Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

24Vlakke krommen

De analyse van Hoofdstukken 14 en 16 was gebouwd voor functies $y = f(x)$ ; de meeste krommen uit de meetkunde en de mechanica — banen, cirkels die over cirkels rollen, omlopen — weigeren die vorm en verschijnen in plaats daarvan als geparametriseerde krommen $t \mapsto (x(t), y(t))$ of als poolkrommen $r = r(\theta)$ . Dit klassieke hoofdstuk bestudeert beide, en sluit af met de kegelsneden.

24.1 Geparametriseerde krommen

Definitie 24.1

Een geparametriseerde kromme is een afbeelding $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , met $x, y$ van klasse $C^1$ (ten minste) op het interval $I$ . De snelheidsvector is $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; het punt $M(t_0)$ is regulier wanneer $f'(t_0) \neq (0,0)$ , en de raaklijn daar is de rechte door $M(t_0)$ gericht door $f'(t_0)$ .

Waarom $f'$ de raaklijn richt. Volgens Taylor–Young per component geldt $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : de koorderichting $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ streeft naar $f'(t_0)$ . De regulariteitshypothese is wat de limiet tot een richting maakt: als $f'(t_0) = 0$ , dan valt de uitdrukking terug op $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ en zegt ze niets over hoe de kromme het punt verlaat — vandaar de aparte behandeling van singuliere punten in de methode hieronder, waar de eerste niet-verdwijnende afgeleide de rol van $f'$ overneemt. Merk ook op dat de raaklijn een meetkundig object is: elke herparametrisatie wijzigt $f'$ met een niet-nulle scalaire factor en laat de rechte onveranderd. ∎

Methode 24.2 (Een geparametriseerde kromme bestuderen)

Beperk het domein met behulp van symmetrieën: verbanden tussen $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … en $M(t)$ (spiegelingen, translaties, periodiciteit), en teken dan enkel het beperkte deel.
Variaties: tabelleer de tekens van $x'$ en $y'$ samen; de kromme beweegt rechts/links naargelang $x'$ , omhoog/omlaag naargelang $y'$ .
Opmerkelijke punten: horizontale raaklijn ( $y' = 0 \neq x'$ ), verticale raaklijn ( $x' = 0 \neq y'$ ); in een singulier punt ( $f' = 0$ ) onderzoek je hogere afgeleiden voor de raakrichting.
Asymptotisch gedrag aan de uiteinden van $I$ , en schets vervolgens.

Voorbeeld 24.3 (Asymptotische takken, uitgewerkt)

$x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ op $\intoo{0}{+\infty}$ . Als $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ terwijl $y \to +\infty$ — de kromme klimt langs de verticale asymptoot $x = 0$ (eindige limiet voor één coördinaat, oneindig voor de andere). Als $t \to +\infty$ : beide coördinaten lopen op naar oneindig, dus test een rechte: het verschil

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

onthult de scheve asymptoot $y = x$ , van bovenaf benaderd. Daartussen verdwijnt $y' = 1 - \frac1{t^2}$ bij $t = 1$ : het punt $(1, 2)$ is het laagste punt van de tak, en $x' = 1 > 0$ overal, dus de kromme gaat steeds naar rechts. Eén boog, twee asymptoten, één minimum: een volledig beeld uit drie berekeningen — met het algemene recept eronder zichtbaar: wanneer $x, y \to \infty$ samen, onderzoek dan $y/x$ voor een kandidaat-richtingscoëfficiënt (hier $\to 1$ ), en vervolgens $y - (\text{richtingscoëfficiënt})\,x$ voor het snijpunt en de kant van de benadering.

Voorbeeld 24.4 (De astroïde)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . Symmetrieën: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (bestudeer één periode); $M(-t)$ is de spiegeling van $M(t)$ in de $x$ -as; $M(\pi - t)$ in de $y$ -as; $M(\frac\pi2 - t)$ in de diagonaal $y = x$ : het volstaat $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ te bestuderen en te ontvouwen.

Snelheid: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ . Op $\intoo{0}{\frac\pi2}$ zijn alle punten regulier met raaklijn gericht door $(-\cos t, \sin t)$ ; bij $t = 0$ (het punt $(1,0)$ ) verdwijnt de snelheid: een keerpunt, waar de kromme omkeert langs de raakrichting $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — door symmetrie liggen de vier keerpunten bij $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ .

Voorbeeld 24.5 (Een lemniscaatvorm, volledig bestudeerd)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (een Lissajous-kromme). Symmetrieën: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (spiegeling in de $y$ -as), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (centrale symmetrie), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (spiegeling in de $x$ -as): het volstaat $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ te bestuderen en te ontvouwen. Variaties: $x' = \cos t \geq 0$ overal, terwijl $y' = 2\cos 2t$ positief is vóór $t = \frac\pi4$ en negatief erna: de boog klimt naar rechts tot de top $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ bij $t = \frac\pi4$ (horizontale raaklijn), en daalt dan naar rechts tot $(1, 0)$ bij $t = \frac\pi2$ , waar $x' = 0 \neq y'$ : verticale raaklijn. Dubbelpunt: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , met twee verschillende snelheden

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

twee reguliere takken die elkaar in de oorsprong kruisen onder verschillende hoeken — een dubbelpunt, geen singulier punt: elke doorgang is volkomen glad, de twee doorgangen delen enkel hun ligging. De hele kromme is de lemniscaatvorm hieronder.

De Lissajous-kromme ( t, 2t): een dubbelpunt in de oorsprong, waar twee reguliere takken elkaar kruisen met snelheden (1, 2) en (-1, 2), en horizontale raaklijnen bij de vier toppen. Symmetrie heeft al het werk tot een kwartperiode herleid. — De Lissajous-kromme $(\sin t, \sin 2t)$ : een dubbelpunt in de oorsprong, waar twee reguliere takken elkaar kruisen met snelheden $(1, 2)$ en $(-1, 2)$ , en horizontale raaklijnen bij de vier toppen. Symmetrie heeft al het werk tot een kwartperiode herleid.

De astroïde ( 3 t, 3 t): vier bogen die samenkomen in vier keerpunten. Het is de kromme die wordt beschreven door een punt van een cirkel met straal 1/4 die binnen de eenheidscirkel rolt. — De astroïde $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : vier bogen die samenkomen in vier keerpunten. Het is de kromme die wordt beschreven door een punt van een cirkel met straal $\frac14$ die binnen de eenheidscirkel rolt.

24.2 Poolkrommen

Definitie 24.6

Een poolkromme wordt gegeven door $r = r(\theta)$ : het punt met parameter $\theta$ is

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Met $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ is de snelheid

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Gevolgen: waar $r \neq 0$ is het punt regulier, en de raaklijn maakt met de straal de hoek $V$ gegeven door $\tan V = \frac{r}{r'}$ (hoek tussen $M'$ en $\vec u$ ); waar $r(\theta_0) = 0$ , gaat de kromme door de oorsprong met als raaklijn de straal $\theta = \theta_0$ (richting $\vec u(\theta_0)$ , af te lezen uit $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , of uit de limietkoorde: de koorde van $O$ naar $M(\theta)$ wordt gedragen door $\vec u(\theta)$ zelf, die naar $\vec u(\theta_0)$ streeft — dus de regel geldt zelfs wanneer $r'(\theta_0) = 0$ en het punt singulier is, en dat is waarom pool-keerpunten in de oorsprong, zoals dat van de cardioïde, hun raaklijn gratis krijgen).

Voorbeeld 24.7 (De cardioïde)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Symmetrie: $r(-\theta) = r(\theta)$ : spiegeling in de $x$ -as; bestudeer $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ daalt van $2$ naar $0$ ; bij $\theta = \pi$ , $r = 0$ : de kromme bereikt de oorsprong rakend aan de straal $\theta = \pi$ (de $x$ -as), en vormt daar een keerpunt — de punt van het hart. Raaklijn bij $\theta = 0$ : $r' = 0$ , dus $\tan V = \infty$ : loodrecht op de as.

De hoek $V$ verdient nog één lezing. Bij $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ en $r' = -1$ , dus $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : de raaklijn maakt driekwart van een rechte hoek met de uitgaande straal — de kromme buigt al terug naar haar keerpunt. De formule $\tan V = r/r'$ levert raakrichtingen langs de hele kromme zonder ook maar enige berekening van $M'(\theta)$ : het is het pool-analogon van het aflezen van een richtingscoëfficiënt.

Voorbeeld 24.8 (Van pool- naar cartesiaans: een verborgen cirkel)

Wat is de poolkromme $r = 2\cos\theta$ ? Vermenigvuldig met $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , d.w.z. $x^2 + y^2 = 2x$ , d.w.z.

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

de cirkel met middelpunt $(1, 0)$ en straal $1$ , door de oorsprong gaand. De boekhouding is van belang: terwijl $\theta$ over $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ loopt, wordt de hele cirkel precies één keer doorlopen ( $r$ verdwijnt aan beide uiteinden), en bij $\theta = \pm\frac\pi2$ geeft de regel “raaklijn in de oorsprong langs de straal $\theta = \theta_0$ ” daar een verticale raaklijn — in overeenstemming met de meetkunde, want de verticale as is inderdaad rakend aan deze cirkel in $O$ . Voor $\theta$ buiten dat bereik doorloopt $r < 0$ dezelfde cirkel opnieuw: een herinnering dat een poolkromme een geparametriseerd object is, dat over zichzelf mag heenlopen.

De vierbladige roos r = 2 (). De blaadjes langs de y-as worden getekend met r < 0 (het punt wordt afgezet op de straal tegenover ); de gestippelde diagonalen = ± π4 zijn de raaklijnen in de oorsprong, waar r verdwijnt. — De vierbladige roos $r = \cos 2\theta$ (Oefening 24.4). De blaadjes langs de $y$ -as worden getekend met $r < 0$ (het punt wordt afgezet op de straal tegenover $\theta$ ); de gestippelde diagonalen $\theta = \pm\frac\pi4$ zijn de raaklijnen in de oorsprong, waar $r$ verdwijnt.

De cardioïde r = 1 +. Poolkrommen leest men door de hoek te laten draaien: de straal zwelt aan en krimpt terwijl draait. — De cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ . Poolkrommen leest men door de hoek te laten draaien: de straal zwelt aan en krimpt terwijl $\theta$ draait.

24.3 Booglengte

Definitie 24.9 (Lengte van een boog)

De lengte van een $C^1$ -boog $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ is de integraal van de snelheid:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivatie: op een klein interval geldt $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , dus de boog ligt dicht bij een veelhoek waarvan de segmentlengten optellen tot een Riemannsom van $\norm{f'}$ , Stelling 15.20.) Voor een poolkromme $r = r(\theta)$ heeft de snelheid $r'\vec u + r\vec v$ orthogonale componenten, dus

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

De lengte hangt niet af van de gekozen (monotone, $C^1$ ) parametrisatie: door $t = \varphi(s)$ te substitueren in de integraal (Stelling 15.15) wordt $f'$ vermenigvuldigd met $\varphi'$ en $\dd t$ met $\varphi'^{-1}$ .

Voorbeeld 24.10 (Controle: de cirkel)

Voor $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ op $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , dus $L = 2\pi R$ — de definitie geeft de omtrek terug. Herparametrisatietest: de afbeelding $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ op $\intcc{0}{\pi}$ tekent dezelfde cirkel met dubbele snelheid $\norm{g'} = 2R$ , en

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

opnieuw: de helft van de tijd, dubbele snelheid, dezelfde lengte — de in de definitie beloofde invariantie, één keer op getallen bekeken. ( $g$ over heel $\intcc{0}{2\pi}$ laten lopen zou $4\pi R$ geven: een kromme die tweemaal wordt doorlopen is tweemaal zo lang als een reis; lengte meet het geparametriseerde pad, en een eerlijke boekhouding van het interval is deel van de berekening.) Voor de astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , en door symmetrie $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : een kromme getekend binnen de eenheidscirkel, met lengte $6 < 2\pi$ . Het weekendprobleem meet de meest beroemde boog van allemaal.

Eén boog van de cycloïde (straal R = 1), de rollende cirkel bij t = 2, en de twee hulprechten van het weekendprobleem: de koorde MC naar het contactpunt is normaal aan de kromme, de koorde MT naar de top van de cirkel is rakend. — Eén boog van de cycloïde (straal $R = 1$ ), de rollende cirkel bij $t = 2$ , en de twee hulprechten van het weekendprobleem: de koorde $MC$ naar het contactpunt is *normaal* aan de kromme, de koorde $MT$ naar de top van de cirkel is *rakend*.

24.4 Kegelsneden

Definitie 24.11 (Brandpunt–richtlijn-definitie)

Kies een punt $F$ (brandpunt), een rechte $D$ niet door $F$ (richtlijn) en $e > 0$ (excentriciteit). De kegelsnede met deze gegevens is

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

een ellips voor $e < 1$ , een parabool voor $e = 1$ , een hyperbool voor $e > 1$ . (De cirkel verschijnt als een ontaarde limiet $e \to 0$ .)

Voorbeeld 24.12 (De definitie, gecontroleerd op een parabool)

Neem de parabool $y^2 = 4x$ , d.w.z. $2p = 4$ : brandpunt $F = (1, 0)$ en richtlijn $D : x = -1$ (de herleide vorm Stelling 24.13 plaatst ze op $\pm\frac p2$ ). In het punt $M = (1, 2)$ van de kromme:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

gelijk, zoals $e = 1$ eist. In $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ en $d(M', D) = 5$ opnieuw. De brandpunt–richtlijn-definitie is geen abstractie: het is een paar afstanden dat men op elk punt kan meten, en de algebra van de herleide vergelijkingen is niets anders dan deze meting eens en voor altijd uitgevoerd.

Stelling 24.13 (Herleide vergelijkingen)

In een goed gekozen orthonormaal assenstelsel:

\text{ellips: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{hyperbool: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{parabool: } y^2 = 2px,

met, voor de ellips: brandpunten in $(\pm c, 0)$ , $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ , en de bifocale karakterisering $MF + MF' = 2a$ ; voor de hyperbool: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , asymptoten $y = \pm\frac ba x$ .

Bewijs. Neem het brandpunt in de oorsprong en de richtlijn verticaal, $x = -h$ ( $h > 0$ ): de voorwaarde $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ luidt $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ . Voor $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$ , een parabool na de verschuiving $x \mapsto x - \frac h2$ (dus $p = h$ ). Voor $e \neq 1$ : door de kwadraatsvervollediging in $x$ ,

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

Stel $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (een verschuiving van assenstelsel). Als $e < 1$ , deel dan door het positieve rechterlid: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ met $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; als $e > 1$ , dan wisselen beide leden van de uitdrukking gepast van teken en dezelfde deling geeft $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ met $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ . De vermelde waarden van $c$ volgen ( $c^2 = a^2 - b^2$ of $a^2 + b^2$ geeft $c = ea$ in beide gevallen, waardoor het brandpunt correct wordt geplaatst), en de bifocale eigenschappen zijn directe verificaties op de herleide vergelijkingen. In detail voor de ellips, met $F' = (c, 0)$ en $M = (X, y)$ op de kromme:

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

met behulp van $c^2 + b^2 = a^2$ en $e = \frac ca$ ; aangezien $\abs X \leq a$ en $e < 1$ , is $a - eX > 0$ , dus $MF' = a - eX$ zonder ooit een vierkantswortel te trekken. De spiegelberekening geeft $MF = a + eX$ , waaruit $MF + MF' = 2a$ , constant. Voor de hyperbool levert dezelfde algebra $MF = \abs{a + eX}$ en $MF' = \abs{eX - a}$ , met verschil $\pm2a$ naargelang de tak. ∎

Voorbeeld 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : ellips, $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : brandpunten $(\pm4, 0)$ , excentriciteit $\frac45$ . Haar parametrisatie: $(5\cos t, 3\sin t)$ — een anisotroop uitgerekte cirkel; de som van de afstanden tot de brandpunten van elk van haar punten is $10$ .

Voorbeeld 24.15 (Een omloop aflezen uit haar poolvergelijking)

De poolkegelsnede $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Oefening 24.7 met $p = 1$ , $e = \frac12$ ) is een ellips met een brandpunt in de oorsprong — de meetkunde van een planeetbaan met de zon in $O$ . Haal alles uit $p$ en $e$ : uit de herleiding van Stelling 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ en $c = ea = \dfrac23$ . De twee apsiden controleren het zonder enige theorie:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelium}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphelium}),

en hun som $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ herstelt de grote as. De poolvorm is de natuurlijke telkens wanneer een brandpunt fysisch onderscheiden is; de herleide cartesiaanse vorm telkens wanneer de symmetrieassen dat zijn. Omzetten tussen beide is precies wat de kwadraatsvervolledigingsberekening van de stelling doet.

Excentriciteit ten slotte als draaiknop: houd $p = 1$ en verdraai $e$ in $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . Bij $e = 0$ : de cirkel $r = 1$ . Bij $e = \frac12$ : de zojuist bestudeerde ellips, waarbij $r$ oscilleert tussen $\frac23$ en $2$ . Bij $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ als $\theta \to \pi$ — de kromme sluit niet langer: een parabool, met haar verste punt naar oneindig geduwd. Bij $e = 2$ : de noemer verdwijnt bij $\cos\theta = -\frac12$ , en enkel $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ overleeft: één tak van een hyperbool, ontsnappend langs twee asymptotische richtingen. Eén formule, de hele familie kegelsneden, en de overgangspunten $e = 1$ zichtbaar als het moment waarop de noemer voor het eerst nul bereikt.

Opmerking 24.16 (Veelvoorkomende valkuilen)

Dubbelpunten zijn geen singuliere punten: bij een zelfkruising is elke tak regulier; “singulier” verwijst naar $f'(t_0) = 0$ voor één waarde van de parameter (Voorbeeld 24.5 tegenover de keerpunten van de astroïde). Verticale raaklijn versus keerpunt: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ is een regulier punt met verticale raaklijn; enkel $x' = y' = 0$ vereist de hogere-orde-ontwikkeling. Negatieve stralen worden afgezet op de tegenoverliggende straal: voor $r(\theta) < 0$ is het punt $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ , onder hoek $\theta + \pi$ (Oefening 24.5); dit vergeten kost binnenlussen of verdubbelt krommen. Booglengte integreert $\norm{f'}$ , niet $f'$ : splits de integraal bij de nulpunten van de snelheid — voor de astroïde geeft het integreren van $\frac32\sin 2t$ over een volledige periode zonder absolute waarden $0$ , niet $6$ . Kegelsneden moeten herleid worden voordat ze gelezen worden: in $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ is noch de assen, noch het middelpunt, noch de excentriciteit zichtbaar totdat de kwadraten zijn vervolledigd (Oefening 24.6); en een verdwijnend kwadratisch deel op één variabele betekent parabool, geen “ontaarde ellips”.

Opmerking 24.17 (Waar deze krommen naartoe gaan)

Geparametriseerde krommen zijn de taal van de mechanica: banen zijn krommen, snelheidsvectoren zijn raakvectoren, en de booglengte van Definitie 24.9 is de afgelegde afstand. De kegelsneden duiken op overal waar een omgekeerd-kwadratische wet werkt — planeetbanen zijn ellipsen met de zon in een brandpunt. In Hoofdstuk 25 worden krommen de niveaukrommen van functies van twee variabelen, en de raaklijn van dit hoofdstuk ontmoet de gradiënt van het volgende. Het Jaar 2-volume voegt kromming toe en de lokale canonieke vorm van een kromme; het weekendprobleem hieronder haalt, met enkel het gereedschap van dit jaar, al alles eruit wat de zeventiende eeuw over haar meest gevierde kromme wist.

Opmerking 24.18 (Perspectieven binnen Boek 3)

Dit hoofdstuk verbruikt de hele eerste helft van het volume en voedt het laatste hoofdstuk. Verbruikt: raakvectoren zijn afgeleiden (Hoofdstuk 14), booglengte en oppervlakten zijn integralen (Hoofdstuk 15), keerpunten worden geregeld door Taylor-ontwikkelingen (Hoofdstuk 16), de tautochroon is een lineaire differentiaalvergelijking (Hoofdstuk 5), en elke afstand en hoek is euclidisch (Hoofdstuk 23). Gevoed: in Hoofdstuk 25 wordt een kromme $t \mapsto (x(t), y(t))$ getekend binnen een niveaukromme $\{f = c\}$ gedifferentieerd door de kettingregel, en de resulterende identiteit $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ verbindt de raakvectoren van dit hoofdstuk met de gradiënten van het volgende — de raaklijn van de kromme en de normaalrichting van het oppervlak zijn dezelfde berekening gezien vanaf beide oevers.

24.5 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Bestudeer en schets de kromme $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ (symmetrieën, variaties, gedrag in het singuliere punt $t = 0$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : spiegeling in de $x$ -as; bestudeer $t \geq 0$ . Zowel $x' = 2t$ als $y' = 3t^2$ is $\geq 0$ : de tak beweegt naar rechts en omhoog, van $(0,0)$ naar oneindig. Bij $t = 0$ verdwijnt de snelheid; de ontwikkelingen $x = t^2$ , $y = t^3$ tonen dat de raaklijn de $x$ -as is ( $y/x = t \to 0$ ) met $y$ dat van teken wisselt terwijl $x \geq 0$ : een keerpunt dat naar links wijst. De kromme is de semikubische parabool $y^2 = x^3$ .

Oefening 24.2 ★

Voor de cycloïde $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ (de baan van een punt van een rollend wiel met straal $1$ ): identificeer de periodetranslatie-symmetrie, de singuliere punten, en de raakrichting bij $t = 0$ (ontwikkel $x$ en $y$ tot de eerste niet-nulle orden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : de kromme herhaalt zich, verschoven met één wielomtrek; bestudeer één periode. $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : de boog stijgt op $\intoo{0}{\pi}$ , daalt op $\intoo{\pi}{2\pi}$ , met een top bij $(\pi, 2)$ . Singuliere punten waar $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , op de grond. Nabij $t = 0$ :

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ wisselt van teken, $y \geq 0$ , en $\frac{x}{y^{3/2}}$ begrensd: de raaklijn is verticaal (richting $(0,1)$ ), een keerpunt waar het gevolgde punt momentaan nulsnelheid heeft — de fysische signatuur van rollen zonder slippen.

Oefening 24.3 ★

Geef de raaklijn aan de kromme $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ bij $t = \frac\pi4$ , en controleer dat het segment van deze raaklijn dat door de assen wordt afgesneden lengte $1$ heeft — een beroemde eigenschap van de astroïde (waar in elk regulier punt).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

Bij $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , raakrichting $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (Voorbeeld 24.4). Raaklijn: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , d.w.z. $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ . Snijpunten met de assen: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ en $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; het segment ertussen heeft lengte $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ .

(Algemeen punt $t$ : de raaklijn in $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ snijdt de assen in $(\cos t, 0)$ en $(0, \sin t)$ — controleer dat de rechte door deze punten richting $(-\cos t, \sin t)$ heeft en door $M(t)$ gaat — en het afgesneden segment heeft lengte $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ .)

Oefening 24.4 ★

Schets de poolkrommen $r = \cos 2\theta$ (vierbladige roos) en $r = \frac{1}{\cos\theta}$ op $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (herken een rechte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : periode $\pi$ in $\theta$ , symmetrisch in beide assen; $r$ verdwijnt bij $\theta = \pm\frac\pi4$ (raaklijnen in de oorsprong langs de diagonalen) en is negatief voor $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ , waar de punten op de tegenoverliggende straal worden afgezet — wat vier blaadjes langs de asrichtingen $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ oplevert, elk met maximale straal $1$ .

$r\cos\theta = 1$ is de vergelijking $x = 1$ : de poolkromme $r = \frac{1}{\cos\theta}$ is de verticale rechte $x = 1$ (één keer doorlopen voor $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ).

Oefening 24.5 ★★

Bestudeer de poolkromme $r = 1 + 2\cos\theta$ (een limaçon): domein waar $r \geq 0$ tegenover $r < 0$ (punten afgezet met negatieve straal liggen op de tegenoverliggende straal), doorgang door de oorsprong, binnenlus, schets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ verdwijnt voor $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ . Symmetrie in de $x$ -as; bestudeer $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Voor $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$ , dalend van $3$ naar $0$ : buitenboog, de oorsprong binnengaand rakend aan de straal $\theta = \frac{2\pi}{3}$ . Voor $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r < 0$ : de punten $r\vec u(\theta)$ liggen op de tegenoverliggende straal (hoek $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), met afstand $\abs r$ groeiend van $0$ naar $1$ : dit tekent een kleine binnenlus door de oorsprong. Bij $\theta = \pi$ , $r = -1$ en het punt is $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : de lus sluit op de positieve $x$ -as. Schets: een grote hartachtige buitenkromme met maximaal bereik $3$ bij $\theta = 0$ , plus een lus erbinnen door $O$ en $(1,0)$ .

Oefening 24.6 ★★

Identificeer de kegelsnede $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : herleid door kwadraatsvervollediging, geef middelpunt, halve assen, brandpunten, excentriciteit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

Vervolledig de kwadraten:

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

Delen door $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : een ellips met middelpunt $(2, 1)$ , halve assen $a = 5$ (horizontaal), $b = 3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : brandpunten $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ en $(6, 1)$ ; excentriciteit $e = \frac45$ .

Oefening 24.7 ★★

Bewijs dat de poolvergelijking van een kegelsnede met brandpunt in de oorsprong

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

is (richtlijn verticaal op afstand $\frac pe$ rechts van het brandpunt). Welke waarden van $\theta$ zijn toegelaten wanneer $e > 1$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

Brandpunt in de oorsprong, richtlijn $D: x = d$ met $d = \frac pe > 0$ . Voor een punt $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ met $r > 0$ :

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

en de kegelsnedevoorwaarde $MF = e\,d(M, D)$ , in het regime waar $M$ aan de brandpuntzijde van de richtlijn ligt ( $r\cos\theta < d$ ), luidt $r = e(d - r\cos\theta)$ , d.w.z.

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

Voor $e < 1$ verdwijnt de noemer nooit: alle $\theta$ toegelaten (ellips). Voor $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parabool, open naar de verre zijde van de richtlijn). Voor $e > 1$ : nodig is $1 + e\cos\theta > 0$ , d.w.z. $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ met $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : één tak van de hyperbool (de andere tak stemt overeen met de tekenkeuze $r < 0$ , of met het tweede brandpunt).

Oefening 24.8 ★★

Leid uit de bifocale eigenschap $MF + MF' = 2a$ de “tuinman constructie” van de ellips af, en bewijs dat de raaklijn in $M$ gelijke hoeken maakt met $MF$ en $MF'$ (spiegeleigenschap; differentieer $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ en interpreteer de verdwijnende som van eenheidsvectorproducten).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

Tuinman: bevestig een touw van lengte $2a$ aan twee palen $F, F'$ en houd het strak met het tekenende punt $M$ : de beperking is precies $MF + MF' = 2a$ , dus de getekende kromme is de ellips.

Spiegeleigenschap: zij $t \mapsto M(t)$ een reguliere parametrisatie en $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , $u'(t)$ de analoge eenheidsvector naar $F'$ . Door $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ te differentiëren, met behulp van $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ (kettingregel op $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ ):

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

Dus de raakrichting $M'$ is orthogonaal aan de bissectricerichting $u + u'$ van de twee brandpuntstralen: de raaklijn maakt gelijke hoeken met $MF$ en $MF'$ . (Een lichtstraal vanuit één brandpunt weerkaatst tegen de ellips naar het andere brandpunt.)

Oefening 24.9 ★★★

De lemniscaat van Bernoulli is de poolkromme $r^2 = \cos 2\theta$ (neem $r = \sqrt{\cos2\theta}$ waar gedefinieerd).

Geef haar domein, symmetrieën, raaklijnen in de oorsprong, en schets ze.
Bewijs dat ze de meetkundige plaats is van de punten $M$ met $MF \cdot MF' = \frac12$ waarbij $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ . (Bereken $MF^2\,MF'^2$ in poolcoördinaten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

Domein: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Symmetrieën: $\theta \mapsto -\theta$ ( $x$ -as) en $\theta \mapsto \pi - \theta$ ( $y$ -as): bestudeer $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ daalt van $1$ naar $0$ . Bij $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r = 0$ , raaklijnen in de oorsprong langs de diagonalen. De kromme is het $\infty$ -symbool: twee symmetrische lussen die elkaar ontmoeten in $O$ en $(\pm 1, 0)$ bereiken.
Met $F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ , en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ :

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

volgens de identiteit $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ met $A = r^2 + c^2$ , $B = 2rc\cos\theta$ . Met $c^2 = \frac12$ :

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

Op de lemniscaat, $r^2 = \cos 2\theta$ : de eerste twee termen vallen weg, wat $MF^2MF'^2 = \frac14$ overlaat, d.w.z. $MF \cdot MF' = \frac12$ . Omgekeerd toont de berekening achterwaarts gelezen dat de meetkundige-plaatsvergelijking $MF\,MF' = \frac12$ gelijk is aan $r^2 = \cos 2\theta$ (voor $r \neq 0$ ; en $O$ voldoet aan beide).

Oefening 24.10 ★★

Bereken de totale lengte van de cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ met de poolformule van Definitie 24.9 (de identiteit $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ maakt de vierkantswortel tot $2\abs{\cos\frac\theta2}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

dus $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ en, door de symmetrie in de $x$ -as,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

Nog een algebraïsche, $\pi$ -vrije omtrek.

Oefening 24.11 ★★

Toon aan dat de raaklijn aan de ellips $(a\cos t, b\sin t)$ in het punt met parameter $t$ als vergelijking

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,

heeft, en leid de raaklijn aan $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ af in een punt $(x_0, y_0)$ van de ellips: $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (de “splitsing van de kwadraten”-regel).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

Het punt $(a\cos t, b\sin t)$ voldoet aan de vergelijking: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . De normaalvector van de rechte is $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ , en zijn product met de snelheid $(-a\sin t, b\cos t)$ is $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ : de rechte gaat door het punt met de raakrichting — ze is de raaklijn. Voor $(x_0, y_0)$ op de ellips, schrijf $\cos t = \frac{x_0}a$ , $\sin t = \frac{y_0}b$ en substitueer:

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

verkregen uit de ellipsvergelijking door $x^2 \mapsto x\,x_0$ en $y^2 \mapsto y\,y_0$ te “splitsen”.

Oefening 24.12 ★★★

De logaritmische spiraal is de poolkromme $r = \eu^{k\theta}$ ( $k > 0$ vast, $\theta \in \R$ ).

Toon aan dat de hoek $V$ tussen de straal en de raaklijn constant is ( $\tan V = \frac1k$ ) — de spiraal kruist elke straal onder dezelfde hoek.
Toon aan dat het roteren van de spiraal over een hoek $c$ ze afbeeldt op haar schaling met de factor $\eu^{-kc}$ : elke rotatie van de spiraal is een vergroting ervan (zelfgelijkvormigheid).
Bereken de lengte van de boog $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (als een limiet van lengten op $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) en merk op dat ze eindig is: een kromme die oneindig vaak rond de oorsprong spiraalt, met eindige lengte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , dus $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : constant. De spiraal snijdt elke straal vanuit de oorsprong onder dezelfde hoek $V = \arctan\frac1k$ .
In complexe notatie is de spiraal $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ . Roteren over $c$ vermenigvuldigt met $\eu^{\iu c}$ :

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

en terwijl $\theta + c$ over $\R$ loopt, beschrijft dit $\eu^{-kc}$ maal de spiraal: rotatie $=$ schaling. Geen andere gladde kromme dan rechten en cirkels heeft deze eigenschap.
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , dus op $\intcc{A}{\theta_0}$ is de lengte $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ , en als $A \to -\infty$ :

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

oneindig veel omwentelingen rond de oorsprong, eindige totale lengte (de omwentelingen krimpen meetkundig).

24.6 Probleem: de cycloïde, koningin der krommen

Probleem 24.1

Een wiel met straal $R$ rolt zonder slippen langs de $x$ -as; het punt van de rand dat aanvankelijk in de oorsprong ligt beschrijft de cycloïde. De zeventiende eeuw streed over deze kromme — Galilei woog papieren uitknipsels ervan, Wren mat ze, Roberval berekende haar oppervlakte, Huygens bouwde er klokken op — en elk van hun resultaten ligt binnen bereik van dit hoofdstuk. We bewijzen de vier klassiekers: de raaklijnconstructie, Wrens lengte $8R$ , de oppervlakte $3\pi R^2$ , en Huygens’ tautochroon eigenschap.

Deel I — Het rollen en de raaklijn.

Nadat het wiel over een hoek $t$ is gedraaid, ligt zijn middelpunt in $\Omega(t) = (Rt, R)$ (rollen zonder slippen: contactafstand $=$ gerolde boog). Toon aan dat het gemarkeerde punt zich bevindt in

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
Bereken $f'(t)$ en toon aan dat $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; lokaliseer de singuliere punten (keerpunten — vgl. Oefening 24.2) en de top van elke boog.
Zij $C(t) = (Rt, 0)$ het contactpunt en $T(t) = (Rt, 2R)$ de top van het wiel. Bewijs dat voor $0 < t < 2\pi$ de vector $M - C$ normaal is aan de kromme in $M(t)$ en de vector $T - M$ rakend: om de raaklijn aan een cycloïde te tekenen, verbind je het punt met de top van zijn rollende cirkel. (Factoriseer alles door $\sin\frac t2$ en $\cos\frac t2$ .)
Interpreteer vraag 3 kinematisch: het contactpunt is het ogenblikkelijke rotatiecentrum, en de snelheid van $M$ is gelijk aan zijn afstand tot $C$ (voor eenheidshoeksnelheid). Verifieer $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
Bewijs de hoogte–snelheid-relatie

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

op een cycloïde doorlopen met eenheidshoeksnelheid is de snelheid in elk punt precies de vrijeval-snelheid voor een val gelijk aan de huidige hoogte. (Bewaar dit voor Deel IV.)

Deel II — Wrens stelling: de boog heeft lengte $8R$ .

Bereken met Definitie 24.9 de lengte van één boog:

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(Wrens stelling, 1658). Vier wieldiameters, en nergens een $\pi$ .
Bereken de booglengte vanaf het keerpunt: $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , en controleer $s(2\pi) = 8R$ .
Meet nu de boog vanaf de top $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ . Bewijs de intrinsieke relatie

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

de gekwadrateerde boogafstand vanaf de top is evenredig met de hoogtedaling onder de top.
Controles: herleid uit vraag 8 dat de halve boog van top tot keerpunt lengte $4R$ heeft, en vergelijk met de astroïdeberekening van Voorbeeld 24.10 — beide krommen hebben algebraïsche, $\pi$ -vrije lengten; leg uit wat dit mogelijk maakt hoewel beide zijn opgebouwd uit cirkels. (Kijk naar de vorm van $\norm{f'}$ .)

Deel III — Robervals oppervlakte: $3\pi R^2$ .

Verantwoord dat de oppervlakte tussen één boog en de grond $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ is (de substitutie $x = x(t)$ in $\int y\,\dd x$ , Stelling 15.15; $x$ is stijgend).
Bereken

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

precies drie keer de oppervlakte van het wiel — de verhouding die Galilei door wegen had geraden.
Dezelfde methode voor de astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : toon aan dat de ingesloten oppervlakte $\frac{3\pi}8$ is (lineariseer $\sin^4 t\cos^2 t$ ; enkel de constante term overleeft over een volledige periode).
Controleer de formule van vraag 10 op de bovenste eenheidshalvecirkel $(\cos t, \sin t)$ , $t$ van $\pi$ naar $0$ : geeft ze $\frac\pi2$ terug?

Deel IV — Huygens’ tautochroon. Keer de boog om: een wrijvingsloze kraal glijdt, onder de zwaartekracht $g$ , binnen de cycloïdale schaal

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

waarvan het laagste punt de oorsprong is ( $y$ opwaarts gemeten).

Bereken de snelheid $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ , de booglengte vanaf de bodem $s(t) = 4R\sin\frac t2$ , en bewijs de sleutelidentiteit

$y = \frac{s^2}{8R} .$
De kraal losgelaten in rust vanuit het punt met parameter $t_0 > 0$ voldoet aan behoud van energie: als $s(\tau)$ zijn boogpositie op tijdstip $\tau$ aangeeft, dan $\frac12\bigl( \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ . Herschrijf dit, met vraag 14, als

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
Differentieer naar $\tau$ en verkrijg de harmonische oscillator

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

los ze op met Stelling 5.10 en de beginvoorwaarden: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ , $\omega = \sqrt{g/4R}$ .
Leid de tautochroon eigenschap af (Huygens, 1659): de tijd om de bodem te bereiken,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

hangt niet af van het losgelaten punt — kralen die samen worden losgelaten vanuit twee willekeurige hoogten van de schaal komen samen aan.
Verifieer door substitutie dat $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ de eerste-orde-energievergelijking van vraag 15 exact voldoet (niet enkel de gedifferentieerde), en leg in één zin uit waarom een cirkelvormige slinger slechts bij benadering isochroon is terwijl de cycloïde het exact is.
Numeriek: welke straal $R$ maakt de daaltijd precies één seconde ( $g = 9{,}81$ )? Merk op hoe dicht het antwoord bij één meter ligt, en hoe de volledige oscillatieperiode $2\pi\sqrt{4R/g}$ zich verhoudt tot de kleinehoek-slingerformule $2\pi\sqrt{\ell/g}$ voor $\ell = 4R$ .

Deel V — Dividenden, en synthese.

Pas de raaklijnregel van vraag 3 toe bij $t = \frac\pi2$ (neem $R = 1$ ): bereken $M$ , $T$ , de richting van $MT$ , en controleer ze tegen $f'(\frac\pi2)$ .
(Trochoïden) Markeer in plaats daarvan een punt op afstand $d$ van het middelpunt ( $d \neq R$ ): de kromme is $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Toon aan dat voor $d < R$ de kromme overal regulier is en de grafiek is van geen singulier gedrag ( $x' > 0$ : ze gaat vooruit), terwijl voor $d > R$ de abscis $x'$ van teken wisselt en de kromme lussen maakt — het geflensde spoorwegwiel waarvan de randpunten achteruit reizen.
(Brachistochroon-voorproefje) Vergelijk van het keerpunt $(\pi R, 2R)$ van de schaal tot de bodem de cycloïdale daaltijd $\pi\sqrt{R/g}$ met de tijd langs de rechte glijbaan die dezelfde punten verbindt (constante versnelling $g\sin\alpha$ langs de koorde): toon aan dat de koorde $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3{,}72\sqrt{R/g}$ neemt. De kromme verslaat de rechte — ze is in feite de snelste van alle krommen, een resultaat van de variatierekening.
Toon aan dat op de boog ( $0 < t < 2\pi$ ),

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

de boog is concaaf, met verticale raaklijnen precies in de keerpunten.
Herwin de verticale keerpuntraaklijn van Oefening 24.2 meetkundig: bereken de limiet richting van de koorde $MT$ van vraag 3 als $t \to 0^{+}$ , zonder enige ontwikkeling.
Synthese, in vier zinnen: welke drie benoemde stellingen dit probleem bewees (met hun getallen $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ en hun auteurs); welk enkel rekenkundig hulpmiddel ( $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ factorisaties) heel Deel I, II en IV aandreef; hoe de intrinsieke relatie $y = s^2/8R$ meetkunde omzette in een lineaire differentiaalvergelijking; en op welk hoofdstuk van dit boek elk Deel steunde.

Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. Rollen zonder slippen betekent dat het contactpunt een afstand heeft afgelegd gelijk aan de boog van het afgerolde wiel: na draaien over $t$ ligt het middelpunt in $(Rt, R)$ . Het gemarkeerde punt ligt op de rand onder hoek $t$ achter de neerwaartse verticale (het wiel draait met de klok mee terwijl het vooruitgaat):

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

wat correct is bij $t = 0$ ( $M = (0,0)$ ) en bij $t = \pi$ ( $M = (\pi R, 2R)$ , de top).

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ en

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

dus $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ . Singuliere punten bij $t \in 2\pi\Z$ : de keerpunten op de grond (Oefening 24.2); de top van de boog is $t = \pi$ , waar de snelheid $2R$ maximaal is.

3. Halvehoekfactorisaties:

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

Voor $0 < t < 2\pi$ , $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ is orthogonaal aan de raakrichting $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ (hun product is $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ ), en $T - M$ is er evenwijdig mee. De koorde naar de top van het wiel is de raaklijn; de koorde naar het contactpunt is de normaal.

4. Op elk ogenblik draait het wiel om zijn contactpunt (dat punt heeft nulsnelheid: rollen zonder slippen), dus elk star punt van het wiel beweegt orthogonaal op de rechte die het met $C$ verbindt, met snelheid (hoeksnelheid $1$ ) gelijk aan die afstand. Controle: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ .

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ . De snelheid op hoogte $y$ is $\sqrt{2R\,y}$ — formeel de wet $v = \sqrt{2gh}$ van de vrije val, met de grond die het plafond speelt; Deel IV maakt van deze observatie uurwerk.

6. Volgens Definitie 24.9 en vraag 2 ( $\sin\frac t2 \geq 0$ op $\intcc{0}{2\pi}$ ):

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

Wrens stelling: precies vier diameters.

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , consistent.

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , dus $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; en $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , waaruit $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ .

9. Bij het keerpunt $t = 0$ (of $2\pi$ ): $\sigma = 4R$ , de helft van $8R$ : de top halveert de boog. In beide berekeningen is de snelheid $\abs{\text{trigonometrische veelterm in } t/2}$ , waarvan de primitieve opnieuw trigonometrisch is: de lengte is een verschil van waarden van cosinussen — rationale getallen maal $R$ — zonder cirkelboog te meten, dus geen $\pi$ . De cirkel zelf heeft constante snelheid, dus zijn lengte-integraal levert de volledige intervallengte $2\pi$ ; de snelheid van de cycloïde verdwijnt aan de uiteinden en integreert algebraïsch.

10. De boog wordt doorlopen met $x$ stijgend van $0$ tot $2\pi R$ ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , enkel verdwijnend in geïsoleerde punten). Het substitueren van $x = x(t)$ in de oppervlakte-integraal $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (Stelling 15.15) geeft $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ .

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

met behulp van $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ . Precies drie wieloppervlakten: Galilei’s balans zei “ongeveer $3$ ”; Robervals berekening zegt “precies”.

12. Met $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ . Lineariseer:

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

en over $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$ , $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ . Dus $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , en de ingesloten oppervlakte is $\frac{3\pi}8$ (het teken registreert de tegenwijzerzin- oriëntatie).

13. Voor $(\cos t, \sin t)$ met $t$ van $\pi$ naar $0$ , stijgt $x$ van $-1$ naar $1$ en

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

de formule geeft de oppervlakte van de bovenste halve schijf terug, zoals het moet.

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , dus $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ (niet-negatief op $\intcc{-\pi}{\pi}$ ). Boog vanaf de bodem: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ . Dan

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. Behoud van energie met $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ en $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. Differentiëren naar $\tau$ : $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , dus overal waar $s' \neq 0$ (dus overal door continuïteit), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : de harmonische oscillator. Volgens Stelling 5.10, $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ met $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ ; de beginvoorwaarden $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ geven $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ .

17. De kraal bereikt de bodem wanneer $s = 0$ , d.w.z. bij $\omega\tau = \frac\pi2$ :

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

onafhankelijk van $s_0$ : losgelaten van waar dan ook in de schaal, komen alle kralen op hetzelfde ogenblik aan — de tautochroon.

18. Door $s = s_0\cos\omega\tau$ te substitueren: het linkerlid is $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ en het rechterlid is $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : exacte gelijkheid, dus er werd geen onechte oplossing ingevoerd. Voor een cirkelboog is $y$ niet evenredig met $s^2$ ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ): de herstelterm is slechts bij benadering lineair, zodat de periode van een cirkelvormige slinger met de amplitude verschuift, terwijl de periode van de cycloïde streng constant is.

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ geeft $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9{,}81}{9{,}87} \approx 0{,}994$ m — bijna precies één meter. De volledige oscillatie duurt $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ , wat precies de kleinehoekformule $2\pi\sqrt{\ell/g}$ is voor een slinger van lengte $\ell = 4R$ : Huygens hing zijn slinger op aan cycloïdale wangen van precies die verhouding.

20. Bij $t = \frac\pi2$ , $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , dus $T - M = (1, 1)$ . En $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : de koorde naar de top is de snelheid, zoals beloofd.

21. Voor de trochoïde, $x'(t) = R - d\cos t$ en $y'(t) = d\sin t$ . Als $d < R$ : $x' \geq R - d > 0$ , het punt gaat steeds vooruit; de snelheid verdwijnt nooit (haar eerste component is positief): geen singulier punt, een reguliere golf. Als $d > R$ : $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , dus het punt beweegt achteruit nabij de contactogenblikken en vooruit elders: de kromme kruist zichzelf in lussen. Een punt op de flens van een spoorweg wiel (onder de railkop, $d > R$ ) reist bij elke omwenteling achteruit.

22. De koorde van het keerpunt $(\pi R, 2R)$ naar de oorsprong heeft lengte $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ en hellingshoek $\alpha$ met $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ . Glijden vanuit rust met constante versnelling $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , dus

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3{,}72\sqrt{\frac Rg}\,,

tegenover $\pi\sqrt{R/g} \approx 3{,}14\sqrt{R/g}$ voor de cycloïde: het gekromde pad is sneller. Het is in feite het snelst mogelijke — de brachistochroon — een stelling van de variatie rekening, buiten dit volume.

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (halvehoek formules). Dan

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

concaaf over de hele boog; als $t \to 0^+$ of $2\pi^-$ gaat de helling $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : verticale raaklijnen in de keerpunten.

24. De koorderichting is $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ , die naar $(0, 1)$ streeft als $t \to 0^{+}$ : de raaklijn in het keerpunt is verticaal — herwonnen uit pure meetkunde, zonder Taylor-ontwikkeling.

25. (i) Wrens stelling, $L = 8R$ ; Robervals oppervlakte, $A = 3\pi R^2$ (Galilei’s vermoede verhouding $3$ ); Huygens’ tautochroon, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ . (ii) Elke berekening liep op de halvehoekfactorisaties $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ en hun schaal analogon — één identiteit die raaklijn, lengte en klok tegelijk aandreef. (iii) De intrinsieke relatie $y = s^2/8R$ zette de energievergelijking om in $s'' = -\frac{g}{4R}s$ , een lineaire vergelijking met constante coëfficiënten waarvan de oplossingen exact isochroon zijn. (iv) Deel I gebruikte de differentiaalrekening van Hoofdstuk 14, Deel II–III de integraal van Hoofdstuk 15, Deel IV de differentiaalvergelijkingen van Hoofdstuk 5 — de cycloïde is het curriculum van dit boek opgerold tot één kromme.