabool na de verschuiving $x \mapsto x - \frac h2$ (dus $p = h$ ). Voor $e \neq 1$ geeft het kwadraat afsplitsen in $x$

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

Stel $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (een verschuiving van het assenstelsel). Is $e < 1$ , deel dan door het positieve rechterlid: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ met $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ en $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; is $e > 1$ , dan wisselen beide leden van de formule op passende wijze van teken en geeft dezelfde deling $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ met $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ en $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ . De vermelde waarden van $c$ volgen ( $c^2 = a^2 - b^2$ of $a^2 + b^2$ geeft in beide gevallen $c = ea$ , waarmee het brandpunt juist wordt geplaatst), en de bifocale eigenschappen zijn rechtstreekse verificaties op de gereduceerde vergelijkingen. In detail voor de ellips, met $F' = (c, 0)$ en $M = (X, y)$ op de kromme:

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

met $c^2 + b^2 = a^2$ en $e = \frac ca$ ; omdat $\abs X \leq a$ en $e < 1$ , is $a - eX > 0$ , dus $MF' = a - eX$ zonder dat er ooit een vierkantswortel wordt getrokken. De spiegelberekening geeft $MF = a + eX$ , waaruit $MF + MF' = 2a$ , constant. Voor de hyperbool levert dezelfde algebra $MF = \abs{a + eX}$ en $MF' = \abs{eX - a}$ , met verschil $\pm2a$ naargelang de tak. ∎

Voorbeeld 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : een ellips met $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : brandpunten $(\pm4, 0)$ , excentriciteit $\frac45$ . Haar parametrisering: $(5\cos t, 3\sin t)$ — een cirkel die anisotroop is uitgerekt; de som van de afstanden tot de brandpunten is voor elk van haar punten $10$ .

Voorbeeld 24.15 (Een omloopbaan lezen uit haar poolvergelijking)

De poolkegelsnede $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Oefening 24.7 met $p = 1$ , $e = \frac12$ ) is een ellips met een brandpunt in de oorsprong — de meetkunde van een planeetbaan met de zon in $O$ . Haal alles uit $p$ en $e$ : uit de reductie van Stelling 24.13 volgt $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ en $c = ea = \dfrac23$ . De twee apsiden bevestigen het zonder enige theorie:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelium}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphelium}),

en hun som $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ vindt de lange as terug. De poolvorm is de natuurlijke telkens wanneer een brandpunt fysisch is onderscheiden; de gereduceerde cartesische vorm telkens wanneer de symmetrieassen dat zijn. Tussen beide omzetten is precies wat de berekening met het afgesplitste kwadraat in de stelling doet.

De excentriciteit als draaiknop, ten slotte: houd $p = 1$ vast en draai aan $e$ in $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . Bij $e = 0$ : de cirkel $r = 1$ . Bij $e = \frac12$ : de zojuist bestudeerde ellips, met $r$ schommelend tussen $\frac23$ en $2$ . Bij $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ als $\theta \to \pi$ — de kromme sluit zich niet meer: een parabool, met haar verste punt tot in het oneindige geduwd. Bij $e = 2$ : de noemer wordt nul bij $\cos\theta = -\frac12$ , en alleen $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ overleeft: één tak van een hyperbool, die langs twee asymptotische richtingen ontsnapt. Eén formule, de hele familie van de kegelsneden, en het overgangspunt $e = 1$ zichtbaar als het moment waarop de noemer voor het eerst nul bereikt.

Opmerking 24.16 (Veelgemaakte fouten)

Dubbelpunten zijn geen singuliere punten: bij een zelfkruising is elke tak regulier; “singulier” slaat op $f'(t_0) = 0$ voor één waarde van de parameter (Voorbeeld 24.5 tegenover de keerpunten van de astroïde). Verticale raaklijn tegenover keerpunt: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ is een regulier punt met verticale raaklijn; alleen $x' = y' = 0$ vraagt om de ontwikkeling van hogere orde. Negatieve stralen worden op de tegenoverliggende voerstraal afgezet: voor $r(\theta) < 0$ is het punt $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ , onder hoek $\theta + \pi$ (Oefening 24.5); dit vergeten doet binnenlussen verdwijnen of krommen verdubbelen. Booglengte integreert $\norm{f'}$ , niet $f'$ : splits de integraal bij de nulpunten van de snelheid — voor de astroïde geeft $\frac32\sin 2t$ over een volledige periode integreren zonder absolute waarden $0$ in plaats van $6$ . Kegelsneden moeten worden gereduceerd voordat men ze leest: in $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ zijn noch de assen, noch het middelpunt, noch de excentriciteit zichtbaar voordat de kwadraten zijn afgesplitst (Oefening 24.6); en een kwadratisch deel dat op één veranderlijke verdwijnt betekent parabool, geen “ontaarde ellips”.

Opmerking 24.17 (Waar deze krommen heen gaan)

Geparametriseerde krommen zijn de taal van de mechanica: banen zijn krommen, snelheidsvectoren zijn raakvectoren, en de booglengte van Definitie 24.9 is de afgelegde afstand. De kegelsneden duiken op overal waar een omgekeerd-kwadratische wet werkt — planeetbanen zijn ellipsen met de zon in een brandpunt. In Hoofdstuk 25 worden krommen de niveaukrommen van functies van twee veranderlijken, en ontmoet de raaklijn van dit hoofdstuk de gradiënt van het volgende. Het volume van bachelorjaar 2 voegt de kromming en de lokale canonieke vorm van een kromme toe; de weekendopgave hieronder haalt, met uitsluitend het gereedschap van dit jaar, alles boven wat de zeventiende eeuw over haar beroemdste kromme wist.

Opmerking 24.18 (Vooruitzichten binnen boek 3)

Dit hoofdstuk verbruikt de hele eerste helft van het volume en voedt het laatste hoofdstuk. Verbruikt: raakvectoren zijn afgeleiden (Hoofdstuk 14), booglengte en oppervlakten zijn integralen (Hoofdstuk 15), keerpunten worden met taylorontwikkelingen beslecht (Hoofdstuk 16), de tautochroon is een lineaire differentiaalvergelijking (Hoofdstuk 5), en elke afstand en hoek is euclidisch (Hoofdstuk 23). Gevoed: in Hoofdstuk 25 wordt een kromme $t \mapsto (x(t), y(t))$ die binnen een niveaukromme $\{f = c\}$ is getekend met de kettingregel afgeleid, en huwt de resulterende identiteit $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ de raakvectoren van dit hoofdstuk aan de gradiënten van het volgende — de raaklijn van de kromme en de normaalrichting van het oppervlak zijn dezelfde berekening, vanaf beide oevers bekeken.

24.5 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Onderzoek en schets de kromme $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ (symmetrieën, verloop, gedrag in het singuliere punt $t = 0$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : spiegeling in de $x$ -as; bestudeer $t \geq 0$ . Zowel $x' = 2t$ als $y' = 3t^2$ is $\geq 0$ : de tak beweegt naar rechts en omhoog, van $(0,0)$ naar het oneindige. Bij $t = 0$ wordt de snelheid nul; de ontwikkelingen $x = t^2$ , $y = t^3$ tonen dat de raaklijn de $x$ -as is ( $y/x = t \to 0$ ), terwijl $y$ van teken wisselt en $x \geq 0$ blijft: een keerpunt dat naar links wijst. De kromme is de halfkubische parabool $y^2 = x^3$ .

Oefening 24.2 ★

Bepaal voor de cycloïde $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ (de baan van een punt van een rollend wiel met straal $1$ ) de symmetrie onder translatie over een periode, de singuliere punten, en de raakrichting bij $t = 0$ (ontwikkel $x$ en $y$ tot de eerste ordes die niet nul zijn).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : de kromme herhaalt zich, verschoven over één wielomtrek; bestudeer één periode. $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : de boog stijgt op $\intoo{0}{\pi}$ , daalt op $\intoo{\pi}{2\pi}$ , met als top $(\pi, 2)$ . Singuliere punten waar $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , op de grond. In de buurt van $t = 0$ :

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ wisselt van teken, $y \geq 0$ , en $\frac{x}{y^{3/2}}$ is begrensd: de raaklijn is verticaal (richting $(0,1)$ ), een keerpunt waar het gevolgde punt een ogenblik snelheid nul heeft — het fysische kenmerk van rollen zonder glijden.

Oefening 24.3 ★

Geef de raaklijn aan de kromme $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ bij $t = \frac\pi4$ , en ga na dat het stuk van die raaklijn dat door de assen wordt afgesneden lengte $1$ heeft — een beroemde eigenschap van de astroïde (waar in elk regulier punt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

Bij $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , met raakrichting $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (Voorbeeld 24.4). Raaklijn: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , dus $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ . Snijpunten met de assen: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ en $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; het segment ertussen heeft lengte $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ .

(Algemeen punt $t$ : de raaklijn in $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ snijdt de assen in $(\cos t, 0)$ en $(0, \sin t)$ — ga na dat de rechte door die punten richting $(-\cos t, \sin t)$ heeft en door $M(t)$ gaat — en het afgesneden segment heeft lengte $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ .)

Oefening 24.4 ★

Schets de poolkrommen $r = \cos 2\theta$ (roos met vier bladen) en $r = \frac{1}{\cos\theta}$ op $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (herken een rechte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : periode $\pi$ in $\theta$ , symmetrisch in beide assen; $r$ wordt nul bij $\theta = \pm\frac\pi4$ (raaklijnen in de oorsprong langs de diagonalen) en is negatief voor $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ , waar de punten op de tegenoverliggende voerstraal worden afgezet — wat vier bladen oplevert langs de asrichtingen $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ , elk met maximale straal $1$ .

$r\cos\theta = 1$ is de vergelijking $x = 1$ : de poolkromme $r = \frac{1}{\cos\theta}$ is de verticale rechte $x = 1$ (één keer bestreken voor $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ).

Oefening 24.5 ★★

Onderzoek de poolkromme $r = 1 + 2\cos\theta$ (een limaçon): het gebied waar $r \geq 0$ tegenover $r < 0$ (punten met een negatieve straal liggen op de tegenoverliggende voerstraal), de doorgang door de oorsprong, de binnenlus, en een schets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ wordt nul voor $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ . Symmetrie in de $x$ -as; bestudeer $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Voor $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$ , dalend van $3$ tot $0$ : de buitenboog, die de oorsprong binnenkomt rakend aan de voerstraal $\theta = \frac{2\pi}{3}$ . Voor $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r < 0$ : de punten $r\vec u(\theta)$ liggen op de tegenoverliggende voerstraal (hoek $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), met een afstand $\abs r$ die van $0$ tot $1$ groeit: dit tekent een kleine binnenlus door de oorsprong. Bij $\theta = \pi$ is $r = -1$ en is het punt $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : de lus sluit zich op de positieve $x$ -as. Schets: een grote hartachtige buitenkromme met maximaal bereik $3$ bij $\theta = 0$ , plus een lus daarbinnen door $O$ en $(1,0)$ .

Oefening 24.6 ★★

Identificeer de kegelsnede $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : reduceer haar door kwadraten af te splitsen, en geef het middelpunt, de halve assen, de brandpunten en de excentriciteit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

Splits de kwadraten af:

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

Delen door $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : een ellips met middelpunt $(2, 1)$ en halve assen $a = 5$ (horizontaal) en $b = 3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : brandpunten $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ en $(6, 1)$ ; excentriciteit $e = \frac45$ .

Oefening 24.7 ★★

Bewijs dat de poolvergelijking van een kegelsnede met brandpunt in de oorsprong

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

is (met de richtlijn verticaal op afstand $\frac pe$ rechts van het brandpunt). Welke waarden van $\theta$ zijn toegelaten wanneer $e > 1$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

Brandpunt in de oorsprong, richtlijn $D: x = d$ met $d = \frac pe > 0$ . Voor een punt $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ met $r > 0$ :

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

en de voorwaarde voor een kegelsnede $MF = e\,d(M, D)$ luidt, in het geval dat $M$ aan de kant van het brandpunt van de richtlijn ligt ( $r\cos\theta < d$ ), $r = e(d - r\cos\theta)$ , dat wil zeggen

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

Voor $e < 1$ wordt de noemer nooit nul: alle $\theta$ toegelaten (ellips). Voor $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parabool, geopend naar de verre kant van de richtlijn). Voor $e > 1$ is $1 + e\cos\theta > 0$ nodig, dus $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ met $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : één tak van de hyperbool (de andere tak hoort bij de tekenkeuze $r < 0$ , of bij het tweede brandpunt).

Oefening 24.8 ★★

Leid uit de bifocale eigenschap $MF + MF' = 2a$ de “tuinmansconstructie” van de ellips af, en bewijs dat de raaklijn in $M$ gelijke hoeken maakt met $MF$ en $MF'$ (spiegelingseigenschap; leid $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ af en interpreteer de som van de producten met eenheidsvectoren die nul wordt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

Tuinman: bevestig een touw van lengte $2a$ aan twee pinnen $F, F'$ en houd het gespannen met het tekenende punt $M$ : de voorwaarde is precies $MF + MF' = 2a$ , dus is de getekende kromme de ellips.

Spiegelingseigenschap: zij $t \mapsto M(t)$ een reguliere parametrisering en $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , en $u'(t)$ de overeenkomstige eenheidsvector naar $F'$ . Afleiden van $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ , met $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ (de kettingregel op $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ ), geeft

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

De raakrichting $M'$ staat dus loodrecht op de richting $u + u'$ van de bissectrice van de twee brandstralen: de raaklijn maakt gelijke hoeken met $MF$ en $MF'$ . (Een lichtstraal uit het ene brandpunt weerkaatst via de ellips naar het andere.)

Oefening 24.9 ★★★

De lemniscaat van Bernoulli is de poolkromme $r^2 = \cos 2\theta$ (neem $r = \sqrt{\cos2\theta}$ waar dat gedefinieerd is).

Geef haar domein, haar symmetrieën, haar raaklijnen in de oorsprong, en schets haar.
Bewijs dat zij de meetkundige plaats is van de punten $M$ met $MF \cdot MF' = \frac12$ , waarbij $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ . (Bereken $MF^2\,MF'^2$ in poolcoördinaten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

Domein: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Symmetrieën: $\theta \mapsto -\theta$ (de $x$ -as) en $\theta \mapsto \pi - \theta$ (de $y$ -as): bestudeer $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ daalt van $1$ tot $0$ . Bij $\theta = \pm\frac\pi4$ is $r = 0$ , met raaklijnen in de oorsprong langs de diagonalen. De kromme is het $\infty$ -teken: twee symmetrische lussen die elkaar in $O$ ontmoeten en $(\pm 1, 0)$ bereiken.
Met $F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ , en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ :

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

met de identiteit $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ voor $A = r^2 + c^2$ en $B = 2rc\cos\theta$ . Met $c^2 = \frac12$ :

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

Op de lemniscaat is $r^2 = \cos 2\theta$ : de eerste twee termen heffen elkaar op, en er blijft $MF^2MF'^2 = \frac14$ over, dus $MF \cdot MF' = \frac12$ . Omgekeerd toont dezelfde berekening achterstevoren gelezen dat de vergelijking van de meetkundige plaats $MF\,MF' = \frac12$ gelijk is aan $r^2 = \cos 2\theta$ (voor $r \neq 0$ ; en $O$ voldoet aan beide).

Oefening 24.10 ★★

Bereken de totale lengte van de cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ met de poolformule van Definitie 24.9 (de identiteit $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ maakt van de vierkantswortel $2\abs{\cos\frac\theta2}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

dus $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ en, wegens de symmetrie in de $x$ -as,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

Opnieuw een algebraïsche omtrek zonder $\pi$ .

Oefening 24.11 ★★

Toon aan dat de raaklijn aan de ellips $(a\cos t, b\sin t)$ in het punt met parameter $t$ de vergelijking

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1

heeft, en leid daaruit de raaklijn aan $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ in een punt $(x_0, y_0)$ van de ellips af: $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (de regel van het “splitsen van de kwadraten”).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

Het punt $(a\cos t, b\sin t)$ voldoet aan de vergelijking: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . De normaalvector van de rechte is $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ , en haar product met de snelheid $(-a\sin t, b\cos t)$ is $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ : de rechte gaat door het punt met de raakrichting — zij is de raaklijn. Voor $(x_0, y_0)$ op de ellips schrijf je $\cos t = \frac{x_0}a$ en $\sin t = \frac{y_0}b$ en vul je in:

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

verkregen uit de vergelijking van de ellips door $x^2 \mapsto x\,x_0$ en $y^2 \mapsto y\,y_0$ te “splitsen”.

Oefening 24.12 ★★★

De logaritmische spiraal is de poolkromme $r = \eu^{k\theta}$ ( $k > 0$ vast, $\theta \in \R$ ).

Toon aan dat de hoek $V$ tussen de voerstraal en de raaklijn constant is ( $\tan V = \frac1k$ ) — de spiraal kruist elke voerstraal onder dezelfde hoek.
Toon aan dat het roteren van de spiraal over een hoek $c$ haar afbeeldt op haar schaling met de factor $\eu^{-kc}$ : elke rotatie van de spiraal is een vergroting ervan (zelfgelijkvormigheid).
Bereken de lengte van de boog $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (als limiet van de lengten op $\intcc{A}{\theta_0}$ met $A \to -\infty$ ) en merk op dat zij eindig is: een kromme die oneindig vaak rond de oorsprong spiraalt en toch een eindige lengte heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , dus $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : constant. De spiraal snijdt elke voerstraal uit de oorsprong onder dezelfde hoek $V = \arctan\frac1k$ .
In complexe notatie is de spiraal $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ . Roteren over $c$ vermenigvuldigt met $\eu^{\iu c}$ :

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

en terwijl $\theta + c$ heel $\R$ doorloopt beschrijft dit $\eu^{-kc}$ maal de spiraal: rotatie $=$ schaling. Geen enkele andere gladde kromme dan rechten en cirkels heeft deze eigenschap.
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , dus is de lengte op $\intcc{A}{\theta_0}$ gelijk aan $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ , en met $A \to -\infty$ :

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

oneindig veel omwentelingen rond de oorsprong, met een eindige totale lengte (de omwentelingen krimpen meetkundig).

24.6 Opgave: de cycloïde, koningin der krommen

Probleem 24.1

Een wiel met straal $R$ rolt zonder glijden langs de $x$ -as; het punt van de velg dat aanvankelijk in de oorsprong ligt tekent de cycloïde. De zeventiende eeuw vocht om deze kromme — Galilei woog uitgeknipte papieren exemplaren, Wren mat haar, Roberval berekende haar oppervlakte, Huygens bouwde er klokken op — en elk van hun resultaten ligt binnen het bereik van dit hoofdstuk. Wij bewijzen de vier klassiekers: de constructie van de raaklijn, de lengte $8R$ van Wren, de oppervlakte $3\pi R^2$ , en de tautochrone eigenschap van Huygens.

Deel I — Rollen en de raaklijn.

Nadat het wiel over een hoek $t$ is gedraaid, ligt zijn middelpunt in $\Omega(t) = (Rt, R)$ (rollen zonder glijden: de contactafstand is gelijk aan de afgerolde boog). Toon aan dat het gemarkeerde punt zich bevindt in

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
Bereken $f'(t)$ en toon aan dat $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; lokaliseer de singuliere punten (keerpunten — vergelijk Oefening 24.2) en de top van elke boog.
Zij $C(t) = (Rt, 0)$ het contactpunt en $T(t) = (Rt, 2R)$ de top van het wiel. Bewijs dat voor $0 < t < 2\pi$ de vector $M - C$ loodrecht staat op de kromme in $M(t)$ en de vector $T - M$ rakend is: om de raaklijn aan een cycloïde te tekenen, verbind je het punt met de top van zijn rollende cirkel. (Splits alles af via $\sin\frac t2$ en $\cos\frac t2$ .)
Interpreteer vraag 3 kinematisch: het contactpunt is het ogenblikkelijke rotatiecentrum, en de snelheid van $M$ is gelijk aan zijn afstand tot $C$ (bij hoeksnelheid $1$ ). Ga na dat $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
Bewijs de betrekking tussen hoogte en snelheid

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

op een cycloïde die met hoeksnelheid $1$ wordt doorlopen is de snelheid in elk punt precies de valsnelheid bij een val gelijk aan de huidige hoogte. (Bewaar dit voor deel IV.)

Deel II — De stelling van Wren: de boog heeft lengte $8R$ .

Bereken met Definitie 24.9 de lengte van één boog:

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(de stelling van Wren, 1658). Vier wieldiameters, en nergens een $\pi$ .
Bereken de booglengte vanaf het keerpunt: $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , en ga na dat $s(2\pi) = 8R$ .
Meet nu de boog vanaf de top $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ . Bewijs de intrinsieke betrekking

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

het kwadraat van de boogafstand tot de top is evenredig met de hoogteval onder de top.
Controles: vind met vraag 8 terug dat de halve boog van de top tot het keerpunt lengte $4R$ heeft, en vergelijk met de berekening voor de astroïde uit Voorbeeld 24.10 — beide krommen hebben algebraïsche lengten zonder $\pi$ ; leg uit wat dat mogelijk maakt hoewel beide uit cirkels zijn gebouwd. (Kijk naar de gedaante van $\norm{f'}$ .)

Deel III — De oppervlakte van Roberval: $3\pi R^2$ .

Verantwoord dat de oppervlakte tussen één boog en de grond gelijk is aan $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ (de substitutie $x = x(t)$ in $\int y\,\dd x$ , Stelling 15.15; $x$ is stijgend).
Bereken

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

precies drie keer de oppervlakte van het wiel — de verhouding die Galilei door wegen had geraden.
Dezelfde methode voor de astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : toon aan dat de omsloten oppervlakte $\frac{3\pi}8$ is (lineariseer $\sin^4 t\cos^2 t$ ; alleen de constante term overleeft over een volledige periode).
Toets de formule van vraag 10 op de bovenste eenheidshalfcirkel $(\cos t, \sin t)$ , met $t$ van $\pi$ tot $0$ : geeft zij $\frac\pi2$ ?

Deel IV — De tautochroon van Huygens. Keer de boog om: een wrijvingsloos kraaltje glijdt onder de zwaartekracht $g$ in de cycloïdale schaal

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

waarvan het laagste punt de oorsprong is ( $y$ omhoog gemeten).

Bereken de snelheid $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ , de booglengte vanaf de bodem $s(t) = 4R\sin\frac t2$ , en bewijs de sleutelidentiteit

$y = \frac{s^2}{8R} .$
Het kraaltje dat in rust wordt losgelaten in het punt met parameter $t_0 > 0$ gehoorzaamt aan het behoud van energie: noteert $s(\tau)$ zijn boogpositie op tijdstip $\tau$ , dan is $\frac12\bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ . Herschrijf dit met vraag 14 als

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
Leid af naar $\tau$ en verkrijg de harmonische oscillator

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

los haar op met Stelling 5.10 en de beginvoorwaarden: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ met $\omega = \sqrt{g/4R}$ .
Leid de tautochrone eigenschap af (Huygens, 1659): de tijd om de bodem te bereiken,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

hangt niet af van het punt van loslaten — kraaltjes die tegelijk vanaf willekeurige hoogten van de schaal worden losgelaten, komen tegelijk aan.
Ga door invullen na dat $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ exact aan de energievergelijking van eerste orde uit vraag 15 voldoet (en niet alleen aan de afgeleide ervan), en leg in één zin uit waarom een cirkelvormige slinger slechts bij benadering isochroon is terwijl de cycloïde dat exact is.
Numeriek: welke straal $R$ maakt de daaltijd precies één seconde ( $g = 9.81$ )? Merk op hoe dicht het antwoord bij één meter ligt, en hoe de volledige trillingstijd $2\pi\sqrt{4R/g}$ zich verhoudt tot de formule $2\pi\sqrt{\ell/g}$ voor een slinger bij kleine hoek met $\ell = 4R$ .

Deel V — Dividenden, en synthese.

Pas de raaklijnregel van vraag 3 toe bij $t = \frac\pi2$ (neem $R = 1$ ): bereken $M$ , $T$ en de richting van $MT$ , en toets die aan $f'(\frac\pi2)$ .
(Trochoïden) Markeer in plaats daarvan een punt op afstand $d$ van het middelpunt ( $d \neq R$ ): de kromme is $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Toon aan dat de kromme voor $d < R$ overal regulier is en geen enkel singulier gedrag vertoont ( $x' > 0$ : zij schuift op), terwijl voor $d > R$ de abscis $x'$ van teken wisselt en de kromme lussen maakt — het spoorwiel met flens waarvan de punten van de rand achteruit reizen.
(Voorproefje van de brachistochroon) Vergelijk de daaltijd $\pi\sqrt{R/g}$ langs de cycloïde van het keerpunt $(\pi R, 2R)$ van de schaal tot de bodem met de tijd langs de rechte glijbaan die dezelfde punten verbindt (constante versnelling $g\sin\alpha$ langs de koorde): toon aan dat de koorde $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ kost. De kromme verslaat de rechte — zij is zelfs de snelste van alle krommen, een resultaat van de variatierekening.
Toon aan dat op de boog ( $0 < t < 2\pi$ )

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

de boog is concaaf, met verticale raaklijnen precies in de keerpunten.
Vind de verticale raaklijn in het keerpunt uit Oefening 24.2 meetkundig terug: bereken de limietrichting van de koorde $MT$ uit vraag 3 als $t \to 0^{+}$ , zonder ook maar één ontwikkeling.
Synthese, in vier zinnen: welke drie stellingen met namen deze opgave heeft bewezen (met hun getallen $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ en hun auteurs); welk enkele rekenmiddel (het afsplitsen van $\sin\frac t2$ en $\cos\frac t2$ ) alle delen I, II en IV aandreef; hoe de intrinsieke betrekking $y = s^2/8R$ meetkunde omzette in een lineaire differentiaalvergelijking; en op welk hoofdstuk van dit boek elk deel steunde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. Rollen zonder glijden betekent dat het contactpunt een afstand heeft afgelegd gelijk aan de afgerolde boog van het wiel: na een draaiing over $t$ ligt het middelpunt in $(Rt, R)$ . Het gemarkeerde punt zit op de velg onder hoek $t$ achter de neerwaartse verticaal (het wiel draait met de klok mee terwijl het vooruitgaat):

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

wat klopt bij $t = 0$ ( $M = (0,0)$ ) en bij $t = \pi$ ( $M = (\pi R, 2R)$ , de top).

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ en

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

dus $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ . Singuliere punten bij $t \in 2\pi\Z$ : de keerpunten op de grond (Oefening 24.2); de top van de boog is $t = \pi$ , waar de snelheid $2R$ maximaal is.

3. Afsplitsingen met halve hoeken:

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

Voor $0 < t < 2\pi$ is $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ staat loodrecht op de raakrichting $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ (hun product is $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ ), en $T - M$ is ermee evenwijdig. De koorde naar de top van het wiel is de raaklijn; de koorde naar het contactpunt is de normaal.

4. Op elk ogenblik draait het wiel om zijn contactpunt (dat punt heeft snelheid nul: rollen zonder glijden), zodat elk star punt van het wiel loodrecht beweegt op de rechte die het met $C$ verbindt, met een snelheid (bij hoeksnelheid $1$ ) gelijk aan die afstand. Controle: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ .

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ . De snelheid op hoogte $y$ is $\sqrt{2R\,y}$ — formeel de wet $v = \sqrt{2gh}$ van de vrije val, met de grond in de rol van het plafond; deel IV maakt van deze waarneming uurwerk.

6. Volgens Definitie 24.9 en vraag 2 ( $\sin\frac t2 \geq 0$ op $\intcc{0}{2\pi}$ ):

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

De stelling van Wren: precies vier diameters.

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , consistent.

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , dus $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; en $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , waaruit $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ .

9. In het keerpunt $t = 0$ (of $2\pi$ ) is $\sigma = 4R$ , de helft van $8R$ : de top halveert de boog. In beide berekeningen is de snelheid $\abs{\text{goniometrische veelterm in } t/2}$ , waarvan de primitieve opnieuw goniometrisch is: de lengte is een verschil van waarden van cosinussen — rationale getallen maal $R$ — zonder dat er een cirkelboog moet worden gemeten, en dus zonder $\pi$ . De cirkel zelf heeft constante snelheid, zodat zijn lengte-integraal de volle intervallengte $2\pi$ oplevert; de snelheid van de cycloïde wordt nul in de uiteinden en integreert algebraïsch.

10. De boog wordt bestreken terwijl $x$ stijgt van $0$ tot $2\pi R$ ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , alleen in geïsoleerde punten nul). De substitutie $x = x(t)$ in de oppervlakte-integraal $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (Stelling 15.15) geeft $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ .

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

met $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ . Precies drie wieloppervlakten: de balans van Galilei zei “ongeveer $3$ ”; de berekening van Roberval zegt “precies”.

12. Met $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ is $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ . Lineariseer:

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

en over $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$ en $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ . Dus is $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , en is de omsloten oppervlakte $\frac{3\pi}8$ (het teken registreert de tegenwijzerzin).

13. Voor $(\cos t, \sin t)$ met $t$ van $\pi$ tot $0$ stijgt $x$ van $-1$ tot $1$ en is

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

de formule geeft de oppervlakte van de bovenste halve schijf, zoals het moet.

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , dus $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ (niet-negatief op $\intcc{-\pi}{\pi}$ ). Boog vanaf de bodem: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ . Dan is

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. Behoud van energie met $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ en $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. Afleiden naar $\tau$ : $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , dus overal waar $s' \neq 0$ (en dus overal wegens de continuïteit) is $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : de harmonische oscillator. Volgens Stelling 5.10 is $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ met $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ ; de beginvoorwaarden $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ geven $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ .

17. Het kraaltje bereikt de bodem wanneer $s = 0$ , dus bij $\omega\tau = \frac\pi2$ :

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

onafhankelijk van $s_0$ : waar in de schaal ook losgelaten, alle kraaltjes komen op hetzelfde ogenblik aan — de tautochroon.

18. Invullen van $s = s_0\cos\omega\tau$ : het linkerlid is $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ en het rechterlid $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : exacte gelijkheid, dus er is geen oneigenlijke oplossing binnengeslopen. Voor een cirkelboog is $y$ niet evenredig met $s^2$ ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ): de terugdrijvende term is slechts bij benadering lineair, zodat de periode van een cirkelvormige slinger met de amplitude verschuift, terwijl die van de cycloïde streng constant is.

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ geeft $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — vrijwel precies één meter. De volledige trilling duurt $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ , en dat is precies de formule $2\pi\sqrt{\ell/g}$ voor kleine hoeken bij een slinger van lengte $\ell = 4R$ : Huygens hing zijn slinger op tussen cycloïdale wangen met precies die verhouding.

20. Bij $t = \frac\pi2$ en $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , dus $T - M = (1, 1)$ . En $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : de koorde naar de top is de snelheid, zoals beloofd.

21. Voor de trochoïde is $x'(t) = R - d\cos t$ en $y'(t) = d\sin t$ . Is $d < R$ , dan is $x' \geq R - d > 0$ : het punt gaat altijd vooruit, en de snelheid wordt nooit nul (haar eerste component is positief): geen singulier punt, een reguliere golf. Is $d > R$ , dan is $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , zodat het punt in de buurt van de contactogenblikken achteruit beweegt en elders vooruit: de kromme kruist zichzelf in lussen. Een punt op de flens van een spoorwiel (onder de railkop, $d > R$ ) reist bij elke omwenteling achteruit.

22. De koorde van het keerpunt $(\pi R, 2R)$ naar de oorsprong heeft lengte $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ en een hellingshoek $\alpha$ met $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ . Glijden vanuit rust met constante versnelling $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , dus

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,

tegenover $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ voor de cycloïde: het gebogen pad is sneller. Het is zelfs het snelst mogelijke — de brachistochroon — een stelling van de variatierekening, voorbij dit volume.

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (formules voor halve hoeken). Dan is

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

concaaf over de hele boog; als $t \to 0^+$ of $2\pi^-$ gaat de helling $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : verticale raaklijnen in de keerpunten.

24. De richting van de koorde is $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ , die naar $(0, 1)$ nadert als $t \to 0^{+}$ : de raaklijn in het keerpunt is verticaal — teruggevonden uit zuivere meetkunde, zonder enige ontwikkeling.

25. (i) De stelling van Wren, $L = 8R$ ; de oppervlakte van Roberval, $A = 3\pi R^2$ (de door Galilei vermoede verhouding $3$ ); de tautochroon van Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ . (ii) Elke berekening draaide op de afsplitsingen met halve hoeken $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ en hun tegenhanger in de schaal — één identiteit die raaklijn, lengte en uurwerk tegelijk aandreef. (iii) De intrinsieke betrekking $y = s^2/8R$ zette de energievergelijking om in $s'' = -\frac{g}{4R}s$ , een lineaire vergelijking met constante coëfficiënten waarvan de oplossingen exact isochroon zijn. (iv) Deel I gebruikte de differentiaalrekening van Hoofdstuk 14, de delen II en III de integraal van Hoofdstuk 15, en deel IV de differentiaalvergelijkingen van Hoofdstuk 5 — de cycloïde is het leerplan van dit boek, tot één kromme opgerold.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst