Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

23Euclidische ruimten

Door een inwendig product toe te voegen aan een reële vectorruimte verwerf je de meetkundige begrippen — lengtes, hoeken, orthogonaliteit, afstanden — en één stelling die boven het hoofdstuk uittorent: elke deelruimte laat een orthogonale projectie toe, berekenbaar via Gram–Schmidt, die de kortste afstand realiseert. De isometrieën van het vlak sluiten het hoofdstuk en de meetkunde van het jaar af.

Doorheen dit hoofdstuk is $E$ een reële vectorruimte.

23.1 Inwendige producten

Definitie 23.1

Een inwendig product op $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ die bilineair, symmetrisch en positief definiet is ( $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ). Een eindigdimensionale ruimte die hiermee is uitgerust, is een euclidische ruimte. De norm van $x$ is $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , en $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Voorbeeld 23.2

Op $\R^n$ : het canonieke product $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Op $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (positieve definietheid is Stelling 15.7 (4)). Op $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , of $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ over $n+1$ verschillende punten.

Voorbeeld 23.3 (De hoek tussen twee veeltermen)

Zodra een inwendig product gekozen is, hebben om het even welke twee niet-nulvectoren een hoek, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (een legitieme cosinus door Cauchy–Schwarz). Voor $X$ en $X^2$ in $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

een hoek van ongeveer $14.5$ graden — op $\intcc{0}{1}$ zijn de grafieken van $x$ en $x^2$ “bijna evenwijdig” in de kwadratisch-gemiddelde zin, en dat is waarom het verwijderen van die gedeelde richting (Gram–Schmidt, hieronder) enkel de kleine correctie $X^2 - X + \frac16$ overlaat.

Stelling 23.4 (Cauchy–Schwarz; eigenschappen van de norm)

Voor alle $x, y \in E$ :

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $x, y$ evenredig zijn. Bijgevolg voldoet $\norm\cdot$ aan de driehoeksongelijkheid $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (en $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ , $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). Bovendien:

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

Bewijs. Als $y = 0$ is alles triviaal. Anders is de kwadratische vorm $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ voor alle $t$ groter dan of gelijk aan $0$ : haar discriminant is $\leq 0$ , wat Cauchy–Schwarz is; gelijkheid betekent een dubbele wortel $t_0$ , d.w.z. $x + t_0 y = 0$ (definietheid): evenredigheid. Driehoeksongelijkheid: uitwerken,

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

waarbij de tussenstap Cauchy–Schwarz is; gelijkheid dwingt $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ af, het positieve geval van gelijkheid, d.w.z. evenredigheid met niet-negatieve verhouding — meetkundig ontaardt de driehoek enkel wanneer de twee vectoren dezelfde kant op wijzen. De laatste twee identiteiten zijn directe uitwerkingen (de tweede, de polarisatie-identiteit, wint het product terug uit de norm). ∎

23.2 Orthogonaliteit

Definitie 23.5

$x \perp y$ wanneer $\langle x, y \rangle = 0$ . Een familie is orthogonaal wanneer haar vectoren paarsgewijs orthogonaal zijn, orthonormaal wanneer bovendien elke norm $1$ heeft. Het orthogonaal complement van een deelruimte $F$ is

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

een deelruimte van $E$ .

Propositie 23.6

(Pythagoras) Als $x \perp y$ dan $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . Een orthogonale familie van niet-nulvectoren is vrij. In een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_n)$ zijn de coördinaten en producten

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

Bewijs. Pythagoras: uitwerken. Vrijheid: neem $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ van een nulcombinatie: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . Coördinaten: schrijf $x = \sum \lambda_i e_i$ en neem het product met $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ; de twee formules volgen uit bilineariteit. ∎

Voorbeeld 23.7 (Orthonormale coördinaten, met een Parseval-controle)

Ontwikkel $x = (1, 2, 3)$ in de orthonormale basis van Oefening 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Geen stelsel op te lossen — drie inwendige producten:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificering via de normformule van de propositie:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Deze controle op de som van gekwadrateerde coördinaten (een eindige Parseval-identiteit) kost enkele seconden en vangt teken- en normalisatiefouten met bijna zekerheid op — maak er een gewoonte van telkens wanneer een orthonormale ontwikkeling wordt berekend; haar oneindigdimensionale versie, voor de Fouriercoëfficiënten van Voorbeeld 23.14, is een stelling van het volume van Jaar 3.

Stelling 23.8 (Gram–Schmidt)

Elke euclidische ruimte heeft orthonormale bases. Expliciet: uit om het even welke basis $(v_1, \dots, v_n)$ produceert het recept

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_n)$ met $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ voor elke $k$ .

Bewijs. Inductie op $k$ . Stel $(e_1, \dots, e_{k-1})$ orthonormaal en opspannend $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ : de vector $w_k$ is per constructie orthogonaal op elke $e_j$ ( $j < k$ ) ( $\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle$ ), en $w_k \neq 0$ aangezien $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . Normeren behoudt de orthogonaliteit; de uitspraak over het opspansel geldt aangezien $e_k$ een combinatie is van $v_k$ en eerdere $e_i$ ’s, inverteerbaar. ∎

Voorbeeld 23.9 (Gram–Schmidt op veeltermen, volledig)

Orthonormaliseer $(1, X, X^2)$ in $\R_2[X]$ met $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Stap 1: $\norm{1}^2 = 1$ , dus $e_1 = 1$ . Stap 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , en $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Stap 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ en

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{dus}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Haar norm werd berekend in Oefening 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , waaruit $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . De veeltermen $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ zijn, op schaal na, de eerste Legendre-veeltermen van het interval $\intcc{0}{1}$ ; de constructie gaat één graad per keer verder, elke nieuwe veelterm orthogonaal op al haar voorgangers. Merk op hoe het algoritme eerder werk hergebruikt: de projectie die bij stap 3 wordt afgetrokken, is precies de beste affiene benadering van $X^2$ gevonden in Voorbeeld 23.12 — Gram–Schmidt is geïtereerde orthogonale projectie.

Stelling 23.10 (Orthogonale projectie)

Zij $F$ een deelruimte van de euclidische ruimte $E$ . Dan

E = F \oplus F^{\perp},

en de bijbehorende projectie $p_F$ op $F$ (de orthogonale projectie) wordt, in om het even welke orthonormale basis $(e_1, \dots, e_k)$ van $F$ , gegeven door $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . Zij realiseert de afstand tot $F$ : voor alle $y \in F$ ,

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

met gelijkheid enkel voor $y = p_F(x)$ ; men schrijft $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

Bewijs. Neem een orthonormale basis $(e_i)_{i \leq k}$ van $F$ (Stelling 23.8 binnen $F$ ) en stel $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . Dan is $x - \pi(x) \perp e_j$ voor elke $j$ (dezelfde opheffing als hierboven), dus $x - \pi(x) \in F^\perp$ : $E = F + F^\perp$ . En $F \cap F^\perp = \{0\}$ : zo’n vector voldoet aan $\langle x, x\rangle = 0$ . Dus de som is direct en $\pi = p_F$ .

Afstand: voor $y \in F$ , ontbind $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ , orthogonale stukken ( $F^\perp$ en $F$ ); Pythagoras:

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

gelijkheid dan en slechts dan als $y = p_F(x)$ . ∎

Voorbeeld 23.11 (Projecties verlengen nooit)

Pas Pythagoras toe op de opsplitsing $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $x \in F$ . In een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_k)$ van $F$ luidt dit $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (een Bessel-ongelijkheid): hoeveel orthonormale richtingen men ook meet, de gekwadrateerde coördinaten overschrijden nooit de gekwadrateerde lengte — vergelijk de exacte gelijkheid van Voorbeeld 23.7 wanneer de familie een volledige basis is. Deze eenregelige ongelijkheid is wat Fouriercoëfficiënten sommeerbaar maakt in het volume van Jaar 3; hier verklaart ze al waarom het toevoegen van meer basisfuncties aan een kleinste-kwadratenpassing het residu enkel kan verkleinen.

Voorbeeld 23.12 (Beste kwadratische benadering)

In $C(\intcc{0}{1})$ met $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ is de veelterm van graad $\leq 1$ die het dichtst bij $f(x) = x^2$ ligt in de bijbehorende (kwadratisch-gemiddelde) afstand $p_F(f)$ , waarbij $F = \R_1[X]$ . Gram–Schmidt op $(1, X)$ : $e_1 = 1$ , $w_2 = X - \frac12$ , $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ , $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . Dan

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

met gebruik van $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . Het idee van de “kleinste kwadraten” in één regel lineaire algebra.

Methode 23.13 (Drie wegen naar een afstand $d(x, F)$ )

Orthonormale basis van $F$ : dan is $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ en, via Pythagoras,

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

vaak goedkoper dan $x - p_F(x)$ zelf te berekenen.
Normaalvergelijkingen: met om het even welke voortbrengende familie van $F$ , los $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ op voor de coëfficiënten van $p$ (Oefening 23.5) — geen orthonormalisatie nodig.
Via het complement: als $F^\perp$ kleiner is dan $F$ (bv. $F$ een hypervlak, $F^\perp$ een rechte $\operatorname{Vect}(n)$ ), projecteer dan in plaats daarvan op $F^\perp$ :

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

wat de klassieke formule voor de afstand tot een vlak is (Oefening 25.8 gebruikt haar).

Weg 3 is een bijzonder geval van een algemene reflex: projecteer altijd op diegene van $F$ , $F^\perp$ met de kleinste dimensie.

Voorbeeld 23.14 (Trigonometrische orthogonaliteit: een Fourier-voorproefje)

Op $C(\intcc{0}{2\pi})$ met $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ is de familie

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

orthonormaal: bijvoorbeeld $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ voor $p \neq q$ (lineariseer het product tot $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ en integreer over volledige perioden), terwijl $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . De orthogonale projectie op het opspansel van de eerste $2N + 1$ van deze functies heeft daarom coördinaten $\langle f, e_i\rangle$ — integralen tegen cosinussen en sinussen. Dit zijn de Fouriercoëfficiënten van $f$ , en de projectie is haar beste kwadratisch-gemiddelde trigonometrische benadering; het volume van Jaar 3 bestudeert hun convergentie. De orthogonaliteit doet al het werk: de formules voor de coëfficiënten zijn woordelijk Stelling 23.10.

23.3 Isometrieën van het vlak

Definitie 23.15

Een endomorfisme $u$ van een euclidische ruimte is een isometrie (of orthogonale afbeelding) wanneer het de norm behoudt: $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ — equivalent (polarisatie) behoudt het het inwendig product; equivalent voldoet zijn matrix $A$ in een orthonormale basis aan $A^{\mathsf T} A = I$ . Isometrieën vormen een groep, de orthogonale groep $O(E)$ .

Voorbeeld 23.16 (Een isometrie op het zicht herkennen)

Is $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ orthogonaal? Kolommen: normen $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ en $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; product $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Ja — en $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , dus het is de rotatie $R_\theta$ met $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (de “ $3$ - $4$ - $5$ -rotatie”, waarvan de hoek geen opmerkelijke breuk van $\pi$ is). Daarentegen heeft $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ een uiterlijk met determinant-op-schaal maar een niet-eenheids eerste kolom ( $\frac1{\sqrt2}$ ): niet orthogonaal — de determinant $\pm1$ alleen certificeert niets, de kolommen moeten worden gecontroleerd.

Stelling 23.17 (Isometrieën van het vlak)

In een orthonormale basis van een euclidisch vlak zijn de matrices van isometrieën precies

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{rotatie over hoek } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

waarbij de laatste de spiegeling in de rechte is die hoek $\frac\theta2$ maakt met de eerste basisvector.

Bewijs. Zij $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ met $A^{\mathsf T}A = I$ : de kolommen zijn eenheidsvectoren en orthogonaal. De eerste kolom is $(\cos\theta, \sin\theta)$ voor een zekere $\theta$ ; de tweede, eenheidsvector en orthogonaal erop, is $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . Het teken $+$ geeft $R_\theta$ ; het teken $-$ geeft $S_\theta$ . Men gaat na dat $S_\theta^2 = I$ en dat de vector $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ vast blijft terwijl zijn orthogonale wordt omgekeerd: een spiegeling. (En $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : de rotatiegroep is de hoekgroep — vergelijk Stelling 3.7.) ∎

Twee spiegelingen maken een rotatie: M = (2, 0.5) spiegelen in de x-as, daarna in de rechte y = x, landt op (-0.5, 2) — het beeld van M onder de rotatie over hoek π2 om de oorsprong, tweemaal de hoek π4 tussen de assen. Het weekendprobleem maakt van dit beeld de samenstellingswet van alle isometrieën van het vlak. — Twee spiegelingen maken een rotatie: $M = (2, 0.5)$ spiegelen in de $x$ -as, daarna in de rechte $y = x$ , landt op $(-0.5, 2)$ — het beeld van $M$ onder de rotatie over hoek $\frac\pi2$ om de oorsprong, *tweemaal* de hoek $\frac\pi4$ tussen de assen. Het weekendprobleem maakt van dit beeld de samenstellingswet van alle isometrieën van het vlak.

Opmerking 23.18 (Veelvoorkomende valkuilen)

De projectieformule vereist een orthonormale basis: voor een louter voortbrengende familie $(v_i)$ van $F$ is de som $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ niet $p_F(x)$ (test $F = \R^2$ , $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_1 + e_2$ ); met een niet-orthonormale familie los je in plaats daarvan de normaalvergelijkingen op (Methode 23.13 (2)). Orthogonale families moeten $0$ vermijden om vrij te zijn: de nulvector is orthogonaal op alles, inclusief op zichzelf — vrijheid in Propositie 23.6 vereist niet-nulvectoren. $F^\perp$ hangt af van het inwendig product: in $\R_1[X]$ is het complement van $\operatorname{Vect}(X)$ voor $\int_0^1 PQ$ niet de constanten maar $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — bereken $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ; “loodrecht” is betekenisloos zolang het product niet benoemd is. Werk $\norm{x + y}$ niet lineair uit: de juiste identiteit is $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ; de kruisterm verdwijnt enkel bij orthogonaliteit (Pythagoras), en de driehoeksongelijkheid is een ongelijkheid. Eenheidsvectoren naar eenheidsvectoren sturen volstaat niet: $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ beeldt beide canonieke basisvectoren af op de eenheidsvector $(1, 0)$ , maar toch $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : geen isometrie. De definitie eist $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ ; in matrixtermen $A^{\mathsf T}A = I$ , d.w.z. kolommen die eenheidsvectoren en paarsgewijs orthogonaal zijn — beide voorwaarden, samen gecontroleerd.

Opmerking 23.19 (Waar het inwendig product naartoe gaat)

Orthogonale projectie is de meest toegepaste stelling van het hoofdstuk: ze ligt aan de basis van de kleinste kwadraten (het weekendprobleem van Hoofdstuk 25 bouwt er regressierechten op), van Fouriercoëfficiënten (Voorbeeld 23.14), en van de normaalvergelijkingen van Oefening 23.5, die de numerieke analyse op grote schaal oplost. De classificatie $R_\theta / S_\theta$ wordt hieronder voltooid: het weekendprobleem classificeert alle afstandsbewarende transformaties van het vlak, lineair of niet, en hun eindige groepen — de wiskunde van rozetten en regelmatige veelhoeken. In het volume van Jaar 2 ontmoet het inwendig product de eigenwaardetheorie (symmetrische matrices, kwadratische vormen); in Jaar 3 wordt oneindigdimensionale euclidische meetkunde de theorie van de Hilbertruimte.

Opmerking 23.20 (Perspectieven binnen Boek 3)

Twee bruggen verlaten dit hoofdstuk. Achterwaarts, naar de lineaire algebra: de Gram-matrix van Oefening 23.11 verpakt inwendige producten in de determinantmachinerie van Hoofdstuk 22, en orthogonale projectie is de bijzondere projector van Hoofdstuk 20 waarvan de kern $F^\perp$ is — al haar algebra ( $p^2 = p$ , $s = 2p - \mathrm{id}$ ) geldt woordelijk, nu met de bonus dat $\norm{x - p(x)}$ een afstand is. Voorwaarts, naar de analyse: Hoofdstuk 24 meet booglengte met de norm van dit hoofdstuk en classificeert niets zonder zijn isometrieën; Hoofdstuk 25 leest de gradiënt af via Cauchy–Schwarz (steilste stijging) en sluit het volume af met de kleinste kwadraten, wat Stelling 23.10 toegepast op een datavector in $\R^n$ is. Het inwendig product is het punt waar de algebra en de analyse van het boek elkaar eindelijk ontmoeten.

23.4 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

In $\R^3$ canoniek: bereken $\langle u, v\rangle$ , $\norm u$ , $\norm v$ en de hoek tussen $u = (1, 2, 2)$ en $v = (2, -2, 1)$ . Verifieer Cauchy–Schwarz numeriek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ; $\norm u = \norm v = 3$ . De vectoren zijn orthogonaal: de hoek is $\frac\pi2$ . Cauchy–Schwarz: $\abs 0 \leq 9$ , ruim.

Oefening 23.2 ★

Bewijs de parallellogramidentiteit $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ in om het even welke euclidische ruimte, en gebruik haar om aan te tonen dat de sup-norm op $\R^2$ , $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ , niet van een inwendig product komt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

Werk beide gekwadrateerde normen uit met de identiteit van Stelling 23.4 en tel op: de kruistermen heffen elkaar op.

Sup-norm: neem $x = (1, 0)$ , $y = (0, 1)$ . Dan $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ en de identiteit zou $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ vereisen: onwaar. Een norm die de parallellogramidentiteit schendt, komt van geen enkel inwendig product.

Oefening 23.3 ★

Pas Gram–Schmidt toe op $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ in canoniek $\R^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ , dus $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ; normeren geeft $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$ .

(Controle: de paarsgewijze producten verdwijnen; elk heeft norm $1$ .)

Oefening 23.4 ★

In $\R^3$ , zij $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . Bepaal $F^\perp$ (vergelijking en basis), de matrix van $p_F$ in de canonieke basis, en $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ , basis $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . Met $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ : $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ , dus

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Voor $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ en $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

Oefening 23.5 ★★

(Normaalvergelijkingen) Zij $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ en $x = (1, 1, 4)$ . Bereken $p_F(x)$ door $\langle x - p, v \rangle = 0$ op te lossen voor de twee voortbrengers ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ ), daarna $d(x, F)$ . Waarom is Gram–Schmidt hier onnodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

Zij $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . Orthogonaliteit van $x - p$ op de voortbrengers:

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

d.w.z. $2\alpha + \beta = 5$ en $\alpha + 2\beta = 5$ : $\alpha = \beta = \frac53$ . Dus $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ en

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

Gram–Schmidt is onnodig omdat de bepalende eigenschap van de projectie — $x - p \perp F$ — zelf een lineair stelsel is (“normaalvergelijkingen”) op de coëfficiënten in om het even welke voortbrengende familie.

Oefening 23.6 ★★

Bewijs, voor $f$ continu op $\intcc{0}{1}$ ,

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

met het geval van gelijkheid, als een instantie van Cauchy–Schwarz in $C(\intcc{0}{1})$ . Bewijs daarna $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ voor reële $a_i$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

Cauchy–Schwarz met $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

gelijkheid dan en slechts dan als $f$ evenredig is met $1$ , d.w.z. constant. Discrete versie: in $\R^n$ met $x = (a_1, \dots, a_n)$ , $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ , gelijkheid dan en slechts dan als alle $a_i$ gelijk zijn.

Oefening 23.7 ★★

Bewijs dat voor elke deelruimte $F$ van een euclidische ruimte: $(F^{\perp})^{\perp} = F$ en $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

Volgens Stelling 23.10 is $E = F \oplus F^\perp$ , dus de dimensies tellen op: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . De insluiting $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ is onmiddellijk (vectoren van $F$ zijn orthogonaal op alles in $F^\perp$ ). Dimensies: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ; een insluiting met gelijke (eindige) dimensies is een gelijkheid (Stelling 19.14).

Oefening 23.8 ★★

Identificeer de isometrieën van het vlak met matrices

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(type, hoek of as). Bereken $A^8$ en $B^2$ zonder matrices te vermenigvuldigen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

$A$ : kolommen eenheidsvectoren, determinant $+1$ : een rotatie, met $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\theta = \frac\pi4$ . Bijgevolg $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : determinant $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : een spiegeling $S_\theta$ met $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ ; haar as maakt de hoek $\frac\theta2$ met de $x$ -as, d.w.z. de rechte gericht door $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concreet is de as $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ , aangezien $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . Als spiegeling, $B^2 = I$ .

Oefening 23.9 ★★★

(Minimum als projectie) Bereken

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

met behulp van Voorbeeld 23.12: het minimum is $\norm{f - p_F(f)}^2$ voor $f = X^2$ , $F = \R_1[X]$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

De grootheid is $\norm{f - (a + bX)}^2$ in $C(\intcc{0}{1})$ met het integraal-inwendig-product: minimaal precies bij de orthogonale projectie $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (Voorbeeld 23.12). Het minimum is

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

Uitwerken: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . Dus het minimum is gelijk aan $\dfrac{1}{180}$ .

Oefening 23.10 ★★★

Zij $u$ een isometrie van een euclidische ruimte $E$ . Bewijs dat $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ , en leid $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ af. (Bereken $\langle x - u(x), y\rangle$ voor $u(y) = y$ , met gebruik van het behoud van het product.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

Zij $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (d.w.z. $u(y) = y$ ) en $x \in E$ . Dan, met gebruik van het behoud van het inwendig product ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ):

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

elke vector van $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ is orthogonaal op elke vaste vector.

Daarom is $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ , en volgens de dimensiestelling plus Oefening 23.7 hebben beide dimensie $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : ze zijn gelijk. Dan $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

Oefening 23.11 ★★

(Gram-matrix) Voor vectoren $v_1, \dots, v_k$ van een euclidische ruimte, zij $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ hun Gram-matrix.

Bewijs dat $(v_1, \dots, v_k)$ vrij is dan en slechts dan als $G$ inverteerbaar is. (Als $Gc = 0$ , bereken $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
Bereken de Gram-matrix van $(1, X, X^2)$ in $\R_2[X]$ met $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , herken de Hilbert-matrix $H_3$ van het weekendprobleem van Hoofdstuk 22, en besluit vrijheid uit $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

Stel $Gc = 0$ voor een kolom $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . Dan

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

dus $\sum_i c_i v_i = 0$ . Als de familie vrij is, dwingt dit $c = 0$ af: $G$ is inverteerbaar. Omgekeerd geeft een niet-triviale relatie $\sum_j c_j v_j = 0$ , door het product met elke $v_i$ te nemen, de niet-triviale relatie $Gc = 0$ : $G$ singulier. Vrijheid $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : de Gram-matrix van $(1, X, X^2)$ is precies de Hilbert-matrix $H_3$ , waarvan de determinant $\frac1{2160}$ werd berekend in het weekendprobleem van Hoofdstuk 22: niet nul, dus de monomen zijn vrij — zoals verwacht, maar nu gecertificeerd door een getal.

Oefening 23.12 ★★★

Zij $u$ een endomorfisme van een euclidische ruimte $E$ waarvan de matrix $A$ in een orthonormale basis zowel orthogonaal ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) als symmetrisch ( $A^{\mathsf T} = A$ ) is.

Toon $A^2 = I$ , en leid (via Stelling 20.15) $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ af.
Toon dat de twee deelruimten orthogonaal zijn, zodat $u$ de orthogonale symmetrie is ten opzichte van $F = \ker(u - \mathrm{id})$ : spiegeling door $F$ . (Voor $u(x) = x$ en $u(y) = -y$ , bereken $\langle x, y\rangle$ op twee manieren.)
Classificeer het geval van het vlak: welke matrices van Stelling 23.17 zijn symmetrisch, en wat zijn de bijbehorende afbeeldingen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , dus $u^2 = \mathrm{id}$ : $u$ is een symmetrie, en Stelling 20.15 (2) geeft $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Zij $u(x) = x$ en $u(y) = -y$ . Aangezien $u$ het inwendig product behoudt,

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

dus $\langle x, y\rangle = 0$ : de twee eigenruimten zijn orthogonaal, $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ voor $F = \ker(u - \mathrm{id})$ , en $u$ is de orthogonale symmetrie ten opzichte van $F$ .
$R_\theta$ is symmetrisch dan en slechts dan als $-\sin\theta = \sin\theta$ , d.w.z. $\theta \in \{0, \pi\}$ : de afbeeldingen $\pm\mathrm{id}$ (identiteit en centrale symmetrie). Elke $S_\theta$ is symmetrisch: de spiegelingen in een rechte. Dit zijn precies de orthogonale symmetrieën van het vlak, met $F$ gelijk aan het hele vlak, $\{0\}$ , of de spiegelas.

23.5 Probleem: isometrieën van het vlak en de stelling van Leonardo

Probleem 23.1

Een isometrie van het vlak is om het even welke afbeelding $f \colon \R^2 \to \R^2$ die afstanden behoudt: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ voor alle $x, y$ — zonder aanname van lineariteit. Dit probleem bewijst dat zulke afbeeldingen precies de translaties, rotaties, spiegelingen en glijspiegelingen zijn (de classificatie van de isometrieën van het vlak), berekent hun samenstellingen, en bepaalt al hun eindige groepen: de stelling van Leonardo, de wiskunde achter rozetpatronen. Vanaf Deel II identificeren we $\R^2$ met $\C$ (Hoofdstuk 3): het canonieke inwendig product is $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ en de norm is de modulus.

Deel I — Elke isometrie is affien.

Ga na dat translaties $t_a(x) = x + a$ , lineaire isometrieën, en al hun samenstellingen isometrieën zijn, en dat de isometrieën een groep vormen onder samenstelling.
Zij $f$ een isometrie met $f(0) = 0$ . Toon dat $f$ normen behoudt, en vervolgens — door polarisatie, Stelling 23.4 — dat $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ voor alle $x, y$ .
Nog steeds met $f(0) = 0$ : werk $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ en $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ uit met behulp van vraag 2, en besluit dat $f$ lineair is: $f \in O(\R^2)$ .
Leid af dat elke isometrie $f$ zich op unieke wijze schrijft als $f = t_a \circ g$ met $a = f(0)$ en $g$ een lineaire isometrie (het lineaire deel van $f$ ).
Noem $f$ direct als $\det g = 1$ , indirect als $\det g = -1$ . Toon dat het lineaire deel van een samenstelling de samenstelling van de lineaire delen is, en formuleer de resulterende tekenregel (direct/indirect stellen samen als $+1/-1$ ).

Deel II — De vier types. Via Stelling 23.17 zijn de lineaire isometrieën van $\C$ $z \mapsto az$ en $z \mapsto a\conj z$ met $\abs a = 1$ ; dus elke isometrie van het vlak is

f(z) = a z + b \quad (\text{direct}) \qquad\text{of}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indirect}), \qquad \abs a = 1 .

Verifieer het woordenboek: $R_\theta$ is $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ en $S_\theta$ is $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (controleer beide op $1$ en $\iu$ ).
(Direct geval) Zij $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Toon: als $a = 1$ , is $f$ een translatie; als $a \neq 1$ , heeft $f$ het unieke vaste punt $z_0 = b/(1 - a)$ en $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : een rotatie met centrum $z_0$ en hoek $\arg a$ .
(Indirect geval) Zij $f(z) = a\conj z + b$ , en $v = a\conj b + b$ . Toon $f \circ f = t_v$ en $f \circ t_v = t_v \circ f$ . Als $v = 0$ : toon dat het midden van $z$ en $f(z)$ een vast punt is, en dat $f$ een spiegeling in een rechte is. Als $v \neq 0$ : toon dat $r = t_{-v/2}\circ f$ een spiegeling is waarvan de as evenwijdig is met $v$ , zodat $f = t_{v/2} \circ r$ een glijspiegeling is. Besluit: elke isometrie van het vlak is een translatie, een rotatie, een spiegeling of een glijspiegeling (de classificatie van de isometrieën van het vlak).
(Samenstellingen) Toon: de samenstelling van rotaties over hoeken $\alpha$ en $\beta$ is een rotatie over hoek $\alpha + \beta$ (een translatie als $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ ); de samenstelling van twee spiegelingen is een rotatie over tweemaal de hoek tussen de assen (een translatie als de assen evenwijdig zijn).
Leid af dat elke isometrie van het vlak een samenstelling van hoogstens drie spiegelingen is.

Deel III — Drie identificaties.

Classificeer $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ volledig: type, as, glijvector.
Zij $f$ de rotatie over hoek $\frac\pi2$ om $0$ en $g$ de rotatie over hoek $\frac\pi2$ om $1$ . Bereken $g \circ f$ in de vorm $z \mapsto az + b$ en identificeer haar (type, centrum, hoek).
Zij $r_1(z) = \conj z$ (spiegeling in de reële as) en $r_2(z) = \iu\conj z$ (spiegeling in de rechte $y = x$ ). Bereken $r_2 \circ r_1$ en controleer vraag 9 op dit voorbeeld.

Deel IV — Eindige groepen: de stelling van Leonardo. Zij $G$ een eindige groep van isometrieën van het vlak.

Toon dat isometrieën baricentra behouden: als $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ en $f = t_a \circ g$ ( $g$ lineair), dan $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
Stel $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ voor om het even welke gekozen $x_0$ . Toon dat elke $h \in G$ $c$ vast houdt: een eindige groep van isometrieën heeft een gemeenschappelijk vast punt.
Leid af dat men, na conjugatie met $t_{-c}$ , mag aannemen dat $G \subseteq O(\R^2)$ . Zij $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ; toon dat ofwel $G = G^{+}$ ofwel $G^{+}$ precies index $2$ heeft in $G$ (geef een bijectie $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
Toon dat een eindige groep van rotaties om $c$ cyclisch is: kies onder haar elementen de rotatie $R_{\theta_0}$ met de kleinste hoek $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ , en gebruik euclidische deling van hoeken om te bewijzen dat ze voortbrengt; besluit $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ en $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
Stel $G \neq G^{+}$ en kies een spiegeling $s \in G$ . Toon $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , dat $s r s = r^{-1}$ voor elke rotatie $r \in G^{+}$ , en dat alle $n$ elementen van $sG^{+}$ spiegelingen zijn: $G$ is de diëdergroep $D_n$ van orde $2n$ .
Besluit (stelling van Leonardo): elke eindige groep van isometrieën van het vlak is cyclisch $C_n$ of diëdrisch $D_n$ .

Deel V — Dividenden, en synthese.

Toon rechtstreeks dat een eindige groep van isometrieën geen enkele translatie en geen enkele glijspiegeling anders dan de identiteit kan bevatten (beschouw de machten van zo’n element).
Zij $P_n$ de regelmatige $n$ -hoek met als hoekpunten de $n$ -de eenheidswortels ( $n \geq 3$ ). Toon dat haar symmetriegroep precies $D_n$ is: de $n$ rotaties $z \mapsto \omega^k z$ en de $n$ spiegelingen $z \mapsto \omega^k \conj z$ , $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , en geen andere.
Geef vlakke figuren waarvan de symmetriegroepen $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ en $C_3$ respectievelijk zijn.
Som de acht elementen op van de symmetriegroep van het vierkant met hoekpunten $\pm1, \pm\iu$ als afbeeldingen $z \mapsto \omega^k z$ of $z \mapsto \omega^k\conj z$ , en geef de as van elk van de vier spiegelingen.
Zij $f, g$ rotaties over dezelfde hoek $\theta \notin 2\pi\Z$ om verschillende centra $c_1 \neq c_2$ . Bereken $f\circ g - g\circ f$ puntsgewijs en toon $f\circ g \neq g\circ f$ ; toon bovendien dat $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ een niet-triviale translatie is, zodat elke groep die $f$ en $g$ bevat oneindig is — een tweede verklaring van het enige centrum in de stelling van Leonardo.
Synthese, in vier zinnen: welke twee structurele resultaten willekeurige isometrieën tot lineaire algebra herleiden (vragen 3–4) en willekeurige eindige groepen tot deelgroepen van $O(2)$ (vraag 15); wat de volledige lijst van isometrieën van het vlak is en welke invarianten (direct/indirect, vaste punten) de vier types scheiden; waarom de samenstellingsregels van vraag 9 spiegelingen de voortbrengers van alles maken; en wat de stelling van Leonardo toevoegt op de eindige schaal. Noem de twee stellingen die in Delen II en IV bewezen zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ; een lineaire isometrie behoudt normen, dus afstanden ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ ); en een samenstelling van afstandsbewarende afbeeldingen behoudt afstanden. Elke isometrie is injectief (verschillende punten blijven op positieve afstand) en, via de classificatie hieronder, bijectief; identiteit en inversen zijn isometrieën: een groep.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . Polarisatie:

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. Uitwerken met vraag 2 (elk product van $f$ ’s gelijk aan het product van de argumenten):

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

zoals een directe controle aantoont; evenzo $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . Dus $f(x + y) = f(x) + f(y)$ en $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : $f$ is lineair, en normbewarend: $f \in O(\R^2)$ .

4. Stel $a = f(0)$ en $g = t_{-a}\circ f$ : een isometrie die $0$ vast houdt, dus een lineaire isometrie (vraag 3), en $f = t_a \circ g$ . Uniciteit: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ geëvalueerd in $0$ geeft $a = a'$ , dan $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ , aangezien $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ voor lineaire $g$ . Dus het lineaire deel van een samenstelling is $g \circ g'$ , en $\det(gg') = \det g \det g'$ : direct $\circ$ direct $=$ indirect $\circ$ indirect $=$ direct, direct $\circ$ indirect $=$ indirect — de tekenregel van $\pm1$ .

6. $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ stuurt $1$ naar $(\cos\theta, \sin\theta)$ en $\iu$ naar $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : de kolommen van $R_\theta$ . En $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ stuurt $1$ naar $(\cos\theta, \sin\theta)$ en $\iu$ naar $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : de kolommen van $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . $a \neq 1$ : de vergelijking van het vaste punt $az_0 + b = z_0$ heeft de unieke oplossing $z_0 = b/(1 - a)$ , en dan

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

in het referentiestelsel met $z_0$ als centrum is $f$ de vermenigvuldiging met $a = \eu^{\iu\arg a}$ : de rotatie met centrum $z_0$ en hoek $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : $f^2 = t_v$ . Commutatie: $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ en $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ , dus $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

Geval $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . Voor om het even welke $z$ voldoet het midden $m = \frac{z + f(z)}2$ (isometrieën zijn immers affien, Deel I) aan $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : vaste punten bestaan. Door te conjugeren met de translatie naar een vast punt wordt $f$ een lineaire indirecte isometrie, d.w.z. een zekere $S_\theta$ (Stelling 23.17): een spiegeling in een rechte.

Geval $v \neq 0$ : $r = t_{-v/2}\circ f$ is indirect en

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(met gebruik van de commutatie), dus $r$ is een spiegeling, en $f = t_{v/2}\circ r$ . Haar as is evenwijdig met $v$ : $r$ commuteert met $t_v$ (zowel $f$ als $t_{v/2}$ doen dat), dus $t_v$ beeldt de as (de vaste rechte van $r$ ) op zichzelf af, wat $v$ dwingt haar te richten. Bijgevolg is $f$ een glijspiegeling met glijvector $v/2$ . Elke isometrie is nu geclassificeerd: translatie of rotatie (direct), spiegeling of glijspiegeling (indirect).

9. Rotaties $f(z) = az + b$ , $g(z) = a'z + b'$ met $a = \eu^{\iu\alpha}$ , $a' = \eu^{\iu\beta}$ : $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ heeft lineaire coëfficiënt $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : een rotatie over hoek $\alpha + \beta$ volgens vraag 7, of een translatie wanneer $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . Spiegelingen $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ met $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (as onder hoek $\theta_i/2$ ):

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

direct met hoek $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : tweemaal de hoek tussen de assen; evenwijdige assen ( $\theta_1 = \theta_2$ ) geven een translatie.

10. Een rotatie met centrum $c$ en hoek $\theta$ is het product van twee spiegelingen in rechten door $c$ die hoek $\theta/2$ maken (vraag 9, achterstevoren gelezen); een translatie $t_v$ is het product van twee spiegelingen in evenwijdige rechten orthogonaal op $v$ op afstand $\norm v/2$ ; een spiegeling is één spiegeling; een glijspiegeling is een spiegeling samengesteld met een translatie, dus drie. Maximum: drie.

11. $a = \iu$ , $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : een glijspiegeling met glijvector $v/2 = 1 + \iu$ . De spiegeling $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ is $r(z) = \iu\conj z$ , waarvan de as de rechte onder hoek $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ is: de rechte $y = x$ . Dus $f$ is de glijspiegeling met as $y = x$ en vector $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ en $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ , dus

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

lineaire coëfficiënt $-1 = \eu^{\iu\pi}$ , een rotatie over hoek $\pi$ (een halve draai), met centrum $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : de rotatie over hoek $\frac\pi2$ om $0$ . De assen (de reële as, hoek $0$ ; de rechte $y = x$ , hoek $\frac\pi4$ ) snijden elkaar onder hoek $\frac\pi4$ , en tweemaal dat is $\frac\pi2$ : vraag 9 bevestigd.

14. Met $f = t_a\circ g$ , $g$ lineair, en $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. Voor $h \in G$ , met gebruik van vraag 14 (de coëfficiënten $\frac1{\abs G}$ tellen op tot $1$ ):

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

omdat $g \mapsto hg$ een bijectie van $G$ op zichzelf is.

16. De conjugaten $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) vormen een groep van isometrieën die $0$ vast houden, dus van lineaire isometrieën (vraag 3): een eindige deelgroep van $O(\R^2)$ . Als een zekere $s \in G$ indirect is, stuurt de afbeelding $g \mapsto sg$ $G^+$ injectief in $G\setminus G^+$ en is $h \mapsto s^{-1}h$ haar inverse (tekenregel van vraag 5): $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ; anders $G = G^+$ .

17. Als $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ , is het $C_1$ . Schrijf anders haar elementen als $R_\theta$ , $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ , en zij $\theta_0$ de kleinste positieve hoek die voorkomt. Voor $R_\theta \in G^{+}$ geeft euclidische deling $\theta = k\theta_0 + \rho$ met $0 \leq \rho < \theta_0$ $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ , dus $\rho = 0$ door minimaliteit: $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . Door $2\pi$ op dezelfde manier door $\theta_0$ te delen volgt $2\pi = n\theta_0$ : $G^{+} \cong C_n$ , voortgebracht door de rotatie over hoek $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ door het tellen van vraag 16. Met $s(z) = a\conj z$ en $r(z) = \omega z$ (lineaire vormen, na vraag 16; $\abs a = \abs\omega = 1$ ):

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

Elk element $sr^k$ van $sG^{+}$ is indirect en voldoet aan $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : een involutieve indirecte isometrie die $c$ vast houdt, d.w.z. een spiegeling. Dus $G$ bestaat uit $n$ rotaties en $n$ spiegelingen met de relaties $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ , $srs = r^{-1}$ : de diëdergroep $D_n$ .

19. Combinerend: een eindige groep van isometrieën van het vlak houdt een punt $c$ vast (vraag 15), herleidt tot een eindige deelgroep van $O(2)$ (vraag 16), en is $C_n$ als ze enkel rotaties bevat (vraag 17), $D_n$ anders (vraag 18): stelling van Leonardo.

20. Een translatie $t_v \neq \mathrm{id}$ heeft machten $t_{kv}$ , allemaal verschillend ( $kv$ paarsgewijs verschillend voor $v \neq 0$ ): oneindige orde. Een glijspiegeling $f$ heeft $f^2 = t_v$ met $v \neq 0$ : opnieuw oneindige orde. Geen van beide past in een eindige groep — consistent met vragen 15–19, die enkel rotaties en spiegelingen opleverden.

21. De $2n$ afbeeldingen behouden de verzameling hoekpunten: $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ en $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ; als isometrieën behouden ze de veelhoek (segmenten gaan naar segmenten). Omgekeerd behoudt een symmetrie het baricentrum $0$ van de hoekpunten (vraag 14), is dus lineair, en permuteert de hoekpunten (dit zijn de punten van de veelhoek op maximale afstand van $0$ ). Een lineaire isometrie die het hoekpunt $1$ naar $\omega^k$ stuurt, is $z \mapsto \omega^k z$ als direct, $z \mapsto \omega^k\conj z$ als indirect (haar matrix is bepaald door één kolom en het teken): hoogstens $2n$ symmetrieën, dus precies de $D_n$ hierboven.

22. $C_1$ : een ongelijkbenige driehoek (geen niet-triviale symmetrie). $D_1$ : een gelijkbenige, niet-gelijkzijdige driehoek (één spiegeling). $D_2$ : een niet-vierkante rechthoek (identiteit, de halve draai om het centrum, de twee asspiegelingen). $C_3$ : een triskelion — drie congruente gebogen armen bevestigd met tussenpozen van $120$ graden; de buiging doodt elke spiegeling maar laat de rotaties van orde $3$ over.

23. Met $\omega = \iu$ : de rotaties $z \mapsto z$ , $\iu z$ , $-z$ , $-\iu z$ (hoeken $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ ), en de spiegelingen

z \mapsto \conj z \ (\text{as } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

de twee diagonalen en de twee middelloodlijnen van het vierkant — de diëdergroep $D_4$ , van orde $8$ .

24. Schrijf $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ en $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . Dan

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

dus $f g \neq g f$ . Beide samenstellingen hebben lineaire coëfficiënt $a^2$ , dus $(fg)\circ(gf)^{-1}$ heeft lineaire coëfficiënt $1$ : het is de translatie over $fg(z) - gf(z)$ , de niet-nulconstante hierboven. Een groep die $f$ en $g$ bevat, bevat deze translatie en al haar machten: ze is oneindig. Twee rotatiecentra zijn er één te veel voor een eindige groep — het meetkundige hart van de stelling van Leonardo.

25. (i) Vragen 3–4 tonen dat elke afstandsbewarende afbeelding affien is met orthogonaal lineair deel, en vraag 15 pint elke eindige groep vast aan een vast punt: beide resultaten zetten metrische meetkunde om in lineaire algebra in de oorsprong. (ii) De volledige lijst is translatie, rotatie, spiegeling, glijspiegeling; de determinant van het lineaire deel scheidt direct van indirect, en het bestaan van vaste punten scheidt de twee types binnen elke pariteit. (iii) Volgens vraag 9 stellen twee spiegelingen elke rotatie of translatie samen, dus spiegelingen brengen de hele groep voort — hoogstens drie volstaan voor elke isometrie. (iv) Op de eindige schaal overleven slechts twee families, de cyclische en de diëdrische groepen, en dat is waarom rozetornamenten in precies twee soorten komen (met of zonder spiegelassen). Deel II bewees de classificatie van de isometrieën van het vlak; Deel IV bewees de stelling van Leonardo.