Wat is Determinanten? — Wiskunde

Definitie 2.16 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 2 — Lineaire algebra

De determinant van een familie in een basis is $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; de determinant van een matrix $A$ is de determinant van haar kolommen in de canonieke basis — de permutatieformule hierboven; de determinant van een endomorfisme $u$ is de scalair $\det u$ met

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{voor alle } x_i

(het linkerlid is alternerend $n$ -lineair en dus een veelvoud van $\det_\mathcal{B}$ volgens Stelling 2.14; de factor hangt niet van $\mathcal{B}$ af).

Voorbeelden

Voorbeeld 2.19 (Een determinant volgens de regels)

Zij $J \in \mathcal{M}_n(K)$ de matrix die uitsluitend uit enen bestaat, en $a \in K$ ; we berekenen $\det(aI_n + J)$ met het zojuist bewezen gereedschap. Elke kolom van $aI_n + J$ telt op dezelfde manier op: tel alle rijen bij de eerste op (de determinant verandert daar niet van — een veelvoud van de ene rij bij een andere optellen voegt een term met een herhaalde richting toe, en die wordt door het alterneren gedood). De eerste rij wordt $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; haal $a + n$ met de lineariteit in die rij buiten haakjes en trek daarna de eerste kolom van elke andere kolom af: wat overblijft is driehoekig met diagonaal $(1, a, \dots, a)$ . Bijgevolg is

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

Het inzicht om te onthouden: de nulpunten $a = 0$ (met multipliciteit $n - 1$ ) en $a = -n$ zeggen dat $J$ de eigenwaarde $0$ heeft met multipliciteit $n - 1$ en de eigenwaarde $n$ één keer — het spectrum van de rang-één-matrix $J$ , een hoofdstuk te vroeg (Hoofdstuk 3 maakt dit systematisch).

Voorbeeld 2.20 (Een determinant volgens de permutatieformule)

Voor een matrix met veel nullen is de formule op zichzelf al bruikbaar: in

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

is de enige permutatie die elementen ongelijk aan nul oppikt de $4$ -cykel $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ , die kolom $1$ met rij $4$ verbindt, enzovoort; er geldt $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , dus $\det A = -abcd$ . (Controleer het met drie kolomverwisselingen die tot een diagonaalmatrix leiden.)

Voorbeeld 2.21 (Een Vandermonde volgens de productformule)

Voor de knooppunten $0, 1, 2$ (gebruikt door kwadratuurformules zoals die van Oefening 2.4) is de Vandermonde-determinant van Oefening 2.11 in één oogopslag te evalueren:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

en rechtstreekse ontwikkeling langs de eerste kolom geeft $1\cdot(4 - 2) = 2$ : dat klopt. Dat de determinant bij verschillende knooppunten niet verdwijnt, is de hele theorie van de interpolatie in één determinant: de evaluatievormen $P \mapsto P(a_i)$ vormen precies dan een basis van de duale ruimte wanneer deze determinant niet nul is, dat wil zeggen: altijd, bij verschillende $a_i$ — Voorbeeld 2.2, nu gekwantificeerd.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen