Wat is volledige metrische ruimte?

Voorbeeld 4.8 (Cauchy zonder limiet)

Zij $X = \Q$ met de gebruikelijke afstand; de decimale afkappingen van $\sqrt2$,

voldoen aan $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: het is een cauchyrij in $\Q$. Een limiet in $\Q$ zou ook de limiet in $\R$ zijn, namelijk $\sqrt2 \notin \Q$: in $X$ bestaat dus geen limiet. Onvolledigheid is de aanwezigheid van zulke “spooklimieten”; de volledigheid van $\R$ werd in het volume van bachelorjaar 1 juist zo geconstrueerd dat elke cauchyrij een thuis krijgt.

Voorbeeld 4.13 (Een integraalvergelijking)

Beschouw op $X = C(\intcc{0}{1})$ (volledig, Stelling 4.9) de afbeelding $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. Voor $f, g \in X$ is

dus is $T$ een $\frac12$-contractie: zij heeft precies één continu vast punt — de oplossing van $f' = \frac f2$ met $f(0) = 1$, namelijk $\eu^{x/2}$. Dit schema wordt, geïndustrialiseerd, de stelling van Cauchy–Lipschitz in Hoofdstuk 16.

Voorbeeld 4.14 (Een numeriek vast punt: $x = \cos x$)

Op de volledige ruimte $X = \intcc{0}{1}$ beeldt $f = \cos$ de ruimte $X$ in $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ af, en is zij een contractie: volgens de middelwaardeongelijkheid geldt

Banach: er is precies één oplossing van $x = \cos x$ in $\intcc01$ (en dus in $\R$: elk reëel vast punt ligt in $\intcc{-1}{1}$ en, na één toepassing, in $\intcc{\cos 1}{1}$), en de iteratie $x_{n+1} = \cos x_n$ convergeert er vanuit elk beginpunt naar: $x_\infty \approx 0.739085$, het beroemde getal dat men krijgt door op een rekenmachine op de cosinustoets te blijven rammen. De foutgrens voorspelt een afname als $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — ongeveer één cijfer per $13$ toetsaanslagen; de a-posteriorigrens uit de weekendopgave van dit hoofdstuk (vraag 14) certificeert elke stap onderweg.

Voorbeeld 7.5 (De identiteit verstoren)

Zij $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitz met $k < 1$. Dan is $\varphi = \mathrm{id} + g$ een homeomorfisme van $\R^d$ op $\R^d$. Injectiviteit, met een kwantitatieve modulus:

Surjectiviteit is de vastepuntstelling: $\varphi(x) = y$ oplossen betekent $x = y - g(x)$, en $x \mapsto y - g(x)$ is een $k$-contractie van het volledige $\R^d$ — voor elke $y$ bestaat er precies één oplossing $x = \psi(y)$. De getoonde ongelijkheid maakt de inverse $\psi$ lipschitz met constante $\frac1{1-k}$: een homeomorfisme, met expliciete grenzen op beide moduli. Deze onschuldig ogende uitspraak is de motor binnen de inverse-functiestelling (Hoofdstuk 20): nabij een punt waar $Df$ inverteerbaar is, is $f$ een inverteerbare lineaire afbeelding plus een kleine lipschitz-verstoring, en het voorbeeld van vandaag doet de rest. Het kwantificeert ook de numerieke robuustheid: een stelsel dat minder wordt verstoord dan de marge van de inverse, blijft oplosbaar, en de oplossing verschuift met hoogstens $\frac{1}{1-k}$ maal de verstoring.