Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

16Holomorfe functies

Complexe differentieerbaarheid lijkt een kleine variatie op de reële theorie — één limiet, één quotiënt. Het is veeleer een ander universum. Een functie die éénmaal differentieerbaar is op een open deelverzameling van $\C$ is automatisch oneindig vaak differentieerbaar, analytisch, op een heel gebied bepaald door haar waarden bij één enkel punt, en onderworpen aan starre globale principes (Liouville, maximummodulus). Dit alles vloeit voort uit één mirakel, de stelling van Cauchy: de integraal van een holomorfe functie langs een gesloten pad in een stervormig gebied verdwijnt. Dit hoofdstuk bewijst het mirakel (het argument van Goursat, zonder regulariteit voorbij differentieerbaarheid), oogst de klassieke gevolgen, en regelt een stelling die dit boek sinds Hoofdstuk 4 op krediet gebruikt: elk niet-constant complex polynoom heeft een wortel.

Doorheen is $\Omega \subseteq \C$ open, en $D(a, r)$ duidt de open schijf aan.

16.1 Complexe differentieerbaarheid

Definitie 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ is holomorf op $\Omega$ wanneer voor elke $z_0 \in \Omega$

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

bestaat ( $h \in \C^*$ ). Sommen, producten, quotiënten (niet-verdwijnende noemers), samenstellingen van holomorfe functies zijn holomorf, met de gebruikelijke formules (de bewijzen van Jaar 1–2 gelden letterlijk: zij gebruiken slechts lichaamsoperaties en limieten). $\mathcal H(\Omega)$ duidt de verzameling holomorfe functies op $\Omega$ aan.

Propositie 16.2 (Cauchy–Riemann)

Schrijf $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . Dan is $f$ holomorf in $z_0$ desda $f$ $\R$ -differentieerbaar is in $z_0$ (als afbeelding van twee reële variabelen) en

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{in } z_0 ;

equivalent: de reële differentiaal is vermenigvuldiging met het complexe getal $f'(z_0)$ .

Bewijs. $\C$ -differentieerbaarheid zegt $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ met $c = f'(z_0)$ : een $\R$ -lineaire differentiaal die vermenigvuldiging met $c = a + \iu b$ is, d.w.z. matrix $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ heeft in de basis $(1, \iu)$ — precies de weergegeven relaties voor de partiële afgeleiden. Omgekeerd is zo’n differentiaal $\C$ -lineair, en de $o(\abs h)$ -definities komen overeen. ∎

Voorbeeld 16.3

Polynomen in $z$ , rationale functies buiten hun polen, en — door de term-voor-term-differentiatiestelling voor machtreeksen uit Jaar 2, waarvan het bewijs identiek werkt over $\C$ — elke som van een machtreeks $\sum a_n(z - a)^n$ binnen haar convergentieschijf: holomorf, met afgeleide $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (zelfde straal). In het bijzonder is $\exp z = \sum z^n/n!$ geheel (holomorf op $\C$ ) met $\exp' = \exp$ . Anderzijds zijn $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ , $\operatorname{Re}z$ nergens holomorf (Cauchy–Riemann faalt overal): holomorfie is starheid die oriëntatie en hoeken bewaart, geen gladheid.

16.2 Contourintegralen

Definitie 16.4

Een pad is een stuksgewijs $\mathcal C^1$ -afbeelding $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ ; het is gesloten wanneer $\gamma(a) = \gamma(b)$ . Voor continue $f$ op het beeld van $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(de ML-ongelijkheid; lengte $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ ). De integraal is invariant onder toenemende $\mathcal C^1$ -herparametrisering en wisselt van teken onder oriëntatieomkering.

Propositie 16.5 (Primitieven)

Voor continue $f$ op $\Omega$ zijn de volgende equivalent: (i) $f$ heeft een primitieve $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ ); (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ voor elk gesloten pad $\gamma$ in $\Omega$ . In dat geval is $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ voor elk pad.

Bewijs. (i) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (kettingregel, stuksgewijs geldig), dus de integraal telescopieert tot het eindpuntsverschil; gesloten paden geven $0$ . (ii) $\Rightarrow$ (i): fixeer $z_*$ in een samenhangscomponent, definieer $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ langs enig pad van $z_*$ naar $z$ (goed gedefinieerd: twee paden verschillen door een gesloten pad); voor kleine $h$ , neem het segment van $z$ naar $z + h$ ,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

door de ML-ongelijkheid en continuïteit van $f$ in $z$ . ∎

Definitie 16.6 (Windinggetal)

Voor een gesloten pad $\gamma$ en $z \notin \operatorname{im}\gamma$ is de index

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

Het is een geheel getal: zet $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ , dan heeft $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ afgeleide nul (stuksgewijs), is dus constant; in $t = b$ is $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , dus $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . Als functie van $z$ is de index continu op $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (gedomineerde convergentie), dus constant op elke samenhangscomponent, en $0$ op de onbegrensde component (ML: de integraal neigt naar $0$ als $z \to \infty$ ). Voor de cirkel $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ voor $z \in D(a,r)$ (bereken in $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; constantheid doet de rest).

16.3 De stelling van Cauchy

Stelling 16.7 (Goursat)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ en $T \subseteq \Omega$ een gesloten solide driehoek. Dan $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (rand eenmaal doorlopen, willekeurige oriëntatie).

Bewijs. Zet $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . Het verbinden van de middens van de zijden splitst $T$ in vier halfgrote driehoeken $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ , en de binnenranden heffen elkaar paarsgewijs op: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . Kies $T_1$ daaronder met $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ , en herhaal: een geneste rij $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ met

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

De doorsnede $\bigcap T_n$ is een enkel punt $z_0$ (geneste compacta met verdwijnende diameters, Stelling 6.13(3)). Differentieerbaarheid in $z_0$ : gegeven $\varepsilon$ , voor grote $n$ , op $T_n$ ,

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

Het affiene deel heeft een primitieve: zijn integraal over de gesloten $\partial T_n$ verdwijnt (Propositie 16.5), en er blijft

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

Vergelijken met $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{const}$ voor elke $\varepsilon$ : $I(T) = 0$ . ∎

Stelling 16.8 (Stelling van Cauchy, stervormige versie)

Zij $\Omega$ stervormig om $c$ (elk segment $[c, z]$ , $z \in \Omega$ , ligt in $\Omega$ ) — b.v. convex. Elke $f \in \mathcal H(\Omega)$ heeft een primitieve op $\Omega$ ; bijgevolg $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ voor elk gesloten pad $\gamma$ in $\Omega$ .

Bewijs. Definieer $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . Voor $z, z + h \in \Omega$ met $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (waar voor kleine $h$ ), ligt de driehoek met hoekpunten $c, z, z+h$ in $\Omega$ (stervormigheid: elk van haar punten ligt op een segment $[c, w]$ met $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ): Goursat geeft

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

en de differentiequotiëntberekening van Propositie 16.5 levert $F' = f$ . Het verdwijnen van integralen over gesloten paden volgt uit dezelfde propositie. ∎

Stelling 16.9 (Integrale formule van Cauchy)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ , en $C_r$ de cirkel $\partial D(a,r)$ eenmaal tegen de klok in doorlopen. Dan voor elke $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

Bewijs. Fixeer $z$ en definieer op $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ is continu op $\Omega$ en holomorf buiten $z$ . Goursat geldt voor $g$ op elke driehoek $T \subseteq \Omega'$ , waar $\Omega'$ een schijf iets groter dan $\bar D(a,r)$ binnen $\Omega$ is: als $z \notin T$ , direct; als $z \in T$ , splits $T$ in kleine driehoeken met $z$ als hoekpunt plus driehoeken die $z$ vermijden; op een driehoek met hoekpunt $z$ geeft de ML-grens $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ als de driehoek krimpt, en de overige stukken verdwijnen door Goursat — dus $\int_{\partial T}g = 0$ in alle gevallen. Het bewijs van Stelling 16.8 gebruikte slechts deze driehoekseigenschap: $g$ heeft een primitieve op het convexe $\Omega'$ , dus $\int_{C_r}g = 0$ , d.w.z.

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 Analyticiteit en haar cascade

Stelling 16.10 (Holomorf $=$ analytisch)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ en $D(a, R) \subseteq \Omega$ . Dan

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{op } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

waarbij de coëfficiënten onafhankelijk van $r$ zijn. Bijgevolg is $f$ oneindig $\C$ -differentieerbaar, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , en gelden de Cauchy-schattingen:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

Bewijs. Voor $\abs{z - a} < r$ : ontwikkel de Cauchy-kern in de meetkundige reeks

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

normaal convergent in $w$ op $C_r$ ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): integreer term voor term tegen $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (uniforme convergentie rechtvaardigt de verwisseling) en pas Stelling 16.9 toe. Een machtreeks is oneindig differentieerbaar met $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (Jaar 2), wat ook toont dat de $c_n$ niet van $r$ afhangen. De schattingen: begrens de coëfficiëntintegraal met ML. ∎

Voorbeeld 16.11 (Singulariteiten dicteren stralen)

Waarom heeft de onschuldige reële functie $\frac1{1 + x^2}$ een Taylorreeks in $x = 3$ die slechts convergeert voor $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ , terwijl op de reële lijn niets misgaat? Omdat de stelling hierboven de convergentiestraal in $a$ gelijk maakt aan de afstand van $a$ tot het dichtstbijzijnde punt waar holomorfie faalt. Hier is $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ precies holomorf op $\C\setminus\{\pm\iu\}$ , dus de ontwikkeling in $a = 3$ convergeert op de grootste schijf die $\pm\iu$ vermijdt, met straal $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — en kan op geen grotere convergeren, want de som zou $f$ holomorf voortzetten naar een omgeving van $\pm\iu$ , waar $\abs f \to \infty$ . De reële theorie ziet de mysterieuze straal $\sqrt{10}$ ; het complexe vlak ziet twee polen. Dit is de praktische regel: om een convergentiestraal te vinden, lokaliseer de singulariteiten — b.v. de Taylorreeks van $\tan$ in $0$ heeft straal $\frac\pi2$ (dichtstbijzijnde nullen van $\cos$ ), en de Bernoulli-genererende functie $\frac z{\eu^z - 1}$ (Probleem 16.1, Deel VI) heeft straal $2\pi$ (dichtstbijzijnde niet-nulle nullen van $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

Gevolg 16.12 (Liouville; d’Alembert–Gauss)

Een begrensde gehele functie is constant. Bijgevolg heeft elk niet-constant polynoom over $\C$ een wortel: $\C$ is algebraïsch gesloten.

Bewijs. Als $\abs f \leq M$ op $\C$ : voor elke $a$ en $r$ , $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : $f' \equiv 0$ , en $f$ is constant (op het samenhangende $\C$ : nulafgelide impliceert lokaal constant — integreer langs segmenten). Als $P$ geen wortel had, zou $1/P$ geheel en begrensd zijn ( $\abs{P(z)} \to \infty$ als $\abs z \to \infty$ : de hoofdterm domineert, dus $\abs{1/P}$ is klein buiten een grote schijf en continu op de compacte schijf): constant — absurd voor niet-constant $P$ . (Het weekendprobleem geeft een tweede, elementair bewijs en de algebraïsche gevolgen.) ∎

Stelling 16.13 (Nullen zijn geïsoleerd; identiteitsstelling)

Zij $\Omega$ samenhangend en $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $f \not\equiv 0$ . Dan heeft elke nul $a$ van $f$ eindige orde: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ met $g \in \mathcal H(\Omega)$ , $g(a) \neq 0$ , en de nullen van $f$ hebben geen ophopingspunt in $\Omega$ . Bijgevolg, als twee holomorfe functies op $\Omega$ overeenstemmen op een verzameling met een ophopingspunt in $\Omega$ , stemmen zij overal overeen.

Bewijs. Zij $Z$ de verzameling punten waar alle afgeleiden van $f$ verdwijnen. $Z$ is gesloten (doorsnede van gesloten verzamelingen) en open: als alle $c_n = 0$ in $a$ , maakt de machtreeksontwikkeling $f \equiv 0$ op een schijf om $a$ . Samenhang: $Z = \varnothing$ of $Z = \Omega$ ; het laatste is uitgesloten door $f \not\equiv 0$ . Dus in een nul $a$ is enige coëfficiënt niet-nul: laat $m$ minimaal met $c_m \neq 0$ ; dan $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ op een schijf, en de som definieert $g$ holomorf bij $a$ met $g(a) = c_m \neq 0$ ; zet $g = f/(z-a)^m$ voort buiten $a$ (daar holomorf). Omdat $g(a) \neq 0$ en $g$ continu is, heeft $f$ geen andere nul in een omgeving van $a$ : nullen zijn geïsoleerd, en een verzameling geïsoleerde punten heeft geen ophopingspunt in $\Omega$ (een ophopingspunt van nullen is een nul — continuïteit — en zou niet geïsoleerd zijn). Identiteit: pas toe op het verschil, waarvan de nulverzameling een ophopingspunt heeft, wat haar in de tak $Z = \Omega$ dwingt. ∎

Stelling 16.14 (Middelwaarde en maximummodulus)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(Middelwaarde) Voor $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(Maximumprincipe) Als $\Omega$ samenhangend is en $\abs f$ een lokaal maximum bereikt in enig punt van $\Omega$ , dan is $f$ constant. Bijgevolg, voor begrensd $\Omega$ en $f$ continu op $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

Bewijs. (1) is de formule van Cauchy in het centrum: parametriseer $C_r$ . (2) Zeg $\abs f \leq \abs{f(a)}$ op $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . Als $f(a) = 0$ , is $f \equiv 0$ bij $a$ . Anders, voor $0 < r \leq \rho$ , geeft de middelwaarde

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

de continue niet-negatieve integrand $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ heeft middelwaarde nul, verdwijnt dus: $\abs f$ is constant $= \abs{f(a)} \ne 0$ op de schijf. Een holomorfe functie van constante niet-nul modulus op een schijf is constant: differentiëren van $P^2 + Q^2 = \text{const}$ geeft $PP_x + QQ_x = 0$ en $PP_y + QQ_y = 0$ ; substitueren van de Cauchy–Riemannrelaties $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ in de tweede vergelijking levert het lineaire stelsel

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

met determinant $P^2 + Q^2 \neq 0$ : $P_x = Q_x = 0$ , dus $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ op de schijf: $f$ constant daar. De identiteitsstelling verspreidt constantheid over heel $\Omega$ . De randvorm: $\abs f$ bereikt haar sup op het compacte $\bar\Omega$ ; een inwendig maximum maakt $f$ constant, en het sup wordt in elk geval op de rand bereikt. ∎

Stelling 16.15 (Convergentstelling van Weierstrass)

Als $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ naar $f$ convergeren, uniform op elke compacte deelverzameling van $\Omega$ , dan $f \in \mathcal H(\Omega)$ en $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniform op compacta, voor elke $k$ .

Bewijs. $f$ is continu. Voor elke gesloten driehoek $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (uniforme convergentie op het compacte $\partial T$ ; Goursat voor $f_n$ ). Door het argument van Stelling 16.8 heeft $f$ lokale primitieven (schijven zijn convex; slechts de driehoekseigenschap werd gebruikt), d.w.z. $f = F'$ lokaal met $F$ holomorf; $F$ is analytisch (Stelling 16.10), dus ook $f = F'$ : holomorf. (Dit is de stelling van Morera: continu met verdwijnende driehoeksintegralen impliceert holomorf.) Afgeleiden: voor $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ en $z \in \bar D(a, r)$ , geeft de formule van Cauchy voor afgeleiden (differentiëren van Stelling 16.9 onder de integraal, of de coëfficiëntformule)

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

uniform op $\bar D(a,r)$ ; bedek een compactum door eindig veel zulke schijven, en itereer voor hogere $k$ . ∎

$De formule van Cauchy: de waarden van een holomorfe functie binnen een schijf zijn een gewogen middelwaarde van haar waarden op de begrensende cirkel. Alles wat star is aan holomorfie — analyticiteit, Liouville, het maximumprincipe — ontvouwt zich uit deze ene identiteit.$

De formule van Cauchy: de waarden van een holomorfe functie binnen een schijf zijn een gewogen middelwaarde van haar waarden op de begrensende cirkel. Alles wat star is aan holomorfie — analyticiteit, Liouville, het maximumprincipe — ontvouwt zich uit deze ene identiteit.

Methode 16.16

De dagelijkse gereedschapskist. Om een functie holomorf te bewijzen: vertoon haar als machtreeks, samenstelling, lokaal uniforme limiet (Stelling 16.15), of integraal met holomorfe parameter (Oefening 16.7 — differentieer onder $\int$ of pas Morera–Fubini toe). Om identiteiten te bewijzen: bewijs ze op een segment of deelgebied en roep de identiteitsstelling aan. Om te begrenzen: Cauchy-schattingen op de grootste beschikbare cirkel. Om constantheid/niet-bestaan te bewijzen: Liouville of het maximumprincipe. Ken altijd waar je functie holomorf is en welke schijven in $\Omega$ passen.

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

(a) In welke punten zijn $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ , $\operatorname{Re}z$ complex-differentieerbaar? Holomorf op een open verzameling? (b) Toon dat $P(x, y) = x^2 - y^2$ het reële deel is van een holomorfe functie op $\C$ , expliciet gevonden, en bepaal alle daarvan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , dus $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : nergens $\C$ -differentieerbaar. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : Cauchy–Riemann eist $2x = 0 = 2y$ : differentieerbaar in $0$ alleen — en nergens holomorf (geen open verzameling). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : nergens.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ werkt. Alle oplossingen: als $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ met $f, g$ holomorf op het samenhangende $\C$ , dan heeft $h = f - g$ $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann geeft $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ is een imaginaire constante. Antwoord: $f(z) = z^2 + \iu c$ , $c \in \R$ .

Oefening 16.2 ★

Bereken uit de definities: $\int_{C}z^n\,\dd z$ voor alle $n \in \Z$ , $C$ de eenheidscirkel; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ langs het segment $[0, 1+\iu]$ en langs het tweesegmentenpad via $1$ : concludeer dat $\bar z$ geen primitieve heeft op enige omgeving van deze paden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

Op de eenheidscirkel $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

Voor $\bar z$ : langs $[0, 1+\iu]$ , $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . Langs $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . Verschillende waarden tussen dezelfde eindpunten: door Propositie 16.5 heeft $\bar z$ geen primitieve op enige open verzameling die beide paden bevat.

Oefening 16.3 ★★

(a) Toon dat de principale logaritme $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) holomorf is op $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ met afgeleide $\frac1z$ (primitieve van $\frac1z$ op het stervormige snijvlak: Stelling 16.8; fixeer de constante). (b) Toon dat er geen continue logaritme bestaat op $\C^*$ (haar afgeleide-vrije obstructie: de index van de eenheidscirkel). (c) Ontwikkel $\log(1 + z)$ in machtreeks op $D(0,1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

(a) Het snijvlak $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ is stervormig om $1$ , en $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : Stelling 16.8 levert een primitieve $L$ met $L(1) = 0$ . Dan $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $z = c\,\eu^{L(z)}$ met $c = 1$ (in $z = 1$ ). Schrijvend $L = u + \iu v$ : $\abs z = \eu^u$ en $z = \abs z\eu^{\iu v}$ met $v$ continu, $v(1) = 0$ , $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ is een continu argument van $z$ op het samenhangende $\Omega$ , dus haar beeld vermijdt de oneven veelvouden van $\pi$ — geen punt van $\Omega$ ligt op $\R_-$ — en, bevattende $v(1) = 0$ , blijft in $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ is het principale argument): $L = \log$ .

(b) Als $g$ een continue logaritme op $\C^*$ was: $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ voldoet aan $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ , dus $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ , en door continuïteit $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ voor een vast geheel $k$ . Dan $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ en $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : tegenspraak.

(c) Op $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — beide kanten verdwijnen in $0$ en hebben afgeleide $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (Voorbeeld 16.3); een primitieve is uniek op de samenhangende schijf op een constante na.

Oefening 16.4 ★★

(a) Zij $f$ geheel met $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . Toon dat $f$ een polynoom is van graad $\leq n$ (Cauchy-schattingen op grote cirkels). (b) Zij $f$ geheel met $\operatorname{Re}f$ van boven begrensd. Toon dat $f$ constant is (beschouw $\eu^{f}$ ). (c) Leid “kleine Picard voor affiene afbeeldingen” af: een gehele functie die een halfvlak weglaat is constant.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

(a) Ontwikkel in $0$ (straal $\infty$ ): door de Cauchy-schattingen op $C_r$ , $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ als $r \to \infty$ voor $k > n$ : $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) Als $\operatorname{Re}f \leq M$ : $g = \eu^f$ is geheel met $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constant door Liouville. Dan $g' = f'g = 0$ met $g$ nultvrij: $f' = 0$ , en $f$ is constant.

(c) Als $f$ het halfvlak $H$ weglaat, stuurt een affiene afbeelding $w \mapsto \alpha w + \beta$ $\C\setminus H$ naar $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; pas (b) toe op $\alpha f + \beta$ .

Oefening 16.5 ★★

(a) Zij $f$ holomorf op een samenhangend $\Omega \ni 0$ met $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ voor alle grote $n$ . Bepaal $f$ . (b) Bestaat er een holomorfe $f$ op $\C^*$ met $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ voor alle $n \geq 1$ ? Motiveer. (c) Vertoon twee verschillende holomorfe functies op $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ die overeenstemmen op $D(0,1)$ : waar gebruikt de identiteitsstelling samenhang?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

(a) $g(z) = f(z) - z^2$ verdwijnt in de punten $\frac1n$ , die ophopen in $0 \in \Omega$ : door de identiteitsstelling ( $\Omega$ samenhangend), $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$ .

(b) Ja: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ is holomorf op $\C^*$ (samenstelling) en $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . Geen tegenspraak met (a): het ophopingspunt $0$ van de interpolatieknopen behoort niet tot $\C^*$ , dus de identiteitsstelling zwijgt — twee verschillende functies ( $z\cos(\pi/z)$ en, zeg, die van een andere interpolatie) mogen deze waarden delen.

(c) $f \equiv 0$ overal, versus $g = 0$ op $D(0,1)$ en $g = 1$ op $D(3,1)$ : holomorf op de onsamenhangende unie, gelijk op $D(0,1)$ , verschillend. Het open-gesloten argument van de identiteitsstelling heeft samenhang nodig om van de ene component naar de andere te propageren — en kan dat niet.

Oefening 16.6 ★★

Zij $f$ holomorf op de open eenheidsschijf $\mathbb D$ , continu op $\bar{\mathbb D}$ , met $\abs f \equiv 1$ op de randcirkel. (a) Als $f$ geen nul in $\mathbb D$ heeft, toon dat $f$ constant is (pas het maximumprincipe toe op $f$ en op $1/f$ ). (b) Geef een voorbeeld met een nul waar $f$ niet constant is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

(a) Door het maximumprincipe op het begrensde gebied: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . Omdat $f$ geen nullen heeft, is $1/f$ holomorf op $\mathbb D$ , continu op de afsluiting, met randmodulus $1$ : eveneens $\abs{1/f} \leq 1$ , d.w.z. $\abs f \geq 1$ . Dus $\abs f \equiv 1$ : de modulus bereikt een inwendig maximum, en Stelling 16.14(2) forceert $f$ constant.

(b) $f(z) = z$ : randmodulus $1$ , nul in de oorsprong, niet-constant — de nul is precies wat het $1/f$ -argument blokkeert.

Oefening 16.7 ★★

(Holomorfie onder de integraal) Zij $\mu$ een eindige maat op een ruimte $X$ en $g \colon X\times\Omega \to \C$ met: $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ voor elke $x$ , $g$ meetbaar in $x$ , en $\abs g \leq h(x)$ met $h$ integreerbaar, lokaal uniform in $z$ . Toon dat $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ holomorf is op $\Omega$ . (Morera: driehoeksintegralen verdwijnen door Fubini en Goursat; continuïteit door gedomineerde convergentie. Pas daarna toe op $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ op $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

Continuïteit van $G$ : gedomineerde convergentie met dominator $h$ (lokaal uniforme grens). Holomorfie door Morera (vastgesteld in Stelling 16.15): voor een gesloten driehoek $T$ in een schijf waar $\abs g \leq h$ ,

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

de verwisseling door Fubini ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) en het inwendig verdwijnen door Goursat. Voor $\Gamma$ : op de strook $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , integreerbaar op $\intoo0{+\infty}$ : $\Gamma$ is holomorf op $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (de maat is slechts $\sigma$ -eindig, maar het argument heeft slechts de integreerbare dominator nodig). Door de identiteitsstelling geldt de functionaalvergelijking $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , bewezen op $\intoo0{+\infty}$ (Voorbeeld 10.16), op het hele halfvlak.

Oefening 16.8 ★★★

(Gauss–Lucas) Zij $P \in \C[X]$ niet-constant. Toon dat elke wortel van $P'$ in de convexe omhullende van de wortels van $P$ ligt. (Schrijf $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ in een wortel $z$ van $P'$ die geen wortel van $P$ is, neem conjugaten, en lees een convexe combinatie.) Illustreer op $P = z^3 - 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

Schrijf $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (Probleem 16.1). Zij $P'(z) = 0$ . Als $P(z) = 0$ , dan is $z$ een van de $a_k$ : in de omhullende. Anders geeft de logaritmische afgeleide

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

conjugeren, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ met $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , een convexe combinatie van de wortels. Voor $P = z^3 - 1$ : wortels de derdemachtswortels van de eenheid, $P' = 3z^2$ met dubbele wortel $0$ — het zwaartepunt van de gelijkzijdige driehoek.

Oefening 16.9 ★★★

Zij $f$ geheel en dubbel periodiek: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ voor alle $z$ . Toon dat $f$ constant is. (Begrens $f$ op het compacte fundamentele vierkant, dan overal; Liouville.) Moraal: niet-constante elliptische functies moeten polen hebben — het thema van Hoofdstuk 17.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

Het gesloten eenheidsvierkant $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ is compact: $M = \sup_K\abs f < \infty$ . Elke $z \in \C$ verschilt van een punt van $K$ door een element van $\Z + \iu\Z$ (trek gehele delen af), en $f$ is invariant onder die translaties (itereer de twee relaties): $\abs f \leq M$ op $\C$ . Liouville: $f$ is constant. Dus elke niet-constante dubbel periodieke meromorfe functie — de elliptische functies van de klassieke theorie — moet polen hebben.

Oefening 16.10 ★★

(a) Toon dat $P = \operatorname{Re}f$ van een holomorfe $f$ de middelwaarde-eigenschap $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ vervult en harmonisch is: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (differentiëer Cauchy–Riemann; gebruik Stelling 16.10 voor de nodige gladheid). (b) Leid het maximumprincipe af voor reële delen van holomorfe functies op begrensde gebieden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

(a) Neem reële delen in de middelwaardeformule (Stelling 16.14(1)). Gladheid: $f$ is analytisch, dus $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; differentiëren van Cauchy–Riemann: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (Schwarz-symmetrie van tweede afgeleiden): $\Delta P = 0$ .

(b) Als $\operatorname{Re}f$ een inwendig maximum bereikte op een samenhangend $\Omega$ : $g = \eu^f$ heeft $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ die een inwendig maximum bereikt, dus $g$ , en daarmee $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , is constant (Stelling 16.14(2)). Op een begrensd gebied met continuïteit tot de rand, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

Oefening 16.11 ★★★

(Schwarz-reflectie) Zij $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ , en $f$ holomorf op $\Omega^+$ , continu op $\Omega^+\cup I$ , reëelwaardig op $I$ . Definieer

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) Toon dat $F$ goed gedefinieerd en continu is op $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ , en holomorf op $\Omega^\pm$ (voor $\Omega^-$ : controleer Cauchy–Riemann voor $\overline{f(\bar z)}$ , of ontwikkel $f$ in lokale machtreeksen en conjugateer coëfficiënten). (b) Toon dat $F$ holomorf is op heel $\Omega$ via het criterium van Morera: $\int_{\partial T}F = 0$ voor elke driehoek $T \subseteq \Omega$ (splits driehoeken bij $I$ en duw hun horizontale zijden met $\varepsilon$ van de as af, met uniforme continuïteit). (c) Leid af: een holomorfe functie op de schijf, reëel op een diameter, voldoet aan $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; en een niet-constante holomorfe functie kan niet reëelwaardig zijn op enige niet-lege open deelverzameling van haar (samenhangende) gebied.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

(a) De twee formules komen overeen op $I$ ( $z = \bar z$ en $f$ reëel daar: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), en $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ is continu op $\Omega^-\cup I$ als samenstelling van continue afbeeldingen: $F$ is continu op $\Omega$ . Holomorfie op $\Omega^-$ : bij $z_0 \in \Omega^-$ , ontwikkel $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ bij $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; dan

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

een convergente machtreeks: holomorf.

(b) Driehoeken die $I$ vermijden worden door Goursat in $\Omega^\pm$ afgehandeld. Voor een driehoek die $I$ raakt, snijd haar door de reële as in hoogstens drie driehoeken/vierhoeken, elk met één zijde op $I$ ; voor zo’n stuk $P$ bevat in, zeg, $\overline{\Omega^+}$ , is de contourintegraal de limiet als $\varepsilon \to 0^+$ van de integraal over $P + \iu\varepsilon$ -type translaten (uniforme continuïteit van $F$ op het compacte stuk maakt de randintegralen convergeren, de zijde op $I$ van boven benaderd), en elke translataat ligt in $\Omega^+$ waar Goursat $0$ geeft. Optellen van de stukken: $\int_{\partial T}F = 0$ . Morera (het criterium in Stelling 16.15): $F$ is holomorf op $\Omega$ .

(c) Op de schijf is $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ holomorf door de berekening van (a) en stemt overeen met $f$ op de diameter, een verzameling met ophopingspunten: $G = f$ overal (identiteitsstelling). Als $f$ reëel was op een niet-lege open verzameling $U$ : op $U$ verdwijnen beide partiële afgeleiden van $Q = \operatorname{Im}f$ , en Cauchy–Riemann draagt dit over op $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), dus $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ op $U$ : $f$ is constant op $U$ , dus overal door de identiteitsstelling ( $\Omega$ samenhangend).

Oefening 16.12 ★★

(De complexe Pythagoreïsche vergelijking) Vind alle paren gehele functies met $f^2 + g^2 = 1$ . (a) Toon dat $h = f + \iu g$ geheel en nultvrij is, en dat elke nultvrije gehele functie $\eu^{\varphi}$ is voor enige gehele $\varphi$ ( $h'/h$ is geheel, heeft dus een primitieve op het stervormige $\C$ ; pas de constante aan en toon dat $h\eu^{-\varphi}$ constant is). (b) Concludeer $f = \cos\varphi$ , $g = \sin\varphi$ met $\varphi$ geheel, en controleer het omgekeerde. Wat zijn de gehele oplossingen van $f^2 + g^2 = 0$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , dus $h = f + \iu g$ verdwijnt nooit (haar cofactor zou moeten exploderen). Voor nultvrije gehele $h$ : $h'/h$ is geheel, en $\C$ is stervormig, dus zij heeft een primitieve $\varphi_0$ (Stelling 16.8); dan $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ met $c \neq 0$ , en absorberen van een constante $\log c$ in $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (enig complex logaritme van $c$ ): $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) Met $h = \eu^{\varphi}$ en $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

Schrijvend $\varphi = \iu\psi$ met $\psi = -\iu\varphi$ geheel, lezen deze als $f = \cos\psi$ , $g = \sin\psi$ : de gehele oplossingen zijn precies de paren $(\cos\psi, \sin\psi)$ met $\psi$ geheel, en het omgekeerde is de identiteit $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Voor $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ in het integriteitsdomein $\mathcal H(\C)$ ( $\C$ samenhangend: nuldelers zouden de identiteitsstelling schenden): $g = \pm\iu f$ met $f$ willekeurige gehele.

16.6 Probleem: de hoofdstelling van de algebra, tweemaal

Probleem 16.1

Weekendprobleem — $\C$ is algebraïsch gesloten: het bewijs van d’Alembert, het bewijs van Liouville, en de oogst

Zij $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ , $n \geq 1$ . We bewijzen tweemaal dat $P$ een wortel heeft, en verzamelen dan wat de algebra sinds Hoofdstuk 4 heeft staan wachten.

Deel I — Coërciviteit en het minimum.

Toon dat $\abs{P(z)} \to +\infty$ als $\abs z \to \infty$ : precies, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ voor $\abs z \geq R_0$ geschikt.
Leid af dat $\abs P$ een globaal minimum op $\C$ bereikt: er is $z_0$ met $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (compactheid van een grote gesloten schijf, Gevolg 6.17).

Deel II — De afdaling van d’Alembert. Stel, voor contradictie, $P(z_0) \neq 0$ .

Ontwikkel $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ als polynoom in $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ met $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ , $S$ een polynoom.
Kies de afdalingsrichting: voor kleine $t > 0$ , zet $h = t\,\omega$ waar $\omega^k = -1/c_k$ (waarom bestaat zo’n $\omega$ ? — bewijs het bestaan van $k$ -de wortels van elk complex getal via de poolvorm, onafhankelijk van de te bewijzen stelling). Toon

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

voor kleine $t$ , met een expliciete constante $C$ .
Concludeer $\abs{Q(t\omega)} < 1$ voor kleine $t$ — in tegenspraak met de minimaliteit van $\abs{P(z_0)}$ . Dus $P(z_0) = 0$ : elk niet-constant complex polynoom heeft een wortel (d’Alembert–Argand).

Deel III — De one-liner van Liouville, volledig.

Schrijf zorgvuldig het bewijs van Gevolg 16.12 uit: als $P$ geen wortel heeft, verifieer dat $1/P$ geheel is, begrensd (kwantificeer, met vraag 1), dus constant, en concludeer. Vergelijk de twee bewijzen: welke ingrediënten gebruikt elk? (Compactheid verschijnt in beide — waar?)

Deel IV — De oogst.

Toon dat elk $P \in \C[X]$ van graad $n$ splitst: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ met $\sum m_i = n$ (inductie, Euclidische deling door $(X - \alpha)$ ).
Toon dat de irreducibele polynomen van $\R[X]$ de lineaire zijn en de kwadratische met negatieve discriminant (paar geconjugeerde wortels); leid af dat elk reëel polynoom van oneven graad een reële wortel heeft, en geef een tweede, orden-theoretisch bewijs van dat laatste feit (tussenwaardestelling) — controleer dat zij overeenstemmen op $X^3 - X - 1$ .
Leid de schulden af die dit boek nu kan afbetalen: (i) elk endomorfisme van een niet-nul eindigdimensionale $\C$ -vectorruimte heeft een eigenwaarde, dus elke complexe matrix heeft een Jordan-vorm (Stelling 3.18); (ii) het lichaam $\bar\Q$ van algebraïsche getallen gebruikt in Opmerking 4.10 is inderdaad een algebraïsche afsluiting van $\Q$ .
(Finale) Wijs aan waar elk bewijs zou breken over een lichaam als $\Q(\iu)$ : welke stappen gebruiken het bestaan van $k$ -de wortels (vraag 4), en welke compactheid of volledigheid (vragen 2 en 6)? Concludeer in vijf regels: de stelling is echt analytisch — elk bewijs roept ergens de volledigheid of samenhang van $\R$ aan — ook al is haar uitspraak puur algebraïsch.

Deel V — De starheidsladder van gehele functies. Liouville is de eerste sport van een ladder; we beklimmen haar.

(Cauchy-schattingen) Uit de Cauchy-formule op de cirkel van straal $r$ om $a$ , bewijs

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

en herwin Liouville als het geval $n = 1$ , $r \to \infty$ .
(Polynomiale groei) Toon dat een gehele $f$ met $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ voor alle $z$ een polynoom is van graad $\leq m$ (dood de Taylorcoëfficiënten voorbij $m$ met vraag 11).
(Begrensd reëel deel) Toon dat een gehele $f$ met $\operatorname{Re}f$ van boven begrensd constant is (pas Liouville toe op $\eu^{f}$ ).
(Dubbele periodiciteit) Zij $f$ geheel met $f(z + 1) = f(z)$ en $f(z + \iu) = f(z)$ voor alle $z$ . Toon dat $f$ constant is. Concludeer: een niet-constante “elliptische” functie moet singulariteiten hebben — de historische reden waarom polen de complexe analyse binnentreden.
(Dichte beeldruimte) Toon dat het beeld van een niet-constante gehele functie dicht is in $\C$ : als $f(\C)$ een schijf $D(a, r)$ mist, dan is $\frac1{f - a}$ geheel en begrensd. (Picard bewees dat het beeld hoogstens één punt mist; dichtheid is het niveau dat onze gereedschappen bereiken.)
(Proper $\Rightarrow$ polynoom) Stel $f$ is geheel en $\abs{f(z)} \to \infty$ als $\abs z \to \infty$ . Toon: de nullen van $f$ zijn eindig in aantal ( $z_1, \dots, z_p$ , met multipliciteiten $m_i$ ); het quotiënt $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ is geheel en nultvrij; $1/g$ heeft polynomiale groei, is dus (vraag 12) een polynoom, noodzakelijk constant (nultvrij); concludeer dat $f$ een polynoom is. Dus onder gehele functies zijn polynomen precies de properen — $\eu^z$ faalt properheid langs $\R_-$ .

Deel VI — Harmonische schaduwen en een middelwaarde van Gauss.

Zij $f = u + \iu v$ holomorf op een open verzameling. Verifieer dat $u = \operatorname{Re}f$ de middelwaarde-eigenschap

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

vervult (reële deel van de Cauchy-formule), en leid het maximumprincipe voor $u$ af op een begrensd gebied, met hetzelfde samenhangsbewijs als voor $\abs f$ .
(Middelwaarde van Gauss) Voor $a \in \C$ en $r > 0$ met $\abs a \neq r$ , bewijs

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(als $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ is het reële deel van een holomorfe logaritme op een omgeving van de gesloten schijf — waarom bestaat er één? — dus vraag 17 past toe; als $\abs a < r$ : factoriseer $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ en hergebruik het eerste geval).
(Mahler-maat) Voor $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ , leid de formule van Jensen voor polynomen af:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

het meetkundig gemiddelde van $\abs P$ op de eenheidscirkel leest de wortels buiten de schijf af. Verifieer op $P = X^2 - X$ en op $P = 2X - 1$ .
(Bernoulligetallen) Definieer de coëfficiënten $B_n$ door $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ bij $0$ (waarom is de linkerkant analytisch in $0$ ?). Leid de recurrentie $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) af uit $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , bereken $B_0, \dots, B_6$ , en toon $B_{2k+1} = 0$ voor $k \geq 1$ (de functie $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ is even). Deze getallen prijzen elke $\zeta(2k)$ in Hoofdstuk 17.
(Realiteit) Toon dat een gehele functie die reële waarden op $\R$ aanneemt overal $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ vervult (vergelijk Taylorcoëfficiënten in $0$ , of pas de identiteitsstelling toe op $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ ); leid opnieuw af dat niet-reële wortels van reële polynomen in geconjugeerde paren komen (de paarvorming van vraag 8, analytisch herbewijs).
(De moraal) Monteer de starheidsladder: begrensd $\Rightarrow$ constant; polynomiaal begrensd $\Rightarrow$ polynoom; proper $\Rightarrow$ polynoom; een schijf missen $\Rightarrow$ constant; dubbel periodiek $\Rightarrow$ constant. Contrasteer in een korte alinea met reële $\mathcal C^\infty$ -functies (bumpfuncties, Stelling 12.9): waarom legt holomorfie, een puur lokale voorwaarde, globale wet en orde op?

Deel VII — Laatste oogst.

(Ongelijkheid van Landau) Voor $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ , bewijs de middelwaarde $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (orthogonaliteit van de $\eu^{\iu k\theta}$ ), en, met de puntsgewijze grens $\log t \leq t - 1$ om de middelwaarden van $\log\abs P^2$ en $\abs P^2$ te vergelijken, leid uit vraag 19 af dat

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

het product van de wortels buiten de eenheidsschijf wordt gecontroleerd door de $\ell^2$ -grootte van de coëfficiënten (behandel wortels op de cirkel door de ongelijkheid op $P(rX)$ toe te passen en $r \to 1$ te laten). Controleer op $X^2 - X$ .
(Bernoulligetallen groeien factorieel) Toon dat de convergentiestraal van $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ exact $2\pi$ is: minstens $2\pi$ omdat $z/(\eu^z - 1)$ holomorf voortzet naar $D(0, 2\pi)$ , hoogstens $2\pi$ omdat de som anders begrensd zou blijven bij $2\pi\iu$ , waar $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . Leid af

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

Bernoulligetallen groeien factorieel. Toegevend $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (de recurrentie van vraag 20, verder uitgevoerd), vergelijk $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ met de scherpere voorspelling $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ bij $k = 6$ — vier overeenstemmende cijfers van een asymptotische wet die Hoofdstuk 17 exact zal bewijzen, via $\zeta(2k)$ .
(Wortels bewegen continu) Zij $(P_j)$ monisch van graad $n$ met coëfficiënten die convergeren naar die van (monisch) $P$ . Bewijs de Cauchy-grens: elke wortel van een monisch $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ voldoet aan $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ; leid af dat de wortels van de $P_j$ in een vast compactum blijven, en, door convergente deelrijen van wortelvectoren te extraheren en over te gaan tot de limiet in de factorisatie van vraag 7, dat de wortelmultisets van $P_j$ naar die van $P$ convergeren. Toon ten slotte dat continuïteit het beste is wat men kan zeggen: voor $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ verplaatst een perturbatie van grootte $\varepsilon = 10^{-4}$ de dubbele wortel $1$ met $10^{-2}$ — Hölder-exponent $\frac1m$ bij een $m$ -voudige wortel, nooit Lipschitz: numeriek kosten meervoudige wortels de helft van de cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. Voor $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

voor $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ , $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. Kies $R \geq R_0$ met $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . Op het compacte $\bar D(0, R)$ bereikt de continue $\abs P$ een minimum, in enig $z_0$ ; daarbuiten, $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : het minimum is globaal.

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ is een polynoom in $h$ met $Q(0) = 1$ ; het is niet-constant ( $P$ is dat), dus enige coëfficiënt voorbij de constante is niet-nul: $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ met $k \geq 1$ minimaal, $c_k \neq 0$ , $S \in \C[X]$ .

4. Wortels: elke $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ heeft de $k$ -de wortel $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ , waar $\rho^{1/k}$ bestaat door de tussenwaardestelling toegepast op $t \mapsto t^k$ op $\intco0\infty$ — geen circulariteit. Kies $\omega$ met $\omega^k = -1/c_k$ . Dan

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

met $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (merk op $1 - t^k \geq 0$ op $\intcc01$ ).

5. Voor $0 < t < \min(1, 1/C)$ : $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , d.w.z. $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — in tegenspraak met globale minimaliteit. Dus $P(z_0) = 0$ : het bewijs van d’Alembert–Argand is volledig.

6. Liouville-versie: als $P$ nooit verdwijnt, is $1/P$ geheel; door vraag 1, $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ buiten $\bar D(0, R_0)$ , en $1/P$ is continu op die compacte schijf, dus daar ook begrensd: begrensd geheel, dus constant (Gevolg 16.12), wat $P$ constant maakt: absurd. Ingrediënten: d’Alembert gebruikt compactheid (bestaan van het minimum) en het poolvorm-bestaan van $k$ -de wortels; Liouville gebruikt het gehele Cauchy-apparaat (Goursat — zelf een geneste-compacta-argument — en de Cauchy-schattingen) plus dezelfde coërciviteit. Compactheid van gesloten schijven is de gemeenschappelijke, irreducibele kern.

7. Als $\deg P \geq 1$ , kies een wortel $\alpha$ (vragen 5); deel: $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ , met $\deg Q = n - 1$ ; induceer. Groeperen van gelijke factoren: $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ , $\sum m_i = n$ .

8. Voor reëel $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , en multipliciteiten komen overeen (conjugateer de factorisatie): niet-reële wortels komen in paren, bijdragend $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ , een reële kwadratische met discriminant $< 0$ . Dus de gestelde lijst van irreducibelen, en een reëel polynoom van oneven graad, met een even aantal niet-reële wortels, moet een reële hebben. Direct bewijs: $P(x) \to \pm\infty$ als $x \to \pm\infty$ (oneven graad, positieve leidende coëfficiënt zeg), dus $P$ wisselt van teken, en de tussenwaardestelling past toe. Voor $X^3 - X - 1$ : beide argumenten geven de enige reële wortel $\approx 1.3247$ (en een geconjugeerd paar).

9. (i) $\chi_u \in \C[X]$ is niet-constant: het heeft een wortel $\lambda$ , en $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ geeft een eigenvector; de elementaire-deler-machine van Stelling 3.18 past dan toe op elke complexe matrix, $\chi$ altijd splitst. (ii) Zij $P \in \bar\Q[X]$ niet-constant. Als polynoom over $\C$ heeft het een wortel $z \in \C$ ; $z$ is algebraïsch over $\bar\Q$ , dus over $\Q$ door transitiviteit (Gevolg 4.5), dus $z \in \bar\Q$ : elk niet-constant polynoom over $\bar\Q$ heeft een wortel in $\bar\Q$ .

10. Over $\Q(\iu)$ faalt vraag 4 al: $k$ -de wortels hoeven niet te bestaan (geen $\sqrt2$ ), en zelfs met wortels faalt vraag 2 — een minimaliserende rij hoeft niet te convergeren, $\Q$ mist volledigheid; in Liouville’s route hebben Goursats geneste compacte driehoeken lege doorsnede over $\Q(\iu)$ -punten. Beide bewijzen verbruiken de volledigheid (equivalent, via begrensde monotone convergentie, de ordervolledigheid) van $\R$ ; samenhang drijft de tussenwaardestelling achter de poolvorm. De uitspraak “ $\C$ is algebraïsch gesloten” is algebra; elk bekend bewijs ervan is analyse binnengesmokkeld via de definitie van $\R$ .

11. Door Stelling 16.10 in $a$ , $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ met

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

de Cauchy-schattingen, in de weergegeven vorm na vermenigvuldigen met $n!$ . Als $\abs f \leq M$ op $\C$ : voor elke $a$ en elke $r$ , $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ als $r \to \infty$ , dus $f' \equiv 0$ en $f$ is constant op het samenhangende $\C$ — Liouville herwonnen.

12. Ontwikkel $f = \sum_kc_kz^k$ in $0$ (straal $\infty$ ). Voor $k > m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ als $r \to \infty$ , dus $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ is een polynoom van graad ten hoogste $m$ .

13. $g = \eu^f$ is geheel met $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constant door vraag 11. Dan $0 = g' = f'g$ met $g$ nultvrij: $f' = 0$ en $f$ is constant.

14. Zij $M = \sup_K\abs f$ op het compacte gesloten eenheidsvierkant $K$ . Elke $z$ verschilt van een punt van $K$ door een element van $\Z + \iu\Z$ (trek gehele delen af), en itereren van de twee periodiciteitsrelaties laat $f$ onveranderd: $\abs f \leq M$ op heel $\C$ , en vraag 11 maakt $f$ constant. Dus een niet-constante functie invariant onder het rooster kan niet geheel zijn: de elliptische functies van de klassieke theorie moeten polen dragen — de historische poort naar Hoofdstuk 17.

15. Als $f(\C)$ de schijf $D(a, r)$ mist, dan $\abs{f(z) - a} \geq r$ voor alle $z$ , dus $g = 1/(f - a)$ is geheel met $\abs g \leq 1/r$ : constant door Liouville, dus $f$ constant. Contrapositief: het beeld van een niet-constante gehele functie ontmoet elke schijf — het is dicht in $\C$ .

16. Kies $R$ met $\abs f \geq 1$ buiten $D(0, R)$ . De nullen van $f$ liggen in het compacte $\bar D(0, R)$ ; waren zij oneindig, zouden zij daar ophopen, en Stelling 16.13 zou $f \equiv 0$ forceren — onmogelijk. Noem ze $z_1, \dots, z_p$ , met multipliciteiten $m_1, \dots, m_p$ , zet $M = \sum m_i$ en $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . Factoren van elke nul uit de machtreeks, $g = f/\Pi$ is geheel en nultvrij. Voor $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ en $\abs f \geq 1$ , dus $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; op de resterende compacte schijf is $1/g$ continu, dus begrensd: $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ overal. Door vraag 12 is $1/g$ een polynoom; het is nultvrij, dus door vraag 7 is het een niet-nul constante $c$ : $f = \frac1c\Pi$ is een polynoom. Omgekeerd maakt vraag 1 elk niet-constant polynoom proper. En $\eu^z$ is eerlijk uitgesloten: langs $\R_-$ , $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ terwijl $\abs z \to \infty$ .

17. Parametriseer Stelling 16.9 in het centrum: met $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ , $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ ,

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

reële delen nemen geeft de middelwaarde-eigenschap van $u$ . Als $u$ een maximum bereikt in een inwendig punt van het samenhangende $\Omega$ : $\abs{\eu^f} = \eu^u$ bereikt een inwendig maximum, dus $\eu^f$ is constant door Stelling 16.14(2), en $u = \log\abs{\eu^f}$ is constant. Op een begrensd gebied met continuïteit tot de rand, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , precies als voor $\abs f$ .

18. Geval $\abs a > r$ . Kies $R$ met $r < R < \abs a$ : op de convexe schijf $D(0, R)$ is de functie $a - z$ holomorf en nultvrij, en $z \mapsto -1/(a - z)$ heeft een primitieve $L$ daar (Stelling 16.8); na aanpassen van de constante geeft $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ $\eu^L = a - z$ : een holomorfe logaritme bestaat, en $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . De middelwaarde-eigenschap van vraag 17 in $0$ , straal $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

Geval $\abs a < r$ . Uit $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ is de middelwaarde gelijk aan $\log r$ plus de middelwaarde van $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . De substitutie $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ , dan — schrijvend $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ , het geval $a = 0$ zijnde triviaal — de verschuiving $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (beide bewaren middelwaarden over een periode) maakt dit tot de middelwaarde van $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : het eerste geval met $(a, r) = (1, \rho)$ , wat $\log 1 = 0$ geeft. Totaal: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ in beide gevallen.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , elke wortel herhaald per haar multipliciteit; middelen in $\theta$ en toepassen van vraag 18 met $r = 1$ op elke wortel buiten de eenheidscirkel levert $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . Controles. Voor $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ voorspelt de formule $\log 2$ ; direct, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ en de middelwaarde van $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ is $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : middelwaarde $\log 2$ . Voor $P = X^2 - X = X(X - 1)$ zit de wortel $1$ op de cirkel; de formule voorspelt $0$ . Direct is de middelwaarde van $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ $0$ , en met $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

De substitutie $u = 2v$ en $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ geven $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (elke helft is $J/2$ door de symmetrieën van $\sin$ ), dus $J = -\pi\log 2$ (de oneigenlijke integralen convergeren, $\log\sin$ is integreerbaar bij de eindpunten): de middelwaarde is $\log2 - \log2 = 0$ . De formule overleeft wortels op de cirkel.

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ is geheel en gelijk aan $1$ in $0$ : haar reciproke is holomorf bij $0$ (op $\abs z < 2\pi$ zelfs, de dichtstbijzijnde andere nullen van $\eu^z - 1$ zijnde $\pm2\iu\pi$ ), dus $\frac z{\eu^z-1}$ is analytisch in $0$ . Vermenigvuldigen van de twee reeksen en aflezen van de coëfficiënt van $z^n$ , $n \geq 1$ , in $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ :

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

Successievelijk: $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ . Evenheid: met $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ ,

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ is even, dus $B_{2k+1} = 0$ voor $k \geq 1$ (de eenzame oneven coëfficiënt $B_1$ werd geabsorbeerd door $+\frac z2$ ). Voorwaartse wijzer: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ geeft $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ , dus de Laurentcoëfficiënten van de cotangens — daarmee, door Hoofdstuk 17, elke $\zeta(2k)$ — worden geprijsd door Bernoulligetallen:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. Schrijf $f = \sum_nc_nz^n$ (straal $\infty$ ); dan is $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ geheel. Op $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , dus $g$ en $f$ stemmen overeen op een verzameling met ophopingspunten in het samenhangende $\C$ : Stelling 16.13 geeft $g \equiv f$ , dat is $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (equivalent: alle $c_n$ zijn reëel). Voor een reëel polynoom $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , en dezelfde identiteit toegepast op de reële afgeleiden $P', P'', \dots$ bewaart multipliciteiten: niet-reële wortels paren — de paarvorming van vraag 8, analytisch herbewijs.

22. De ladder, gemonteerd: begrensd $\Rightarrow$ constant (11); gedomineerd door $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polynoom (12); reëel deel van boven begrensd $\Rightarrow$ constant (13); dubbel periodiek $\Rightarrow$ constant (14); beeld mist een schijf $\Rightarrow$ constant (15); proper $\Rightarrow$ polynoom (16). Elke sport is de Cauchy-formule: de waarde in een punt is een cirkelmiddelwaarde, dus alle Taylorcoëfficiënten worden geprijsd door de grootte van $f$ op grote cirkels, en een groeikap vernietigt coëfficiënten en masse. Niets van dien aard bindt reële $\mathcal C^\infty$ -functies: een bumpfunctie (Stelling 12.9) is begrensd, compact-ondersteund en wild niet-constant, en haar afgeleiden in elk punt buiten de steun verdwijnen allemaal zonder dat de functie ergens in de buurt verdwijnt. Gladheid koppelt de afgeleiden in verschillende punten helemaal niet; holomorfie koppelt elke afgeleide aan een enkele integraal over een verre cirkel. Een lokale voorwaarde met een globale informant — dat is waarom gehele functies wet en orde gehoorzamen.

23. Ontwikkelen van $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ en middelen doodt elke term $k \neq l$ : de middelwaarde is $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . Stel eerst dat $P$ geen nul op de eenheidscirkel heeft, zodat $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ continu is. De grens $\log t \leq t - 1$ toegepast op $t = \abs P^2/N$ geeft, na middelen,

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

dus het meetkundig gemiddelde van $\abs P$ is hoogstens $\sqrt N$ ; vraag 19 identificeert dat meetkundig gemiddelde als $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : de ongelijkheid van Landau. Wortels op de cirkel: kies $r > 1$ verschillend van elke $\abs{\alpha_i}$ ; het polynoom $P(rX)$ , met wortels $\alpha_i/r$ buiten de eenheidscirkel en coëfficiënten $a_kr^k$ , voldoet aan de ongelijkheid; beide kanten zijn continu in $r$ , en $r \to 1^+$ geven het algemene geval. Op $X^2 - X$ : wortels $0$ en $1$ , dus de linkerkant is $1$ , en de rechterkant is $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : waar, met ruimte.

24. Schrijf $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ met $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ geheel, $g(0) = 1$ . Omdat $\eu^z = 1$ precies op $2\pi\iu\Z$ , heeft $g$ geen nul in $D(0, 2\pi)$ (voor $0 < \abs z < 2\pi$ omdat $\eu^z - 1 \neq 0$ , in $0$ door $g(0) = 1$ ), dus $h = 1/g$ is holomorf op $D(0,2\pi)$ en haar Taylorreeks in $0$ — per definitie $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — convergeert op de hele schijf: $\rho \geq 2\pi$ . Als $\rho > 2\pi$ , zou de som $S$ holomorf zijn op $D(0,\rho)$ , en zij stemt overeen met $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ op $0 < \abs z < 2\pi$ ; beide zijn holomorf op de samenhangende open verzameling $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ , dus door de identiteitsstelling stemmen zij daar overeen. Maar als $z \to 2\pi\iu$ , $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (teller $\to 2\pi$ , noemer $\to 0$ ) terwijl $S$ continu is in $2\pi\iu$ : tegenspraak. Dus $\rho = 2\pi$ exact, en de formule van Hadamard geeft $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; de oneven coëfficiënten nul zijnde vanaf $n = 3$ , wordt de $\limsup$ gedragen door de even indices, wat de gestelde formule is met $n = 2k$ . Numeriek bij $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ en $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , dus $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ , tegen $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ . De verhouding, $1.00025$ , is exact $\zeta(12)$ tot de getoonde cijfers: de residuen-calculusformule $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ van Hoofdstuk 17 verklaart zowel de factor $2$ als het kleine overschot.

25. Cauchy-grens: als $\abs z > 1 + M$ met $M = \max_k\abs{q_k}$ , dan

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

dus $\abs{Q(z)} > 0$ : alle wortels liggen in $\overline D(0, 1+M)$ . De coëfficiënten van de $P_j$ convergeren, zijn dus begrensd door enige $M$ : alle wortels van alle $P_j$ (en van $P$ ) liggen in het compacte $K = \overline D(0, 1 + M)$ . Zij $v_j \in K^n$ een vector die de wortels van $P_j$ met multipliciteit opsomt (vraag 7). Elke deelrij van $(v_j)$ heeft een verdere deelrij die convergeert naar enige $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ; de coëfficiënten van $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ zijn, op teken na, de elementaire symmetrische functies van $v_j$ — continu — dus langs die deelrij convergeren zij naar de coëfficiënten van $\prod_i(X - \beta_i)$ ; maar zij convergeren naar die van $P$ per hypothese, dus $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : elke subsequentiële limiet van $(v_j)$ is een permutatie van de wortelvector van $P$ . Als de matchingafstand $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ niet naar $0$ neigde, zou een deelrij $\delta_j \geq \varepsilon$ houden terwijl haar wortelvectoren naar een permutatie van de wortels van $P$ convergeren — forcerend $\delta_j \to 0$ langs haar: tegenspraak. Dus de wortelmultisets convergeren. Scherpte: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ heeft wortels $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : de dubbele wortel beweegt met $\sqrt\varepsilon$ , b.v. met $10^{-2}$ voor $\varepsilon = 10^{-4}$ . In het algemeen, als $\alpha$ een $m$ -voudige wortel is, dan heeft men bij $\alpha$ $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , dus een perturbatie van grootte $\varepsilon$ verplaatst de cluster van wortels met ongeveer $\varepsilon^{1/m}$ : Hölder-continuïteit van exponent $\frac1m$ en niet beter — waarom een numerieke solver bij een dubbele wortel slechts de helft van de werkende cijfers behoudt.