Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

16Holomorfe functies

Complexe differentieerbaarheid lijkt een kleine variatie op de reële theorie — één limiet, één quotiënt. In werkelijkheid is het een ander heelal. Een functie die op een open deel van $\C$ één keer differentieerbaar is, is automatisch oneindig vaak differentieerbaar, analytisch, op een heel gebied bepaald door haar waarden nabij één enkel punt, en gebonden aan starre globale beginselen (Liouville, maximum van de modulus). Dat alles vloeit voort uit één wonder, de stelling van Cauchy: de integraal van een holomorfe functie langs een gesloten weg in een stervormig gebied verdwijnt. Dit hoofdstuk bewijst dat wonder (het argument van Goursat, zonder enige regulariteit boven op de differentieerbaarheid aan te nemen), oogst haar klassieke gevolgen, en vereffent een stelling die dit boek sinds Hoofdstuk 4 op krediet gebruikt: elke niet-constante complexe veelterm heeft een wortel.

Overal is $\Omega \subseteq \C$ open, en duidt $D(a, r)$ de open schijf aan.

16.1 Complexe differentieerbaarheid

Definitie 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ heet holomorf op $\Omega$ als voor elke $z_0 \in \Omega$

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

bestaat ( $h \in \C^*$ ). Sommen, producten, quotiënten (met noemers $\neq 0$ ) en samenstellingen van holomorfe functies zijn holomorf, met de gebruikelijke formules (de bewijzen uit de volumes van bachelorjaar 1 en 2 gaan woordelijk door: ze gebruiken enkel lichaamsbewerkingen en limieten). $\mathcal H(\Omega)$ duidt de verzameling holomorfe functies op $\Omega$ aan.

Propositie 16.2 (Cauchy–Riemann)

Schrijf $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . Dan is $f$ holomorf in $z_0$ dan en slechts dan als $f$ in $z_0$ $\R$ -differentieerbaar is (als afbeelding van twee reële veranderlijken) en

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{in } z_0 ;

gelijkwaardig: de reële differentiaal is de vermenigvuldiging met het complexe getal $f'(z_0)$ .

Bewijs. $\C$ -differentieerbaarheid zegt $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ met $c = f'(z_0)$ : een $\R$ -lineaire differentiaal die de vermenigvuldiging met $c = a + \iu b$ is, dus met matrix $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ in de basis $(1, \iu)$ — precies de weergegeven betrekkingen voor de partiële afgeleiden. Omgekeerd is zo’n differentiaal $\C$ -lineair, en de definities met $o(\abs h)$ komen overeen. ∎

Voorbeeld 16.3

Veeltermen in $z$ , rationale functies buiten hun polen, en — volgens de stelling over term voor term differentiëren van machtreeksen uit het volume van bachelorjaar 2, waarvan het bewijs over $\C$ identiek werkt — elke som van een machtreeks $\sum a_n(z - a)^n$ binnen haar convergentieschijf: holomorf, met afgeleide $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (dezelfde straal). In het bijzonder is $\exp z = \sum z^n/n!$ geheel (holomorf op $\C$ ) met $\exp' = \exp$ . Anderzijds zijn $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ en $\operatorname{Re}z$ nergens holomorf (Cauchy–Riemann faalt overal): holomorfie is starheid die oriëntatie en hoeken behoudt, geen gladheid.

16.2 Contourintegralen

Definitie 16.4

Een weg is een stuksgewijs $\mathcal C^1$ -afbeelding $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ ; hij heet gesloten als $\gamma(a) = \gamma(b)$ . Voor continue $f$ op het beeld van $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(de ML-ongelijkheid; de lengte is $\int_a^b \abs{\gamma'}$ ). De integraal is invariant onder een stijgende $\mathcal C^1$ -herparametrisering en wisselt van teken bij omkering van de oriëntatie.

Propositie 16.5 (Primitieven)

Voor continue $f$ op $\Omega$ zijn de volgende uitspraken gelijkwaardig: (i) $f$ heeft een primitieve $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ ); (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ voor elke gesloten weg $\gamma$ in $\Omega$ . In dat geval is $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ voor elke weg.

Bewijs. (i) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (kettingregel, stuksgewijs geldig), dus telescopeert de integraal tot het verschil van de eindpunten; gesloten wegen geven $0$ . (ii) $\Rightarrow$ (i): leg $z_*$ in een samenhangscomponent vast en definieer $F(z) = \int_{\gamma_z}f\, \dd z$ langs een willekeurige weg van $z_*$ naar $z$ (goed gedefinieerd: twee wegen verschillen een gesloten weg); voor kleine $h$ is, met het lijnstuk van $z$ naar $z + h$ ,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

volgens de ML-ongelijkheid en de continuïteit van $f$ in $z$ . ∎

Definitie 16.6 (Windingsgetal)

Voor een gesloten weg $\gamma$ en $z \notin \operatorname{im}\gamma$ is de index

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

Het is een geheel getal: stel $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ , dan heeft de functie $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ (stuksgewijs) afgeleide nul en is ze dus constant; in $t = b$ is $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , dus $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . Als functie van $z$ is de index continu op $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (gedomineerde convergentie), dus constant op elke samenhangscomponent, en $0$ op de onbegrensde component (ML: de integraal gaat naar $0$ als $z \to \infty$ ). Voor de cirkel $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , is $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ voor $z \in D(a,r)$ (bereken in $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; de constantheid doet de rest).

16.3 De stelling van Cauchy

Stelling 16.7 (Goursat)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ en $T \subseteq \Omega$ een gesloten volle driehoek. Dan is $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (de rand eenmaal doorlopen, in willekeurige oriëntatie).

Bewijs. Zij $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . De middens van de zijden verbinden splitst $T$ in vier half zo grote driehoeken $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ , en de binnenste zijden vallen paarsgewijs weg: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . Kies daaronder een $T_1$ met $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ en itereer: een genestelde rij $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ met

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

De doorsnede $\bigcap T_n$ is één enkel punt $z_0$ (genestelde compacte verzamelingen met diameters naar nul, Stelling 6.13(3)). Differentieerbaarheid in $z_0$ : bij gegeven $\varepsilon$ is voor grote $n$ , op $T_n$ ,

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

Het affiene deel heeft een primitieve: zijn integraal over de gesloten $\partial T_n$ verdwijnt (Propositie 16.5), zodat

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

Vergelijken met $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ geeft $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{constante}$ voor elke $\varepsilon$ : dus $I(T) = 0$ . ∎

Stelling 16.8 (Stelling van Cauchy, stervormige versie)

Zij $\Omega$ stervormig ten opzichte van $c$ (elk lijnstuk $[c, z]$ met $z \in \Omega$ ligt in $\Omega$ ) — bijvoorbeeld convex. Elke $f \in \mathcal H(\Omega)$ heeft een primitieve op $\Omega$ ; bijgevolg is $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ voor elke gesloten weg $\gamma$ in $\Omega$ .

Bewijs. Definieer $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . Voor $z, z + h \in \Omega$ met $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (waar voor kleine $h$ ) ligt de driehoek met hoekpunten $c, z, z+h$ in $\Omega$ (de stervormigheid: elk van zijn punten ligt op een lijnstuk $[c, w]$ met $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ): Goursat geeft

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

en de berekening met het differentiequotiënt uit Propositie 16.5 levert $F' = f$ . Dat de integralen over gesloten wegen verdwijnen, volgt uit dezelfde propositie. ∎

Stelling 16.9 (Integraalformule van Cauchy)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ en $C_r$ de cirkel $\partial D(a,r)$ , eenmaal tegen de wijzers van de klok in doorlopen. Dan is voor elke $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

Bewijs. Leg $z$ vast en definieer op $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ is continu op $\Omega$ en holomorf buiten $z$ . Goursat geldt voor $g$ op elke driehoek $T \subseteq \Omega'$ , waarbij $\Omega'$ een schijf is die iets groter is dan $\bar D(a,r)$ en in $\Omega$ ligt: is $z \notin T$ , rechtstreeks; is $z \in T$ , splits $T$ dan in kleine driehoeken met $z$ als hoekpunt plus driehoeken die $z$ mijden; op een driehoek met hoekpunt $z$ geeft de ML-afschatting $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ terwijl de driehoek krimpt, en de overige stukken verdwijnen volgens Goursat — dus is $\int_{\partial T}g = 0$ in alle gevallen. Het bewijs van Stelling 16.8 gebruikte enkel die driehoekseigenschap: $g$ heeft dus een primitieve op de convexe $\Omega'$ , zodat $\int_{C_r}g = 0$ , dat wil zeggen

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 Analyticiteit en haar waterval

Stelling 16.10 (Holomorf $=$ analytisch)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ en $D(a, R) \subseteq \Omega$ . Dan is

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{op } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

waarbij de coëfficiënten niet van $r$ afhangen. Bijgevolg is $f$ oneindig vaak $\C$ -differentieerbaar, is $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , en gelden de afschattingen van Cauchy:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

Bewijs. Voor $\abs{z - a} < r$ : ontwikkel de kern van Cauchy in de meetkundige reeks

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

normaal convergent in $w$ op $C_r$ (want $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): integreer term voor term tegen $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (de uniforme convergentie rechtvaardigt het verwisselen) en pas Stelling 16.9 toe. Een machtreeks is oneindig vaak differentieerbaar met $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (volume van bachelorjaar 2), wat ook toont dat de $c_n$ niet van $r$ afhangen. De afschattingen: begrens de integraal voor de coëfficiënt met ML. ∎

Voorbeeld 16.11 (Singulariteiten dicteren stralen)

Waarom heeft de onschuldige reële functie $\frac1{1 + x^2}$ in $x = 3$ een taylorreeks die enkel convergeert voor $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ , terwijl er op de reële lijn niets misgaat? Omdat de bovenstaande stelling de convergentiestraal in $a$ gelijkmaakt aan de afstand van $a$ tot het dichtstbijzijnde punt waar de holomorfie faalt. Hier is $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ precies holomorf op $\C\setminus\{\pm\iu\}$ , dus convergeert de ontwikkeling in $a = 3$ op de grootste schijf die $\pm\iu$ mijdt, met straal $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — en ze kan niet op een grotere convergeren, want de som zou $f$ dan holomorf uitbreiden tot een omgeving van $\pm\iu$ , waar $\abs f \to \infty$ . De reële theorie ziet de raadselachtige straal $\sqrt{10}$ ; het complexe vlak ziet twee polen. Dat is de praktische regel: om een convergentiestraal te vinden, lokaliseer de singulariteiten — zo heeft de taylorreeks van $\tan$ in $0$ straal $\frac\pi2$ (de dichtstbijzijnde nulpunten van $\cos$ ), en de genererende functie van Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (Probleem 16.1, Deel VI) straal $2\pi$ (de dichtstbijzijnde nulpunten $\neq 0$ van $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

Gevolg 16.12 (Liouville; d’Alembert–Gauss)

Een begrensde gehele functie is constant. Bijgevolg heeft elke niet-constante veelterm over $\C$ een wortel: $\C$ is algebraïsch afgesloten.

Bewijs. Is $\abs f \leq M$ op $\C$ , dan is voor elke $a$ en $r$ $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : dus $f' \equiv 0$ , en $f$ is constant (op het samenhangende $\C$ : een afgeleide nul impliceert lokaal constant — integreer langs lijnstukken). Had $P$ geen wortel, dan zou $1/P$ geheel en begrensd zijn ( $\abs{P(z)} \to \infty$ als $\abs z \to \infty$ : de kopterm domineert, dus is $\abs{1/P}$ klein buiten een grote schijf en continu op de compacte schijf): constant — absurd voor een niet-constante $P$ . (De weekendopgave geeft een tweede, elementair bewijs en de algebraïsche gevolgen.) ∎

Stelling 16.13 (Nulpunten zijn geïsoleerd; identiteitsstelling)

Zij $\Omega$ samenhangend en $f \in \mathcal H(\Omega)$ met $f \not\equiv 0$ . Dan heeft elk nulpunt $a$ van $f$ een eindige orde: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ met $g \in \mathcal H(\Omega)$ en $g(a) \neq 0$ , en de nulpunten van $f$ hebben geen ophopingspunt in $\Omega$ . Bijgevolg vallen twee holomorfe functies op $\Omega$ die samenvallen op een verzameling met een ophopingspunt in $\Omega$ , overal samen.

Bewijs. Zij $Z$ de verzameling punten waar alle afgeleiden van $f$ verdwijnen. $Z$ is gesloten (doorsnede van gesloten verzamelingen) en open: zijn alle $c_n$ in $a$ nul, dan maakt de machtreeksontwikkeling $f \equiv 0$ op een schijf rond $a$ . Samenhang: $Z = \varnothing$ of $Z = \Omega$ ; het tweede is uitgesloten door $f \not\equiv 0$ . In een nulpunt $a$ is dus een coëfficiënt $\neq 0$ : zij $m$ minimaal met $c_m \neq 0$ ; dan is $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ op een schijf, en de som definieert een $g$ die holomorf is nabij $a$ met $g(a) = c_m \neq 0$ ; breid $g = f/(z-a)^m$ uit buiten $a$ (daar holomorf). Omdat $g(a) \neq 0$ en $g$ continu is, heeft $f$ geen ander nulpunt in een omgeving van $a$ : de nulpunten zijn geïsoleerd, en een verzameling geïsoleerde punten heeft geen ophopingspunt in $\Omega$ (een ophopingspunt van nulpunten is een nulpunt — continuïteit — en zou niet geïsoleerd zijn). Identiteit: pas dit toe op het verschil, waarvan de nulpuntenverzameling een ophopingspunt heeft, wat het in de tak $Z = \Omega$ dwingt. ∎

Stelling 16.14 (Gemiddelde waarde en maximum van de modulus)

Zij $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(Gemiddelde waarde) Voor $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(Maximumprincipe) Is $\Omega$ samenhangend en bereikt $\abs f$ in een punt van $\Omega$ een lokaal maximum, dan is $f$ constant. Bijgevolg is voor begrensde $\Omega$ en $f$ continu op $\bar\Omega$ $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

Bewijs. (1) is de formule van Cauchy in het middelpunt: parametriseer $C_r$ . (2) Stel $\abs f \leq \abs{f(a)}$ op $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . Is $f(a) = 0$ , dan is $f \equiv 0$ nabij $a$ . Anders geeft voor $0 < r \leq \rho$ de gemiddelde waarde

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

de continue niet-negatieve integrand $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ heeft gemiddelde nul en verdwijnt dus: $\abs f$ is constant $= \abs{f(a)} \ne 0$ op de schijf. Een holomorfe functie met constante modulus $\neq 0$ op een schijf is constant: $P^2 + Q^2 = \text{constante}$ differentiëren geeft $PP_x + QQ_x = 0$ en $PP_y + QQ_y = 0$ ; de betrekkingen van Cauchy–Riemann $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ invoeren in de tweede vergelijking levert het lineaire stelsel

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

waarvan de determinant $P^2 + Q^2 \neq 0$ is: dus $P_x = Q_x = 0$ , zodat $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ op de schijf en $f$ daar constant is. De identiteitsstelling verspreidt de constantheid over heel $\Omega$ . De randvorm: $\abs f$ bereikt haar supremum op de compacte $\bar\Omega$ ; een inwendig maximum maakt $f$ constant, en het supremum wordt in elk geval op de rand bereikt. ∎

Stelling 16.15 (Convergentiestelling van Weierstrass)

Convergeren $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ naar $f$ uniform op elke compacte deelverzameling van $\Omega$ , dan is $f \in \mathcal H(\Omega)$ en convergeert $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniform op compacte verzamelingen, voor elke $k$ .

Bewijs. $f$ is continu. Voor elke gesloten driehoek $T \subseteq \Omega$ is $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (uniforme convergentie op de compacte $\partial T$ ; Goursat voor $f_n$ ). Volgens het argument van Stelling 16.8 heeft $f$ lokale primitieven (schijven zijn convex; enkel de driehoekseigenschap werd gebruikt), dat wil zeggen $f = F'$ lokaal met $F$ holomorf; $F$ is analytisch (Stelling 16.10), en dus ook $f = F'$ : holomorf. (Dat is de stelling van Morera: continu met verdwijnende driehoeksintegralen impliceert holomorf.) Afgeleiden: voor $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ en $z \in \bar D(a, r)$ geeft de formule van Cauchy voor afgeleiden (differentieer Stelling 16.9 onder de integraal, of gebruik de coëfficiëntformule)

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

uniform op $\bar D(a,r)$ ; overdek een compacte verzameling met eindig veel zulke schijven en itereer voor hogere $k$ . ∎

$De formule van Cauchy: de waarden van een holomorfe functie binnen een schijf zijn een gewogen gemiddelde van haar waarden op de begrenzende cirkel. Alles wat star is aan de holomorfie — analyticiteit, Liouville, het maximumprincipe — ontvouwt zich uit deze ene identiteit.$

De formule van Cauchy: de waarden van een holomorfe functie binnen een schijf zijn een gewogen gemiddelde van haar waarden op de begrenzende cirkel. Alles wat star is aan de holomorfie — analyticiteit, Liouville, het maximumprincipe — ontvouwt zich uit deze ene identiteit.

Methode 16.16

De dagelijkse gereedschapskist. Om aan te tonen dat een functie holomorf is: geef haar als machtreeks, als samenstelling, als lokaal uniforme limiet (Stelling 16.15) of als integraal met holomorfe parameter (Oefening 16.7 — differentieer onder $\int$ of pas Morera en Fubini toe). Om identiteiten te bewijzen: bewijs ze op een lijnstuk of deelgebied en roep de identiteitsstelling in. Om af te schatten: de afschattingen van Cauchy op de grootste beschikbare cirkel. Om constantheid of niet-bestaan te bewijzen: Liouville of het maximumprincipe. Weet altijd waar je functie holomorf is en welke schijven in $\Omega$ passen.

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

(a) In welke punten zijn $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ en $\operatorname{Re}z$ complex differentieerbaar? En holomorf op een open verzameling? (b) Toon aan dat $P(x, y) = x^2 - y^2$ het reële deel is van een holomorfe functie op $\C$ , geef er expliciet een, en bepaal ze alle.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , dus $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : nergens $\C$ -differentieerbaar. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : Cauchy–Riemann eist $2x = 0 = 2y$ , dus enkel differentieerbaar in $0$ — en nergens holomorf (geen open verzameling). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : nergens.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ voldoet. Alle oplossingen: is $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ met $f, g$ holomorf op het samenhangende $\C$ , dan heeft $h = f - g$ $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann geeft $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ is een imaginaire constante. Antwoord: $f(z) = z^2 + \iu c$ met $c \in \R$ .

Oefening 16.2 ★

Bereken vanuit de definities: $\int_{C}z^n\,\dd z$ voor alle $n \in \Z$ , met $C$ de eenheidscirkel; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ langs het lijnstuk $[0, 1+\iu]$ en langs de weg van twee lijnstukken door $1$ : besluit dat $\bar z$ op geen enkele omgeving van deze wegen een primitieve heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

Op de eenheidscirkel $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

Voor $\bar z$ : langs $[0, 1+\iu]$ , met $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ , is $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . Langs $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . Verschillende waarden tussen dezelfde eindpunten: volgens Propositie 16.5 heeft $\bar z$ dus geen primitieve op enige open verzameling die beide wegen bevat.

Oefening 16.3 ★★

(a) Toon aan dat de hoofdlogaritme $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) holomorf is op $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ met afgeleide $\frac1z$ (primitieve van $\frac1z$ op het stervormige gesneden vlak: Stelling 16.8; leg de constante vast). (b) Toon aan dat er op $\C^*$ geen continue logaritme bestaat (de obstructie zonder afgeleiden: de index van de eenheidscirkel). (c) Ontwikkel $\log(1 + z)$ in een machtreeks op $D(0,1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

(a) Het gesneden vlak $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ is stervormig ten opzichte van $1$ , en $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : Stelling 16.8 levert een primitieve $L$ met $L(1) = 0$ . Dan is $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : dus $z = c\,\eu^{L(z)}$ met $c = 1$ (in $z = 1$ ). Schrijf $L = u + \iu v$ : dan is $\abs z = \eu^u$ en $z = \abs z\eu^{\iu v}$ met $v$ continu, $v(1) = 0$ en $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ is een continu argument van $z$ op het samenhangende $\Omega$ , dus mijdt haar beeld de oneven veelvouden van $\pi$ — geen enkel punt van $\Omega$ ligt op $\R_-$ — en omdat het $v(1) = 0$ bevat, blijft het in $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ is het hoofdargument): dus $L = \log$ .

(b) Was $g$ een continue logaritme op $\C^*$ , dan voldoet $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ aan $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ , dus $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ , en wegens de continuïteit is $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ voor een vast geheel getal $k$ . Dan is $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ en $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : tegenspraak.

(c) Op $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — beide leden verdwijnen in $0$ en hebben afgeleide $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (Voorbeeld 16.3); een primitieve is op de samenhangende schijf uniek op een constante na.

Oefening 16.4 ★★

(a) Zij $f$ geheel met $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . Toon aan dat $f$ een veelterm van graad $\leq n$ is (de afschattingen van Cauchy op grote cirkels). (b) Zij $f$ geheel met $\operatorname{Re}f$ naar boven begrensd. Toon aan dat $f$ constant is (beschouw $\eu^{f}$ ). (c) Leid “de kleine Picard voor affiene afbeeldingen” af: een gehele functie die een halfvlak overslaat, is constant.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

(a) Ontwikkel in $0$ (straal $\infty$ ): volgens de afschattingen van Cauchy op $C_r$ is $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ als $r \to \infty$ voor $k > n$ : dus $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) Is $\operatorname{Re}f \leq M$ , dan is $g = \eu^f$ geheel met $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constant volgens Liouville. Dan is $g' = f'g = 0$ met $g$ nergens nul: dus $f' = 0$ en $f$ is constant.

(c) Mist $f$ het halfvlak $H$ , dan stuurt een affiene afbeelding $w \mapsto \alpha w + \beta$ $\C\setminus H$ in $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; pas (b) toe op $\alpha f + \beta$ .

Oefening 16.5 ★★

(a) Zij $f$ holomorf op een samenhangende $\Omega \ni 0$ met $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ voor alle grote $n$ . Bepaal $f$ . (b) Bestaat er een holomorfe $f$ op $\C^*$ met $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ voor alle $n \geq 1$ ? Verantwoord. (c) Geef twee verschillende holomorfe functies op $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ die op $D(0,1)$ samenvallen: waar gebruikt de identiteitsstelling de samenhang?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

(a) $g(z) = f(z) - z^2$ verdwijnt in de punten $\frac1n$ , die zich ophopen in $0 \in \Omega$ : volgens de identiteitsstelling ( $\Omega$ samenhangend) is $g \equiv 0$ , dus $f(z) = z^2$ .

(b) Ja: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ is holomorf op $\C^*$ (samenstelling) en $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . Geen tegenspraak met (a): het ophopingspunt $0$ van de interpolatieknopen behoort niet tot $\C^*$ , zodat de identiteitsstelling zwijgt — twee verschillende functies ( $z\cos(\pi/z)$ en bijvoorbeeld die uit een andere interpolatie) kunnen deze waarden delen.

(c) $f \equiv 0$ overal, tegenover $g = 0$ op $D(0,1)$ en $g = 1$ op $D(3,1)$ : holomorf op de niet-samenhangende vereniging, gelijk op $D(0,1)$ , en toch verschillend. Het open-gesloten-argument van de identiteitsstelling heeft de samenhang nodig om zich van de ene component naar de andere voort te planten — en dat kan hier niet.

Oefening 16.6 ★★

Zij $f$ holomorf op de open eenheidsschijf $\mathbb D$ , continu op $\bar{\mathbb D}$ , met $\abs f \equiv 1$ op de randcirkel. (a) Heeft $f$ geen nulpunt in $\mathbb D$ , toon dan aan dat $f$ constant is (pas het maximumprincipe toe op $f$ en op $1/f$ ). (b) Geef een voorbeeld met een nulpunt waarin $f$ niet constant is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

(a) Volgens het maximumprincipe op het begrensde gebied is $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . Omdat $f$ geen nulpunten heeft, is $1/f$ holomorf op $\mathbb D$ en continu op de afsluiting, met modulus $1$ op de rand: dus is eveneens $\abs{1/f} \leq 1$ , dat wil zeggen $\abs f \geq 1$ . Bijgevolg is $\abs f \equiv 1$ : de modulus bereikt een inwendig maximum, en Stelling 16.14(2) dwingt af dat $f$ constant is.

(b) $f(z) = z$ : modulus $1$ op de rand, een nulpunt in de oorsprong, niet constant — het nulpunt is precies wat het argument met $1/f$ blokkeert.

Oefening 16.7 ★★

(Holomorfie onder de integraal) Zij $\mu$ een eindige maat op een ruimte $X$ en $g \colon X\times\Omega \to \C$ zodanig dat $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ voor elke $x$ , $g$ meetbaar is in $x$ , en $\abs g \leq h(x)$ met $h$ integreerbaar, lokaal uniform in $z$ . Toon aan dat $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ holomorf is op $\Omega$ . (Morera: de driehoeksintegralen verdwijnen volgens Fubini en Goursat; de continuïteit volgens de gedomineerde convergentie. Pas dat daarna toe op $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ op $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

Continuïteit van $G$ : gedomineerde convergentie met dominant $h$ (de lokaal uniforme afschatting). Holomorfie volgens Morera (vastgesteld binnen Stelling 16.15): voor een gesloten driehoek $T$ in een schijf waar $\abs g \leq h$ is

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

waarbij het verwisselen op Fubini berust ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) en het verdwijnen binnenin op Goursat. Voor $\Gamma$ : op de strook $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ) is $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , integreerbaar op $\intoo0{+\infty}$ : dus is $\Gamma$ holomorf op $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (de maat is enkel $\sigma$ -eindig, maar het argument heeft alleen de integreerbare dominant nodig). Volgens de identiteitsstelling geldt de functionaalvergelijking $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , bewezen op $\intoo0{+\infty}$ (Voorbeeld 10.16), op het hele halfvlak.

Oefening 16.8 ★★★

(Gauss–Lucas) Zij $P \in \C[X]$ niet-constant. Toon aan dat elke wortel van $P'$ in het convexe omhulsel van de wortels van $P$ ligt. (Schrijf $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ in een wortel $z$ van $P'$ die geen wortel van $P$ is, neem toegevoegden, en lees er een convexe combinatie uit af.) Illustreer op $P = z^3 - 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

Schrijf $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (Probleem 16.1). Zij $P'(z) = 0$ . Is $P(z) = 0$ , dan is $z$ een van de $a_k$ : in het omhulsel. Anders geeft de logaritmische afgeleide

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

toevoegen geeft $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ met $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : dus $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , een convexe combinatie van de wortels. Voor $P = z^3 - 1$ : de wortels zijn de derdemachtswortels van de eenheid, en $P' = 3z^2$ heeft de dubbele wortel $0$ — het zwaartepunt van de gelijkzijdige driehoek.

Oefening 16.9 ★★★

Zij $f$ geheel en dubbelperiodiek: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ voor alle $z$ . Toon aan dat $f$ constant is. (Begrens $f$ op het compacte fundamentaalvierkant, dus overal; Liouville.) Moraal: niet-constante elliptische functies moeten polen hebben — het thema van Hoofdstuk 17.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

Het gesloten eenheidsvierkant $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ is compact: $M = \sup_K\abs f < \infty$ . Elke $z \in \C$ verschilt van een punt van $K$ door een element van $\Z + \iu\Z$ (trek de gehele delen af), en $f$ is invariant onder die translaties (itereer de twee betrekkingen): dus $\abs f \leq M$ op $\C$ . Liouville: $f$ is constant. Bijgevolg moet elke niet-constante dubbelperiodieke meromorfe functie — de elliptische functies van de klassieke theorie — polen hebben.

Oefening 16.10 ★★

(a) Toon aan dat $P = \operatorname{Re}f$ van een holomorfe $f$ voldoet aan de eigenschap van de gemiddelde waarde $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ en harmonisch is: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (differentieer Cauchy–Riemann; gebruik Stelling 16.10 voor de nodige gladheid). (b) Leid het maximumprincipe af voor reële delen van holomorfe functies op begrensde gebieden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

(a) Neem reële delen in de formule voor de gemiddelde waarde (Stelling 16.14(1)). Gladheid: $f$ is analytisch, dus $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; Cauchy–Riemann differentiëren geeft $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (de symmetrie van Schwarz voor tweede afgeleiden): dus $\Delta P = 0$ .

(b) Bereikte $\operatorname{Re}f$ een inwendig maximum op een samenhangende $\Omega$ , dan bereikt $g = \eu^f$ met $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ een inwendig maximum, zodat $g$ , en dus $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , constant is (Stelling 16.14(2)). Op een begrensd gebied met continuïteit tot aan de rand is $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

Oefening 16.11 ★★★

(Spiegeling van Schwarz) Zij $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ , en $f$ holomorf op $\Omega^+$ , continu op $\Omega^+\cup I$ en reëelwaardig op $I$ . Definieer

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) Toon aan dat $F$ goed gedefinieerd en continu is op $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ , en holomorf op $\Omega^\pm$ (voor $\Omega^-$ : ga Cauchy–Riemann na voor $\overline{f(\bar z)}$ , of ontwikkel $f$ in lokale machtreeksen en neem de toegevoegde coëfficiënten). (b) Toon met het criterium van Morera aan dat $F$ holomorf is op heel $\Omega$ : $\int_{\partial T}F = 0$ voor elke driehoek $T \subseteq \Omega$ (splits driehoeken langs $I$ en duw hun horizontale zijden met $\varepsilon$ van de as weg, met de uniforme continuïteit). (c) Leid af: een holomorfe functie op de schijf die reëel is op een middellijn, voldoet aan $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; en een niet-constante holomorfe functie kan op geen enkele niet-lege open deelverzameling van haar (samenhangende) gebied reëelwaardig zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

(a) De twee formules vallen samen op $I$ (daar is $z = \bar z$ en $f$ reëel: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), en $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ is continu op $\Omega^-\cup I$ als samenstelling van continue afbeeldingen: dus is $F$ continu op $\Omega$ . Holomorfie op $\Omega^-$ : ontwikkel nabij $z_0 \in \Omega^-$ $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ nabij $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; dan is

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

een convergente machtreeks: holomorf.

(b) Driehoeken die $I$ mijden worden door Goursat in $\Omega^\pm$ afgehandeld. Snijd een driehoek die $I$ ontmoet met de reële as door in hoogstens drie driehoeken of vierhoeken, elk met één zijde op $I$ ; voor zo’n stuk $P$ dat bijvoorbeeld in $\overline{\Omega^+}$ ligt, is de contourintegraal de limiet voor $\varepsilon \to 0^+$ van de integraal over de translaten van het type $P + \iu\varepsilon$ (de uniforme continuïteit van $F$ op het compacte stuk laat de randintegralen convergeren, waarbij de zijde op $I$ van boven wordt benaderd), en elk translaat ligt in $\Omega^+$ , waar Goursat $0$ geeft. De stukken optellen: $\int_{\partial T}F = 0$ . Morera (het criterium binnen Stelling 16.15): $F$ is holomorf op $\Omega$ .

(c) Op de schijf is $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ holomorf volgens de berekening in (a), en ze valt samen met $f$ op de middellijn, een verzameling met ophopingspunten: dus $G = f$ overal (identiteitsstelling). Was $f$ reëel op een niet-lege open verzameling $U$ , dan verdwijnen op $U$ beide partiële afgeleiden van $Q = \operatorname{Im}f$ , en Cauchy–Riemann brengt dat over op $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), zodat $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ op $U$ : $f$ is constant op $U$ , en dus overal volgens de identiteitsstelling ( $\Omega$ samenhangend).

Oefening 16.12 ★★

(De complexe vergelijking van Pythagoras) Zoek alle paren gehele functies met $f^2 + g^2 = 1$ . (a) Toon aan dat $h = f + \iu g$ geheel is en nergens nul, en dat elke gehele functie zonder nulpunten $\eu^{\varphi}$ is voor een gehele $\varphi$ ( $h'/h$ is geheel en heeft dus een primitieve op het stervormige $\C$ ; pas de constante aan en toon aan dat $h\eu^{-\varphi}$ constant is). (b) Besluit $f = \cos\varphi$ en $g = \sin\varphi$ met $\varphi$ geheel, en ga de omkering na. Wat zijn de gehele oplossingen van $f^2 + g^2 = 0$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , dus verdwijnt $h = f + \iu g$ nergens (haar medefactor zou moeten exploderen). Voor een gehele $h$ zonder nulpunten: $h'/h$ is geheel, en $\C$ is stervormig, dus heeft ze een primitieve $\varphi_0$ (Stelling 16.8); dan is $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : dus $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ met $c \neq 0$ , en door een constante $\log c$ in $\varphi = \varphi_0 + \log c$ op te nemen (een willekeurige complexe logaritme van $c$ ): $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) Met $h = \eu^{\varphi}$ en $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

Schrijf $\varphi = \iu\psi$ met $\psi = -\iu\varphi$ geheel: dan luiden die $f = \cos\psi$ en $g = \sin\psi$ , dus zijn de gehele oplossingen precies de paren $(\cos\psi, \sin\psi)$ met $\psi$ geheel, en de omkering is de identiteit $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Voor $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ in het integriteitsdomein $\mathcal H(\C)$ ( $\C$ samenhangend: nuldelers zouden de identiteitsstelling schenden), dus $g = \pm\iu f$ met $f$ een willekeurige gehele functie.

16.6 Probleem: de hoofdstelling van de algebra, tweemaal

Probleem 16.1

Weekendopgave — $\C$ is algebraïsch afgesloten: het bewijs van d’Alembert, dat van Liouville, en de oogst

Zij $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ met $n \geq 1$ . We bewijzen tweemaal dat $P$ een wortel heeft, en verzamelen daarna waar de algebra sinds Hoofdstuk 4 op wacht.

Deel I — Coërciviteit en het minimum.

Toon aan dat $\abs{P(z)} \to +\infty$ als $\abs z \to \infty$ : preciezer, dat $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ voor $\abs z \geq R_0$ geschikt.
Leid af dat $\abs P$ op $\C$ een globaal minimum bereikt: er is een $z_0$ met $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (compactheid van een grote gesloten schijf, Gevolg 6.17).

Deel II — De afdaling van d’Alembert. Stel, om tot een tegenspraak te komen, dat $P(z_0) \neq 0$ .

Ontwikkel $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ als veelterm in $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ met $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ en $S$ een veelterm.
Kies de richting van de afdaling: stel voor kleine $t > 0$ $h = t\,\omega$ met $\omega^k = -1/c_k$ (waarom bestaat zo’n $\omega$ ? — bewijs het bestaan van $k$ -de machtswortels van elk complex getal met de poolvorm, onafhankelijk van de stelling die we bewijzen). Toon aan dat

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

voor kleine $t$ , met een expliciete constante $C$ .
Besluit $\abs{Q(t\omega)} < 1$ voor kleine $t$ — in tegenspraak met de minimaliteit van $\abs{P(z_0)}$ . Dus is $P(z_0) = 0$ : elke niet-constante complexe veelterm heeft een wortel (d’Alembert–Argand).

Deel III — Het eenregelige bewijs van Liouville, voluit.

Schrijf het bewijs van Gevolg 16.12 zorgvuldig uit: heeft $P$ geen wortel, ga dan na dat $1/P$ geheel en begrensd is (kwantificeer, met vraag 1), dus constant, en besluit. Vergelijk de twee bewijzen: welke ingrediënten gebruikt elk? (De compactheid duikt in beide op — waar?)

Deel IV — De oogst.

Toon aan dat elke $P \in \C[X]$ van graad $n$ splitst: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ met $\sum m_i = n$ (inductie, euclidische deling door $(X - \alpha)$ ).
Toon aan dat de irreducibele veeltermen van $\R[X]$ de lineaire zijn en de kwadratische met negatieve discriminant (paar de toegevoegde wortels); leid af dat elke reële veelterm van oneven graad een reële wortel heeft, en geef van dat laatste feit een tweede, ordetheoretisch bewijs (tussenwaardestelling) — ga na dat ze op $X^3 - X - 1$ overeenstemmen.
Leid de schulden af die dit boek nu kan afbetalen: (i) elk endomorfisme van een eindigdimensionale $\C$ -vectorruimte $\neq 0$ heeft een eigenwaarde, zodat elke complexe matrix een jordanvorm heeft (Stelling 3.18); (ii) het lichaam $\bar\Q$ van de algebraïsche getallen dat in Opmerking 4.10 werd gebruikt, is wel degelijk een algebraïsche afsluiting van $\Q$ .
(Finale) Wijs precies aan waar elk bewijs zou breken over een lichaam als $\Q(\iu)$ : welke stappen gebruiken het bestaan van $k$ -de machtswortels (vraag 4), en welke de compactheid of de volledigheid (vragen 2 en 6)? Besluit in vijf regels: de stelling is werkelijk analytisch — elk bewijs roept ergens de volledigheid of de samenhang van $\R$ in — ook al is haar uitspraak zuiver algebraïsch.

Deel V — De starheidsladder van de gehele functies. Liouville is de eerste sport van een ladder; we beklimmen hem.

(Afschattingen van Cauchy) Bewijs met de formule van Cauchy op de cirkel met straal $r$ rond $a$ dat

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

en vind Liouville terug als het geval $n = 1$ , $r \to \infty$ .
(Polynomiale groei) Toon aan dat een gehele $f$ met $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ voor alle $z$ een veelterm van graad $\leq m$ is (dood de taylorcoëfficiënten voorbij $m$ met vraag 11).
(Begrensd reëel deel) Toon aan dat een gehele $f$ met $\operatorname{Re}f$ naar boven begrensd constant is (pas Liouville toe op $\eu^{f}$ ).
(Dubbele periodiciteit) Zij $f$ geheel met $f(z + 1) = f(z)$ en $f(z + \iu) = f(z)$ voor alle $z$ . Toon aan dat $f$ constant is. Besluit: een niet-constante “elliptische” functie moet singulariteiten hebben — de historische reden waarom polen de complexe analyse binnenkomen.
(Dicht beeld) Toon aan dat het beeld van een niet-constante gehele functie dicht ligt in $\C$ : mist $f(\C)$ een schijf $D(a, r)$ , dan is $\frac1{f - a}$ geheel en begrensd. (Picard bewees dat het beeld hoogstens één punt mist; de dichtheid is het niveau dat ons gereedschap haalt.)
(Eigenlijk $\Rightarrow$ veelterm) Stel dat $f$ geheel is en $\abs{f(z)} \to \infty$ als $\abs z \to \infty$ . Toon aan: de nulpunten van $f$ zijn eindig in aantal ( $z_1, \dots, z_p$ , met multipliciteiten $m_i$ ); het quotiënt $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ is geheel en zonder nulpunten; $1/g$ heeft polynomiale groei, is dus (vraag 12) een veelterm, noodzakelijk constant (zonder nulpunten); besluit dat $f$ een veelterm is. Onder de gehele functies zijn de veeltermen dus precies de eigenlijke — $\eu^z$ faalt in eigenlijkheid langs $\R_-$ .

Deel VI — Harmonische schaduwen en een gemiddelde van Gauss.

Zij $f = u + \iu v$ holomorf op een open verzameling. Ga na dat $u = \operatorname{Re}f$ voldoet aan de eigenschap van de gemiddelde waarde

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

(het reële deel van de formule van Cauchy), en leid het maximumprincipe voor $u$ op een begrensd gebied af, met hetzelfde samenhangsbewijs als voor $\abs f$ .
(Gemiddelde waarde van Gauss) Bewijs voor $a \in \C$ en $r > 0$ met $\abs a \neq r$ dat

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(is $\abs a > r$ , dan is $z \mapsto \log\abs{a - z}$ het reële deel van een holomorfe logaritme op een omgeving van de gesloten schijf — waarom bestaat die? — zodat vraag 17 van toepassing is; is $\abs a < r$ , splits dan $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ af en hergebruik het eerste geval).
(Maat van Mahler) Leid voor $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ de formule van Jensen voor veeltermen af:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

het meetkundig gemiddelde van $\abs P$ op de eenheidscirkel leest de wortels buiten de schijf af. Ga dat na op $P = X^2 - X$ en op $P = 2X - 1$ .
(Getallen van Bernoulli) Definieer de coëfficiënten $B_n$ door $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ nabij $0$ (waarom is het linkerlid analytisch in $0$ ?). Leid uit $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ de recursie $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) af, bereken $B_0, \dots, B_6$ , en toon aan dat $B_{2k+1} = 0$ voor $k \geq 1$ (de functie $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ is even). Deze getallen zullen in Hoofdstuk 17 elke $\zeta(2k)$ beprijzen.
(Realiteit) Toon aan dat een gehele functie die op $\R$ reële waarden aanneemt, overal voldoet aan $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (vergelijk de taylorcoëfficiënten in $0$ , of pas de identiteitsstelling toe op $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ ); leid opnieuw af dat de niet-reële wortels van reële veeltermen in toegevoegde paren komen (de paring van vraag 8, analytisch herbewezen).
(De moraal) Stel de starheidsladder samen: begrensd $\Rightarrow$ constant; polynomiaal begrensd $\Rightarrow$ veelterm; eigenlijk $\Rightarrow$ veelterm; een schijf missend $\Rightarrow$ constant; dubbelperiodiek $\Rightarrow$ constant. Contrasteer in een korte alinea met de reële $\mathcal C^\infty$ -functies (bultfuncties, Stelling 12.9): waarom legt de holomorfie, een zuiver lokale voorwaarde, een globale wet en orde op?

Deel VII — Laatste oogst.

(Ongelijkheid van Landau) Bewijs voor $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ de gemiddelde waarde $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (orthogonaliteit van de $\eu^{\iu k\theta}$ ), en leid daarna, met de puntsgewijze afschatting $\log t \leq t - 1$ om de gemiddelden van $\log\abs P^2$ en $\abs P^2$ te vergelijken, uit vraag 19 af dat

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

het product van de wortels buiten de eenheidsschijf wordt beheerst door de $\ell^2$ -grootte van de coëfficiënten (behandel wortels op de cirkel door de ongelijkheid op $P(rX)$ toe te passen en $r \to 1$ te laten gaan). Controleer haar op $X^2 - X$ .
(De getallen van Bernoulli groeien faculteitsgewijs) Toon aan dat de convergentiestraal van $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ precies $2\pi$ is: minstens $2\pi$ omdat $z/(\eu^z - 1)$ zich holomorf uitbreidt tot $D(0, 2\pi)$ , hoogstens $2\pi$ omdat de som anders begrensd zou blijven nabij $2\pi\iu$ , waar $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . Leid af dat

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

de getallen van Bernoulli groeien faculteitsgewijs. Neem $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ zonder bewijs aan (de recursie van vraag 20, verder doorgezet) en vergelijk $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ met de scherpere voorspelling $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ bij $k = 6$ — vier overeenkomende cijfers van een asymptotische wet die Hoofdstuk 17 exact zal bewijzen, via $\zeta(2k)$ .
(Wortels bewegen continu) Zij $(P_j)$ monisch van graad $n$ met coëfficiënten die naar die van de (monische) $P$ convergeren. Bewijs de grens van Cauchy: elke wortel van een monische $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ voldoet aan $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ; leid af dat de wortels van de $P_j$ in een vaste compacte verzameling blijven en, door convergente deelrijen van wortelvectoren te nemen en in de ontbinding van vraag 7 naar de limiet over te gaan, dat de multiverzamelingen van wortels van $P_j$ naar die van $P$ convergeren. Toon ten slotte aan dat continuïteit het beste is wat je kunt zeggen: voor $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ verplaatst een verstoring ter grootte $\varepsilon = 10^{-4}$ de dubbele wortel $1$ over $10^{-2}$ — een hölderexponent $\frac1m$ in een $m$ -voudige wortel, nooit lipschitz: numeriek kosten meervoudige wortels de helft van de cijfers.

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. Voor $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

voor $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ is dus $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. Kies $R \geq R_0$ met $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . Op de compacte $\bar D(0, R)$ bereikt de continue $\abs P$ een minimum, in een punt $z_0$ ; daarbuiten is $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : het minimum is globaal.

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ is een veelterm in $h$ met $Q(0) = 1$ ; ze is niet constant ( $P$ is dat niet), dus is een coëfficiënt voorbij de constante $\neq 0$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ met $k \geq 1$ minimaal, $c_k \neq 0$ en $S \in \C[X]$ .

4. Wortels: elke $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ heeft de $k$ -de machtswortel $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ , waarbij $\rho^{1/k}$ bestaat volgens de tussenwaardestelling toegepast op $t \mapsto t^k$ op $\intco0\infty$ — geen cirkelredenering. Kies $\omega$ met $\omega^k = -1/c_k$ . Dan is

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

met $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (merk op dat $1 - t^k \geq 0$ op $\intcc01$ ).

5. Voor $0 < t < \min(1, 1/C)$ is $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , dat wil zeggen $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — in tegenspraak met de globale minimaliteit. Dus $P(z_0) = 0$ : het bewijs van d’Alembert en Argand is af.

6. Versie van Liouville: verdwijnt $P$ nooit, dan is $1/P$ geheel; volgens vraag 1 is $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ buiten $\bar D(0, R_0)$ , en $1/P$ is continu op die compacte schijf, dus ook daar begrensd: begrensd en geheel, dus constant (Gevolg 16.12), wat $P$ constant maakt: absurd. Ingrediënten: d’Alembert gebruikt de compactheid (het bestaan van het minimum) en het bestaan van $k$ -de machtswortels via de poolvorm; Liouville gebruikt het hele apparaat van Cauchy (Goursat — zelf een argument met genestelde compacte verzamelingen — en de afschattingen van Cauchy) plus dezelfde coërciviteit. De compactheid van gesloten schijven is de gemeenschappelijke, onherleidbare kern.

7. Is $\deg P \geq 1$ , kies dan een wortel $\alpha$ (vraag 5); deel: $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ , met $\deg Q = n - 1$ ; induceer. Gelijke factoren groeperen geeft $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ met $\sum m_i = n$ .

8. Voor reële $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , en de multipliciteiten komen overeen (neem de toegevoegde van de ontbinding): niet-reële wortels komen in paren en dragen $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ bij, een reële kwadratische veelterm met discriminant $< 0$ . Vandaar de vermelde lijst irreducibelen, en een reële veelterm van oneven graad, met een even aantal niet-reële wortels, moet er een reële hebben. Rechtstreeks bewijs: $P(x) \to \pm\infty$ als $x \to \pm\infty$ (oneven graad, zeg met positieve kopcoëfficiënt), dus wisselt $P$ van teken en is de tussenwaardestelling van toepassing. Voor $X^3 - X - 1$ geven beide argumenten de enige reële wortel $\approx 1.3247$ (en een toegevoegd paar).

9. (i) $\chi_u \in \C[X]$ is niet constant: ze heeft een wortel $\lambda$ , en $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ geeft een eigenvector; de machinerie van de elementaire delers uit Stelling 3.18 is dan van toepassing op elke complexe matrix, want $\chi$ splitst altijd. (ii) Zij $P \in \bar\Q[X]$ niet-constant. Als veelterm over $\C$ heeft ze een wortel $z \in \C$ ; $z$ is algebraïsch over $\bar\Q$ , dus wegens de transitiviteit over $\Q$ (Gevolg 4.5), zodat $z \in \bar\Q$ : elke niet-constante veelterm over $\bar\Q$ heeft een wortel in $\bar\Q$ .

10. Over $\Q(\iu)$ faalt vraag 4 al: $k$ -de machtswortels hoeven niet te bestaan (geen $\sqrt2$ ), en zelfs met wortels faalt vraag 2 — een minimaliserende rij hoeft niet te convergeren, want $\Q$ mist de volledigheid; en op de weg van Liouville hebben de genestelde compacte driehoeken van Goursat over de punten van $\Q(\iu)$ een lege doorsnede. Beide bewijzen verbruiken de volledigheid van $\R$ (gelijkwaardig, via de convergentie van begrensde monotone rijen, haar ordevolledigheid); en de samenhang drijft de tussenwaardestelling achter de poolvorm aan. De uitspraak “ $\C$ is algebraïsch afgesloten” is algebra; elk bekend bewijs ervan is analyse, binnengesmokkeld via de definitie van $\R$ .

11. Volgens Stelling 16.10 in $a$ is $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ met

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

de afschattingen van Cauchy, in de weergegeven vorm na vermenigvuldiging met $n!$ . Is $\abs f \leq M$ op $\C$ , dan is voor elke $a$ en elke $r$ $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ als $r \to \infty$ , dus $f' \equiv 0$ en $f$ constant op het samenhangende $\C$ — Liouville teruggevonden.

12. Ontwikkel $f = \sum_kc_kz^k$ in $0$ (straal $\infty$ ). Voor $k > m$ is $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ als $r \to \infty$ , dus $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ is een veelterm van graad hoogstens $m$ .

13. $g = \eu^f$ is geheel met $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constant volgens vraag 11. Dan is $0 = g' = f'g$ met $g$ zonder nulpunten: dus $f' = 0$ en $f$ is constant.

14. Zij $M = \sup_K\abs f$ op het compacte gesloten eenheidsvierkant $K$ . Elke $z$ verschilt van een punt van $K$ door een element van $\Z + \iu\Z$ (trek de gehele delen af), en de twee periodiciteitsbetrekkingen itereren laat $f$ ongewijzigd: dus $\abs f \leq M$ op heel $\C$ , en vraag 11 maakt $f$ constant. Een niet-constante functie die onder het rooster invariant is, kan dus niet geheel zijn: de elliptische functies van de klassieke theorie moeten polen dragen — de historische poort naar Hoofdstuk 17.

15. Mist $f(\C)$ de schijf $D(a, r)$ , dan is $\abs{f(z) - a} \geq r$ voor alle $z$ , dus is $g = 1/(f - a)$ geheel met $\abs g \leq 1/r$ : constant volgens Liouville, en dus $f$ constant. Contrapositie: het beeld van een niet-constante gehele functie ontmoet elke schijf — het ligt dicht in $\C$ .

16. Kies $R$ met $\abs f \geq 1$ buiten $D(0, R)$ . De nulpunten van $f$ liggen in de compacte $\bar D(0, R)$ ; waren er oneindig veel, dan zouden ze zich daar ophopen, en zou Stelling 16.13 $f \equiv 0$ afdwingen — onmogelijk. Noem ze $z_1, \dots, z_p$ , met multipliciteiten $m_1, \dots, m_p$ , stel $M = \sum m_i$ en $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . Door elk nulpunt uit de machtreeks af te splitsen is $g = f/\Pi$ geheel en zonder nulpunten. Voor $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ is $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ en $\abs f \geq 1$ , dus $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; op de resterende compacte schijf is $1/g$ continu, dus begrensd: dus overal $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ . Volgens vraag 12 is $1/g$ een veelterm; ze heeft geen nulpunten, dus is ze volgens vraag 7 een constante $\neq 0$ , zeg $c$ : bijgevolg is $f = \frac1c\Pi$ een veelterm. Omgekeerd maakt vraag 1 elke niet-constante veelterm eigenlijk. En $\eu^z$ is terecht uitgesloten: langs $\R_-$ is $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ terwijl $\abs z \to \infty$ .

17. Parametriseer Stelling 16.9 in het middelpunt: met $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ en $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ is

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

reële delen nemen geeft de eigenschap van de gemiddelde waarde voor $u$ . Bereikt $u$ een maximum in een inwendig punt van het samenhangende $\Omega$ , dan bereikt $\abs{\eu^f} = \eu^u$ een inwendig maximum, zodat $\eu^f$ constant is volgens Stelling 16.14(2) en $u = \log\abs{\eu^f}$ constant. Op een begrensd gebied met continuïteit tot aan de rand is $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , precies als voor $\abs f$ .

18. Geval $\abs a > r$ . Kies $R$ met $r < R < \abs a$ : op de convexe schijf $D(0, R)$ is de functie $a - z$ holomorf en zonder nulpunten, en heeft $z \mapsto -1/(a - z)$ daar een primitieve $L$ (Stelling 16.8); na aanpassing van de constante geeft $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ dat $\eu^L = a - z$ : er bestaat dus een holomorfe logaritme, en $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . De eigenschap van de gemiddelde waarde uit vraag 17 in $0$ , met straal $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

Geval $\abs a < r$ . Uit $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ is het gemiddelde gelijk aan $\log r$ plus het gemiddelde van $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . De substitutie $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ en vervolgens — met $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ , waarbij het geval $a = 0$ triviaal is — de verschuiving $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (beide behouden de gemiddelden over een periode) maken daarvan het gemiddelde van $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : het eerste geval met $(a, r) = (1, \rho)$ , dat $\log 1 = 0$ geeft. Totaal: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ in beide gevallen.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , met elke wortel naar multipliciteit herhaald; middelen over $\theta$ en vraag 18 met $r = 1$ toepassen op elke wortel buiten de eenheidscirkel levert $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . Controles. Voor $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ voorspelt de formule $\log 2$ ; rechtstreeks is $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ , en het gemiddelde van $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ is $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : gemiddelde $\log 2$ . Voor $P = X^2 - X = X(X - 1)$ ligt de wortel $1$ op de cirkel; de formule voorspelt $0$ . Rechtstreeks is het gemiddelde van $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ gelijk aan $0$ , en met $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

De substitutie $u = 2v$ en $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ geven $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (elke helft is $J/2$ wegens de symmetrieën van $\sin$ ), dus $J = -\pi\log 2$ (de oneigenlijke integralen convergeren, want $\log\sin$ is integreerbaar in de uiteinden): het gemiddelde is $\log2 - \log2 = 0$ . De formule overleeft dus wortels op de cirkel.

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ is geheel en gelijk aan $1$ in $0$ : haar omgekeerde is holomorf nabij $0$ (op $\abs z < 2\pi$ zelfs, want de dichtstbijzijnde andere nulpunten van $\eu^z - 1$ zijn $\pm2\iu\pi$ ), dus is $\frac z{\eu^z-1}$ analytisch in $0$ . De twee reeksen vermenigvuldigen en in $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ de coëfficiënt van $z^n$ met $n \geq 1$ aflezen geeft

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

Achtereenvolgens: $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ . Pariteit: met $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ is

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ is even, dus $B_{2k+1} = 0$ voor $k \geq 1$ (de enige oneven coëfficiënt $B_1$ werd door $+\frac z2$ opgeslorpt). Vooruitwijzing: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ geeft $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ , zodat de laurentcoëfficiënten van de cotangens — en dus, volgens Hoofdstuk 17, elke $\zeta(2k)$ — door de getallen van Bernoulli worden beprijsd:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. Schrijf $f = \sum_nc_nz^n$ (straal $\infty$ ); dan is $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ geheel. Op $\R$ is $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , dus vallen $g$ en $f$ samen op een verzameling met ophopingspunten in het samenhangende $\C$ : Stelling 16.13 geeft $g \equiv f$ , dat wil zeggen $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (gelijkwaardig: alle $c_n$ zijn reëel). Voor een reële veelterm $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , en dezelfde identiteit toegepast op de reële afgeleiden $P', P'', \dots$ behoudt de multipliciteiten: niet-reële wortels vormen paren — de paring van vraag 8, analytisch herbewezen.

22. De ladder, samengesteld: begrensd $\Rightarrow$ constant (11); gedomineerd door $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ veelterm (12); reëel deel naar boven begrensd $\Rightarrow$ constant (13); dubbelperiodiek $\Rightarrow$ constant (14); een beeld dat een schijf mist $\Rightarrow$ constant (15); eigenlijk $\Rightarrow$ veelterm (16). Elke sport is de formule van Cauchy: de waarde in een punt is een gemiddelde over een cirkel, dus worden alle taylorcoëfficiënten beprijsd door de grootte van $f$ op grote cirkels, en vernietigt een groeiplafond de coëfficiënten en gros. Niets dergelijks bindt de reële $\mathcal C^\infty$ -functies: een bultfunctie (Stelling 12.9) is begrensd, heeft compacte drager en is wild niet-constant, en al haar afgeleiden verdwijnen in elk punt buiten de drager zonder dat de functie ergens in de buurt verdwijnt. Gladheid koppelt de afgeleiden in verschillende punten helemaal niet; holomorfie ketent elke afgeleide aan één integraal over een verre cirkel. Een lokale voorwaarde met een globale verklikker — daarom gehoorzamen gehele functies aan wet en orde.

23. $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ ontwikkelen en middelen doodt elke term met $k \neq l$ : het gemiddelde is $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . Neem eerst aan dat $P$ geen nulpunt op de eenheidscirkel heeft, zodat $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ continu is. De afschatting $\log t \leq t - 1$ toegepast op $t = \abs P^2/N$ geeft, na middelen,

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

dus is het meetkundig gemiddelde van $\abs P$ hoogstens $\sqrt N$ ; en vraag 19 identificeert dat meetkundig gemiddelde als $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : de ongelijkheid van Landau. Wortels op de cirkel: kies $r > 1$ verschillend van elke $\abs{\alpha_i}$ ; de veelterm $P(rX)$ , met wortels $\alpha_i/r$ buiten de eenheidscirkel en coëfficiënten $a_kr^k$ , voldoet aan de ongelijkheid; beide leden zijn continu in $r$ , en $r \to 1^+$ laten gaan geeft het algemene geval. Op $X^2 - X$ : de wortels zijn $0$ en $1$ , dus is het linkerlid $1$ en het rechterlid $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : juist, met marge.

24. Schrijf $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ met $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ geheel en $g(0) = 1$ . Omdat $\eu^z = 1$ precies op $2\pi\iu\Z$ , heeft $g$ geen nulpunt in $D(0, 2\pi)$ (voor $0 < \abs z < 2\pi$ omdat $\eu^z - 1 \neq 0$ , en in $0$ wegens $g(0) = 1$ ), dus is $h = 1/g$ holomorf op $D(0,2\pi)$ en convergeert haar taylorreeks in $0$ — per definitie $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — op de hele schijf: $\rho \geq 2\pi$ . Was $\rho > 2\pi$ , dan zou de som $S$ holomorf zijn op $D(0,\rho)$ , en ze valt samen met $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ op $0 < \abs z < 2\pi$ ; beide zijn holomorf op de samenhangende open verzameling $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ , dus vallen ze daar volgens de identiteitsstelling samen. Maar als $z \to 2\pi\iu$ , gaat $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (de teller naar $2\pi$ , de noemer naar $0$ ) terwijl $S$ continu is in $2\pi\iu$ : tegenspraak. Dus is $\rho$ precies $2\pi$ , en de formule van Hadamard geeft $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; omdat de oneven coëfficiënten vanaf $n = 3$ nul zijn, wordt de $\limsup$ door de even indices gedragen, wat de vermelde formule met $n = 2k$ is. Numeriek bij $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ en $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , dus $2\,(2k)!/ (2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ , tegenover $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ . De verhouding, $1.00025$ , is tot op de getoonde cijfers precies $\zeta(12)$ : de formule $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ uit de residurekening van Hoofdstuk 17 verklaart zowel de factor $2$ als het minieme overschot.

25. Grens van Cauchy: is $\abs z > 1 + M$ met $M = \max_k\abs{q_k}$ , dan is

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

dus $\abs{Q(z)} > 0$ : alle wortels liggen in $\overline D(0, 1+M)$ . De coëfficiënten van de $P_j$ convergeren en zijn dus door een $M$ begrensd: alle wortels van alle $P_j$ (en van $P$ ) liggen in de compacte $K = \overline D(0, 1 + M)$ . Zij $v_j \in K^n$ een vector die de wortels van $P_j$ met multipliciteit opsomt (vraag 7). Elke deelrij van $(v_j)$ heeft een verdere deelrij die naar een $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ convergeert; de coëfficiënten van $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ zijn op het teken na de elementaire symmetrische functies van $v_j$ — continu — dus convergeren ze langs die deelrij naar de coëfficiënten van $\prod_i(X - \beta_i)$ ; maar volgens de hypothese convergeren ze naar die van $P$ , dus is $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : elke deelrijlimiet van $(v_j)$ is een permutatie van de wortelvector van $P$ . Zou de paringsafstand $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ niet naar $0$ gaan, dan zou een deelrij $\delta_j \geq \varepsilon$ houden terwijl haar wortelvectoren naar een permutatie van de wortels van $P$ convergeren — wat er $\delta_j \to 0$ langs afdwingt: tegenspraak. Dus convergeren de multiverzamelingen van wortels. Scherpte: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ heeft de wortels $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : de dubbele wortel verplaatst zich over $\sqrt\varepsilon$ , bijvoorbeeld over $10^{-2}$ voor $\varepsilon = 10^{-4}$ . In het algemeen geldt, is $\alpha$ een $m$ -voudige wortel, nabij $\alpha$ $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , zodat een verstoring ter grootte $\varepsilon$ de tros wortels ongeveer $\varepsilon^{1/m}$ verplaatst: höldercontinuïteit met exponent $\frac1m$ en niet beter — en daarom houdt een numerieke oplosser nabij een dubbele wortel nog maar de helft van de werkcijfers over.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst