Wat is Veelterm, graad? — Wiskunde

Definitie 8.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 8 — Veeltermen

Een veelterm met coëfficiënten in $K$ is een formele som

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

met $a_k \in K$ die vanaf een zekere index alle nul zijn. Met de natuurlijke optelling en het product

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k

is de verzameling $K[X]$ een commutatieve ring. De graad $\deg P$ van $P \neq 0$ is de grootste $n$ met $a_n \neq 0$ ; $a_n$ is de kopcoëfficiënt ( $P$ heet monisch wanneer $a_n = 1$ ), en per afspraak is $\deg 0 = -\infty$ . Elke veelterm definieert door substitutie een functie $x \mapsto P(x)$ op $K$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 8.4

Deel $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ door $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Reken na: trek $X^2 B$ af, dan $X B$ , dan $-B$ ; de rest $-3X + 2$ heeft graad $1 < 2$ .)

Voorbeeld 8.9 (De truc met de hulpveelterm)

Zij $P$ de veelterm van graad $\leq n$ met

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

hij bestaat en is uniek wegens de Lagrange-interpolatie hieronder. Wat is $P(n+1)$ ? Werk de noemers weg: de veelterm $Q = (X+1)P - X$ heeft graad $\leq n + 1$ en is nul in de $n + 1$ punten $0, 1, \dots, n$ , dus volgens Stelling 8.7 is

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

voor een zekere constante $c$ . Evalueer waar $Q$ onafhankelijk bekend is: in $X = -1$ is $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , terwijl het product $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ oplevert; dus $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Evalueer nu in $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

zodat $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : gelijk aan $1$ voor oneven $n$ en aan $\frac{n}{n+2}$ voor even $n$ — de interpolerende veelterm zet het patroon $\frac{n+1}{n+2}$ dus niet voort. De truc om te onthouden: codeer de gegevens als wortels van een hulpveelterm, bepaal de onbekende constante in een punt buiten de gegevens, en oogst.

Voorbeeld 8.13 (Meervoudige wortels opsporen met een ggd)

Ook zonder één bekende wortel levert Propositie 8.11 nog een globale detector van meervoudige wortels: $a$ is een meervoudige wortel van $P$ precies wanneer het een gemeenschappelijke wortel van $P$ en $P'$ is, zodat $P$ een meervoudige wortel (in $\C$ ) heeft precies wanneer $\gcd(P, P') \neq 1$ — berekenbaar met het algoritme van Euclides zonder ook maar iets op te lossen. Voorbeeld: $P = X^3 - 3X + 2$ met $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . De wortels $\pm1$ van $P'$ in $P$ toetsen: $P(1) = 0$ maar $P(-1) = 4$ , dus

\gcd(P, P') = X - 1 :

de wortel $1$ is meervoudig; tweemaal delen geeft $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . De ggd meldt zelfs de volledige verzameling meervoudige wortels, elk met een multipliciteit die één lager ligt — het feit dat elk computeralgebrasysteem uitbuit om “kwadraatvrij te ontbinden” vóór er naar wortels gejaagd wordt, en de veeltermtegenhanger van de argumenten zonder meervoudige wortels in Oefening 8.9.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen