Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Bachelor Year 1

23Euclidische ruimten

Een inwendig product aan een reële vectorruimte toevoegen koopt de meetkundige begrippen — lengten, hoeken, orthogonaliteit, afstanden — en één stelling die boven het hoofdstuk uittorent: elke deelruimte laat een orthogonale projectie toe, berekenbaar met Gram–Schmidt, die de kortste afstand realiseert. De isometrieën van het vlak sluiten het hoofdstuk en de meetkunde van het jaar af.

Overal is $E$ een reële vectorruimte.

23.1 Inwendige producten

Definitie 23.1

Een inwendig product op $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ die bilineair, symmetrisch en positief definiet is ( $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ). Een eindigdimensionale ruimte die zo is uitgerust, heet een euclidische ruimte. De norm van $x$ is $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , en $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Voorbeeld 23.2

Op $\R^n$ : het canonieke product $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . Op $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (de positieve definietheid is Stelling 15.7 (4)). Op $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , of $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ over $n+1$ verschillende punten.

Voorbeeld 23.3 (De hoek tussen twee veeltermen)

Zodra een inwendig product is gekozen, hebben alle twee vectoren ongelijk aan nul een hoek, via $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (een geoorloofde cosinus dankzij Cauchy–Schwarz). Voor $X$ en $X^2$ met $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

een hoek van ongeveer $14.5$ graden — op $\intcc{0}{1}$ zijn de grafieken van $x$ en $x^2$ “bijna evenwijdig” in kwadratisch-gemiddelde zin, en daarom laat het verwijderen van die gedeelde richting (Gram–Schmidt, hieronder) alleen de kleine correctie $X^2 - X + \frac16$ over.

Stelling 23.4 (Cauchy–Schwarz; eigenschappen van de norm)

Voor alle $x, y \in E$ geldt

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $x, y$ evenredig zijn. Bijgevolg voldoet $\norm\cdot$ aan de driehoeksongelijkheid $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (en $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ , $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). Bovendien:

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

Bewijs. Is $y = 0$ , dan is alles triviaal. Anders is de kwadratische uitdrukking $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ voor alle $t$ $\geq 0$ : haar discriminant is $\leq 0$ , en dat is Cauchy–Schwarz; gelijkheid betekent een dubbele wortel $t_0$ , dus $x + t_0 y = 0$ (definietheid): evenredigheid. Driehoeksongelijkheid: werk uit,

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

waarbij de middelste stap Cauchy–Schwarz is; gelijkheid dwingt $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ af, het positieve gelijkheidsgeval, dus evenredigheid met een niet-negatieve verhouding — meetkundig ontaardt de driehoek alleen wanneer de twee vectoren dezelfde kant op wijzen. De laatste twee identiteiten zijn rechtstreekse uitwerkingen (de tweede, de polarisatie-identiteit, wint het product terug uit de norm). ∎

23.2 Orthogonaliteit

Definitie 23.5

$x \perp y$ wanneer $\langle x, y \rangle = 0$ . Een familie heet orthogonaal wanneer haar vectoren paarsgewijs orthogonaal zijn, en orthonormaal wanneer bovendien elk van hen norm $1$ heeft. Het orthogonaal complement van een deelruimte $F$ is

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

een deelruimte van $E$ .

Propositie 23.6

(Pythagoras) Is $x \perp y$ , dan is $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . Een orthogonale familie van vectoren ongelijk aan nul is vrij. In een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_n)$ luiden de coördinaten en de producten

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

Bewijs. Pythagoras: werk uit. Vrijheid: neem $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ van een nulcombinatie: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . Coördinaten: schrijf $x = \sum \lambda_i e_i$ en neem het product met $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ; de twee formules volgen uit de bilineariteit. ∎

Voorbeeld 23.7 (Orthonormale coördinaten, met een Parseval-controle)

Ontwikkel $x = (1, 2, 3)$ in de orthonormale basis van Oefening 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Er valt geen stelsel op te lossen — drie inwendige producten:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificering met de normformule van de propositie:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Deze controle met de som van de kwadraten van de coördinaten (een eindige identiteit van Parseval) kost seconden en vangt teken- en normalisatiefouten vrijwel zeker op — maak er een gewoonte van telkens wanneer een orthonormale ontwikkeling wordt berekend; haar oneindigdimensionale versie, voor de fouriercoëfficiënten van Voorbeeld 23.14, is een stelling van het volume van bachelorjaar 3.

Stelling 23.8 (Gram–Schmidt)

Elke euclidische ruimte heeft orthonormale bases. Expliciet: uit elke basis $(v_1, \dots, v_n)$ brengt het recept

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_n)$ voort met $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ voor elke $k$ .

Bewijs. Inductie op $k$ . Neem aan dat $(e_1, \dots, e_{k-1})$ orthonormaal is en $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ opspant: de vector $w_k$ is per constructie orthogonaal met elke $e_j$ ( $j < k$ ) ( $\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle$ ), en $w_k \neq 0$ omdat $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . Normaliseren behoudt de orthogonaliteit; de uitspraak over het opspansel geldt omdat $e_k$ een combinatie is van $v_k$ en de eerdere $e_i$ , op omkeerbare wijze. ∎

Voorbeeld 23.9 (Gram–Schmidt op veeltermen, volledig)

Orthonormaliseer $(1, X, X^2)$ in $\R_2[X]$ met $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Stap 1: $\norm{1}^2 = 1$ , dus $e_1 = 1$ . Stap 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , en $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Stap 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ en

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{dus}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Haar norm werd berekend in Oefening 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , waaruit $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . De veeltermen $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ zijn, op een schaalfactor na, de eerste Legendre-veeltermen van het interval $\intcc{0}{1}$ ; de constructie gaat één graad tegelijk verder, met elke nieuwe veelterm orthogonaal met al haar voorgangers. Merk op hoe het algoritme eerder werk hergebruikt: de projectie die in stap 3 wordt afgetrokken, is precies de beste affiene benadering van $X^2$ die in Voorbeeld 23.12 is gevonden — Gram–Schmidt is herhaalde orthogonale projectie.

Stelling 23.10 (Orthogonale projectie)

Zij $F$ een deelruimte van de euclidische ruimte $E$ . Dan is

E = F \oplus F^{\perp},

en wordt de bijbehorende projectie $p_F$ op $F$ (de orthogonale projectie) in elke orthonormale basis $(e_1, \dots, e_k)$ van $F$ gegeven door $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . Zij realiseert de afstand tot $F$ : voor alle $y \in F$ is

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

met gelijkheid alleen voor $y = p_F(x)$ ; men schrijft $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

Bewijs. Neem een orthonormale basis $(e_i)_{i \leq k}$ van $F$ (Stelling 23.8 binnen $F$ ) en stel $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . Dan is $x - \pi(x) \perp e_j$ voor elke $j$ (dezelfde opheffing als hierboven), dus $x - \pi(x) \in F^\perp$ : $E = F + F^\perp$ . En $F \cap F^\perp = \{0\}$ : zo’n vector voldoet aan $\langle x, x\rangle = 0$ . De som is dus direct en $\pi = p_F$ .

Afstand: ontbind voor $y \in F$ het verschil $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ in orthogonale stukken ( $F^\perp$ en $F$ ); Pythagoras geeft

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

met gelijkheid dan en slechts dan als $y = p_F(x)$ . ∎

Voorbeeld 23.11 (Projecties verlengen nooit)

Toepassing van Pythagoras op de splitsing $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ geeft

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $x \in F$ . In een orthonormale basis $(e_1, \dots, e_k)$ van $F$ luidt dit $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (een ongelijkheid van Bessel): hoeveel orthonormale richtingen men ook meet, de kwadraten van de coördinaten overtreffen nooit het kwadraat van de lengte — vergelijk de exacte gelijkheid van Voorbeeld 23.7 wanneer de familie een volledige basis is. Deze ongelijkheid van één regel maakt de fouriercoëfficiënten sommeerbaar in het volume van bachelorjaar 3; hier verklaart zij al waarom het toevoegen van meer basisfuncties aan een aanpassing met kleinste kwadraten de rest alleen kan verkleinen.

Voorbeeld 23.12 (Beste kwadratische benadering)

In $C(\intcc{0}{1})$ met $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ is de veelterm van graad $\leq 1$ die het dichtst bij $f(x) = x^2$ ligt in de bijbehorende (kwadratisch-gemiddelde) afstand gelijk aan $p_F(f)$ met $F = \R_1[X]$ . Gram–Schmidt op $(1, X)$ : $e_1 = 1$ , $w_2 = X - \frac12$ , $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ , $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . Dan is

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

met $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . Het idee van de “kleinste kwadraten” in één regel lineaire algebra.

Methode 23.13 (Drie wegen naar een afstand $d(x, F)$ )

Orthonormale basis van $F$ : dan is $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ en, volgens Pythagoras,

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

vaak goedkoper dan $x - p_F(x)$ zelf berekenen.
Normaalvergelijkingen: los met een willekeurige voortbrengende familie van $F$ de vergelijkingen $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ op voor de coëfficiënten van $p$ (Oefening 23.5) — geen orthonormalisatie nodig.
Via het complement: is $F^\perp$ kleiner dan $F$ (bijvoorbeeld $F$ een hypervlak en $F^\perp$ een rechte $\operatorname{Vect}(n)$ ), projecteer dan op $F^\perp$ in plaats daarvan:

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

wat de klassieke formule voor de afstand tot een vlak is (Oefening 25.8 gebruikt haar).

Weg 3 is een bijzonder geval van een algemene reflex: projecteer altijd op die van $F$ , $F^\perp$ met de kleinste dimensie.

Voorbeeld 23.14 (Goniometrische orthogonaliteit: een voorproef van Fourier)

Op $C(\intcc{0}{2\pi})$ met $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ is de familie

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

orthonormaal: zo is bijvoorbeeld $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ voor $p \neq q$ (lineariseer het product tot $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ en integreer over volledige perioden), terwijl $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . De orthogonale projectie op het opspansel van de eerste $2N + 1$ van deze functies heeft dus als coördinaten $\langle f, e_i\rangle$ — integralen tegen cosinussen en sinussen. Dat zijn de fouriercoëfficiënten van $f$ , en de projectie is haar beste goniometrische benadering in kwadratisch gemiddelde; het volume van bachelorjaar 3 bestudeert hun convergentie. De orthogonaliteit doet al het werk: de formules voor de coëfficiënten zijn woordelijk Stelling 23.10.

23.3 Isometrieën van het vlak

Definitie 23.15

Een endomorfisme $u$ van een euclidische ruimte is een isometrie (of orthogonale afbeelding) wanneer het de norm bewaart: $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ — equivalent (polarisatie) bewaart het het inwendige product; equivalent voldoet haar matrix $A$ in een orthonormale basis aan $A^{\mathsf T} A = I$ . De isometrieën vormen een groep, de orthogonale groep $O(E)$ .

Voorbeeld 23.16 (Een isometrie op het zicht herkennen)

Is $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ orthogonaal? Kolommen: normen $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ en $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; product $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Ja — en $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , dus is zij de rotatie $R_\theta$ met $\cos\theta = \frac35$ en $\sin\theta = \frac45$ (de “ $3$ - $4$ - $5$ -rotatie”, waarvan de hoek geen opmerkelijke breuk van $\pi$ is). Daarentegen heeft $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ wel het uiterlijk van een eenheidsdeterminant maar een eerste kolom zonder norm $1$ ( $\frac1{\sqrt2}$ ): niet orthogonaal — een determinant $\pm1$ alleen certificeert niets, de kolommen moeten worden gecontroleerd.

Stelling 23.17 (Isometrieën van het vlak)

In een orthonormale basis van een euclidisch vlak zijn de matrices van de isometrieën precies

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{rotatie over hoek } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

waarbij de laatste de spiegeling is in de rechte die een hoek $\frac\theta2$ maakt met de eerste basisvector.

Bewijs. Zij $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ met $A^{\mathsf T}A = I$ : de kolommen hebben norm $1$ en zijn orthogonaal. De eerste kolom is $(\cos\theta, \sin\theta)$ voor zekere $\theta$ ; de tweede, met norm $1$ en orthogonaal daarmee, is $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . Het teken $+$ geeft $R_\theta$ , het teken $-$ geeft $S_\theta$ . Men gaat na dat $S_\theta^2 = I$ en dat de vector $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ wordt vastgehouden terwijl zijn orthogonale wordt omgekeerd: een spiegeling. (En $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : de rotatiegroep is de hoekengroep — vergelijk Stelling 3.7.) ∎

Twee spiegelingen maken een rotatie: M = (2, 0.5) eerst in de x-as spiegelen en daarna in de rechte y = x landt in (-0.5, 2) — het beeld van M onder de rotatie over de hoek π2 rond de oorsprong, tweemaal de hoek π4 tussen de assen. De weekendopgave maakt van dit beeld de samenstellingswet van alle isometrieën van het vlak. — Twee spiegelingen maken een rotatie: $M = (2, 0.5)$ eerst in de $x$ -as spiegelen en daarna in de rechte $y = x$ landt in $(-0.5, 2)$ — het beeld van $M$ onder de rotatie over de hoek $\frac\pi2$ rond de oorsprong, *tweemaal* de hoek $\frac\pi4$ tussen de assen. De weekendopgave maakt van dit beeld de samenstellingswet van alle isometrieën van het vlak.

Opmerking 23.18 (Veelgemaakte fouten)

De projectieformule vereist een orthonormale basis: voor een louter voortbrengende familie $(v_i)$ van $F$ is de som $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ niet $p_F(x)$ (toets $F = \R^2$ , $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_1 + e_2$ ); los bij een niet-orthonormale familie in plaats daarvan de normaalvergelijkingen op (Methode 23.13 (2)). Orthogonale families moeten $0$ vermijden om vrij te zijn: de nulvector is orthogonaal met alles, ook met zichzelf — de vrijheid in Propositie 23.6 vereist vectoren ongelijk aan nul. $F^\perp$ hangt af van het inwendige product: in $\R_1[X]$ is het complement van $\operatorname{Vect}(X)$ voor $\int_0^1 PQ$ niet de constanten maar $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — bereken $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ; “loodrecht” is betekenisloos zolang het product niet is benoemd. Werk $\norm{x + y}$ niet lineair uit: de juiste identiteit is $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ; de kruisterm verdwijnt alleen bij orthogonaliteit (Pythagoras), en de driehoeksongelijkheid is een ongelijkheid. Eenheidsvectoren naar eenheidsvectoren sturen is niet genoeg: $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ beeldt beide canonieke basisvectoren af op de eenheidsvector $(1, 0)$ , en toch is $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : geen isometrie. De definitie eist $\norm{u(x)} = \norm x$ voor alle $x$ ; in matrixtaal $A^{\mathsf T}A = I$ , dus kolommen die norm $1$ hebben en paarsgewijs orthogonaal zijn — beide voorwaarden, samen gecontroleerd.

Opmerking 23.19 (Waar het inwendige product heen gaat)

De orthogonale projectie is de meest toegepaste stelling van het hoofdstuk: zij ligt ten grondslag aan de kleinste kwadraten (de weekendopgave van Hoofdstuk 25 bouwt er regressierechten op), aan de fouriercoëfficiënten (Voorbeeld 23.14) en aan de normaalvergelijkingen van Oefening 23.5, die de numerieke analyse op grote schaal oplost. De classificatie $R_\theta / S_\theta$ wordt hieronder voltooid: de weekendopgave classificeert alle afstandsbewarende transformaties van het vlak, lineair of niet, en hun eindige groepen — de wiskunde van rozetten en regelmatige veelhoeken. In het volume van bachelorjaar 2 ontmoet het inwendige product de theorie van de eigenwaarden (symmetrische matrices, kwadratische vormen); in bachelorjaar 3 wordt de oneindigdimensionale euclidische meetkunde de theorie van de hilbertruimten.

Opmerking 23.20 (Vooruitzichten binnen boek 3)

Twee bruggen vertrekken uit dit hoofdstuk. Achterwaarts, naar de lineaire algebra: de grammatrix van Oefening 23.11 verpakt inwendige producten in de machinerie van de determinanten van Hoofdstuk 22, en de orthogonale projectie is de bijzondere projector van Hoofdstuk 20 waarvan de kern $F^\perp$ is — al haar algebra ( $p^2 = p$ , $s = 2p - \mathrm{id}$ ) geldt woordelijk, nu met de bonus dat $\norm{x - p(x)}$ een afstand is. Voorwaarts, naar de analyse: Hoofdstuk 24 meet de booglengte met de norm van dit hoofdstuk en classificeert niets zonder zijn isometrieën; Hoofdstuk 25 leest de gradiënt via Cauchy–Schwarz (de steilste klim) en sluit het volume af met de kleinste kwadraten, die Stelling 23.10 toegepast op een gegevensvector in $\R^n$ zijn. Het inwendige product is het punt waar de algebra en de analyse van het boek elkaar eindelijk ontmoeten.

23.4 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

In het canonieke $\R^3$ : bereken $\langle u, v\rangle$ , $\norm u$ , $\norm v$ en de hoek tussen $u = (1, 2, 2)$ en $v = (2, -2, 1)$ . Ga Cauchy–Schwarz numeriek na.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ; $\norm u = \norm v = 3$ . De vectoren zijn orthogonaal: de hoek is $\frac\pi2$ . Cauchy–Schwarz: $\abs 0 \leq 9$ , ruimschoots.

Oefening 23.2 ★

Bewijs de parallellogramidentiteit $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ in elke euclidische ruimte, en gebruik haar om aan te tonen dat de supremumnorm op $\R^2$ , $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ , niet van een inwendig product komt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

Werk beide gekwadrateerde normen uit met de identiteit van Stelling 23.4 en tel op: de kruistermen heffen elkaar op.

Supremumnorm: neem $x = (1, 0)$ , $y = (0, 1)$ . Dan is $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ en zou de identiteit $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ vereisen: onwaar. Een norm die de parallellogramidentiteit schendt, komt van geen enkel inwendig product.

Oefening 23.3 ★

Pas Gram–Schmidt toe op $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ in het canonieke $\R^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ , dus $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ; na normaliseren $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$ .

(Controle: de paarsgewijze producten worden nul; elk heeft norm $1$ .)

Oefening 23.4 ★

Zij in $\R^3$ $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . Bepaal $F^\perp$ (vergelijking en basis), de matrix van $p_F$ in de canonieke basis, en $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ , met basis $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . Met $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ is $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ , dus

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Voor $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ en $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

Oefening 23.5 ★★

(Normaalvergelijkingen) Zij $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ en $x = (1, 1, 4)$ . Bereken $p_F(x)$ door $\langle x - p, v \rangle = 0$ voor de twee voortbrengers op te lossen ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ ), en daarna $d(x, F)$ . Waarom is Gram–Schmidt hier overbodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

Zij $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . Orthogonaliteit van $x - p$ met de voortbrengers:

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

dat wil zeggen $2\alpha + \beta = 5$ en $\alpha + 2\beta = 5$ : $\alpha = \beta = \frac53$ . Dus is $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ en

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

Gram–Schmidt is overbodig omdat de definiërende eigenschap van de projectie — $x - p \perp F$ — zelf een lineair stelsel is (de “normaalvergelijkingen”) voor de coëfficiënten in een willekeurige voortbrengende familie.

Oefening 23.6 ★★

Bewijs voor $f$ continu op $\intcc{0}{1}$ dat

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

met het gelijkheidsgeval, als een geval van Cauchy–Schwarz in $C(\intcc{0}{1})$ . Bewijs daarna $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ voor reële $a_i$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

Cauchy–Schwarz met $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

met gelijkheid dan en slechts dan als $f$ evenredig is met $1$ , dus constant. Discrete versie: in $\R^n$ met $x = (a_1, \dots, a_n)$ en $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ , met gelijkheid dan en slechts dan als alle $a_i$ gelijk zijn.

Oefening 23.7 ★★

Bewijs dat voor elke deelruimte $F$ van een euclidische ruimte geldt: $(F^{\perp})^{\perp} = F$ en $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

Volgens Stelling 23.10 is $E = F \oplus F^\perp$ , dus tellen de dimensies op: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . De insluiting $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ is onmiddellijk (de vectoren van $F$ zijn orthogonaal met alles in $F^\perp$ ). Dimensies: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ; een insluiting met gelijke (eindige) dimensies is een gelijkheid (Stelling 19.14).

Oefening 23.8 ★★

Identificeer de isometrieën van het vlak met matrices

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(type, hoek of as). Bereken $A^8$ en $B^2$ zonder matrices te vermenigvuldigen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

$A$ : de kolommen hebben norm $1$ en de determinant is $+1$ : een rotatie, met $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ en $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\theta = \frac\pi4$ . Bijgevolg is $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : determinant $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : een spiegeling $S_\theta$ met $\cos\theta = \frac35$ en $\sin\theta = \frac45$ ; haar as maakt de hoek $\frac\theta2$ met de $x$ -as, dus is het de rechte met richtingsvector $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concreet is de as $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ , want $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . Als spiegeling is $B^2 = I$ .

Oefening 23.9 ★★★

(Minimum als projectie) Bereken

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

met Voorbeeld 23.12: het minimum is $\norm{f - p_F(f)}^2$ voor $f = X^2$ en $F = \R_1[X]$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

De grootheid is $\norm{f - (a + bX)}^2$ in $C(\intcc{0}{1})$ met het integrale inwendige product: minimaal precies in de orthogonale projectie $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (Voorbeeld 23.12). Het minimum is

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

Uitwerken: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . Het minimum is dus $\dfrac{1}{180}$ .

Oefening 23.10 ★★★

Zij $u$ een isometrie van een euclidische ruimte $E$ . Bewijs dat $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ , en leid af dat $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ . (Bereken $\langle x - u(x), y\rangle$ voor $u(y) = y$ , met het behoud van het product.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

Zij $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (dus $u(y) = y$ ) en $x \in E$ . Dan geldt, met het behoud van het inwendige product ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ),

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

elke vector van $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ is orthogonaal met elke vaste vector.

Bijgevolg is $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ , en volgens de dimensiestelling samen met Oefening 23.7 hebben beide dimensie $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : zij zijn gelijk. Dan is $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

Oefening 23.11 ★★

(Grammatrix) Zij voor vectoren $v_1, \dots, v_k$ van een euclidische ruimte $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ hun grammatrix.

Bewijs dat $(v_1, \dots, v_k)$ vrij is dan en slechts dan als $G$ inverteerbaar is. (Is $Gc = 0$ , bereken dan $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
Bereken de grammatrix van $(1, X, X^2)$ in $\R_2[X]$ met $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , herken de Hilbert-matrix $H_3$ uit de weekendopgave van Hoofdstuk 22, en besluit tot de vrijheid uit $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

Stel $Gc = 0$ voor een kolom $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . Dan is

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

dus $\sum_i c_i v_i = 0$ . Is de familie vrij, dan dwingt dit $c = 0$ af: $G$ is inverteerbaar. Omgekeerd geeft een niet-triviale betrekking $\sum_j c_j v_j = 0$ , na het product met elke $v_i$ te hebben genomen, de niet-triviale betrekking $Gc = 0$ : $G$ is singulier. Vrijheid $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : de grammatrix van $(1, X, X^2)$ is precies de Hilbert-matrix $H_3$ , waarvan de determinant $\frac1{2160}$ in de weekendopgave van Hoofdstuk 22 is berekend: ongelijk aan nul, dus zijn de monomen vrij — zoals verwacht, maar nu met een getal gecertificeerd.

Oefening 23.12 ★★★

Zij $u$ een endomorfisme van een euclidische ruimte $E$ waarvan de matrix $A$ in een orthonormale basis zowel orthogonaal ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) als symmetrisch ( $A^{\mathsf T} = A$ ) is.

Toon aan dat $A^2 = I$ , en leid (via Stelling 20.15) af dat $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Toon aan dat de twee deelruimten orthogonaal zijn, zodat $u$ de orthogonale symmetrie ten opzichte van $F = \ker(u - \mathrm{id})$ is: de spiegeling door $F$ . (Bereken voor $u(x) = x$ en $u(y) = -y$ de waarde $\langle x, y\rangle$ op twee manieren.)
Classificeer het geval van het vlak: welke matrices uit Stelling 23.17 zijn symmetrisch, en welke afbeeldingen horen daarbij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , dus $u^2 = \mathrm{id}$ : $u$ is een symmetrie, en Stelling 20.15 (2) geeft $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Zij $u(x) = x$ en $u(y) = -y$ . Omdat $u$ het inwendige product bewaart, is

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

dus $\langle x, y\rangle = 0$ : de twee eigenruimten zijn orthogonaal, $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ met $F = \ker(u - \mathrm{id})$ , en $u$ is de orthogonale symmetrie ten opzichte van $F$ .
$R_\theta$ is symmetrisch dan en slechts dan als $-\sin\theta = \sin\theta$ , dus $\theta \in \{0, \pi\}$ : de afbeeldingen $\pm\mathrm{id}$ (de identiteit en de centrale symmetrie). Elke $S_\theta$ is symmetrisch: de spiegelingen in een rechte. Dat zijn precies de orthogonale symmetrieën van het vlak, met $F$ gelijk aan het hele vlak, aan $\{0\}$ of aan de spiegelas.

23.5 Opgave: isometrieën van het vlak en de stelling van Leonardo

Probleem 23.1

Een isometrie van het vlak is elke afbeelding $f \colon \R^2 \to \R^2$ die afstanden bewaart: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ voor alle $x, y$ — zonder enige aanname van lineariteit. Deze opgave bewijst dat zulke afbeeldingen precies de translaties, rotaties, spiegelingen en glijspiegelingen zijn (de classificatie van de isometrieën van het vlak), berekent hun samenstellingen, en bepaalt al hun eindige groepen: de stelling van Leonardo, de wiskunde achter rozetpatronen. Vanaf deel II vereenzelvigen wij $\R^2$ met $\C$ (Hoofdstuk 3): het canonieke inwendige product is $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ en de norm is de modulus.

Deel I — Elke isometrie is affien.

Ga na dat de translaties $t_a(x) = x + a$ , de lineaire isometrieën en al hun samenstellingen isometrieën zijn, en dat de isometrieën onder samenstelling een groep vormen.
Zij $f$ een isometrie met $f(0) = 0$ . Toon aan dat $f$ de normen bewaart, en daarna — met de polarisatie, Stelling 23.4 — dat $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ voor alle $x, y$ .
Nog steeds met $f(0) = 0$ : werk $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ en $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ uit met vraag 2, en besluit dat $f$ lineair is: $f \in O(\R^2)$ .
Leid af dat elke isometrie $f$ zich eenduidig schrijft als $f = t_a \circ g$ met $a = f(0)$ en $g$ een lineaire isometrie (het lineaire deel van $f$ ).
Noem $f$ direct als $\det g = 1$ , en indirect als $\det g = -1$ . Toon aan dat het lineaire deel van een samenstelling de samenstelling van de lineaire delen is, en formuleer de resulterende tekenregel (direct en indirect stellen samen als $+1$ en $-1$ ).

Deel II — De vier types. Via Stelling 23.17 zijn de lineaire isometrieën van $\C$ de afbeeldingen $z \mapsto az$ en $z \mapsto a\conj z$ met $\abs a = 1$ ; dus is elke isometrie van het vlak

f(z) = a z + b \quad (\text{direct}) \qquad\text{of}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indirect}), \qquad \abs a = 1 .

Ga het woordenboek na: $R_\theta$ is $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ en $S_\theta$ is $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (toets beide op $1$ en $\iu$ ).
(Directe geval) Zij $f(z) = az + b$ met $\abs a = 1$ . Toon aan: is $a = 1$ , dan is $f$ een translatie; is $a \neq 1$ , dan heeft $f$ het eenduidige vaste punt $z_0 = b/(1 - a)$ en geldt $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : een rotatie met centrum $z_0$ en hoek $\arg a$ .
(Indirecte geval) Zij $f(z) = a\conj z + b$ , en $v = a\conj b + b$ . Toon aan dat $f \circ f = t_v$ en $f \circ t_v = t_v \circ f$ . Is $v = 0$ : toon aan dat het midden van $z$ en $f(z)$ een vast punt is, en dat $f$ een spiegeling in een rechte is. Is $v \neq 0$ : toon aan dat $r = t_{-v/2}\circ f$ een spiegeling is waarvan de as evenwijdig is met $v$ , zodat $f = t_{v/2} \circ r$ een glijspiegeling is. Besluit: elke isometrie van het vlak is een translatie, een rotatie, een spiegeling of een glijspiegeling (de classificatie van de isometrieën van het vlak).
(Samenstellingen) Toon aan: de samenstelling van rotaties over de hoeken $\alpha$ en $\beta$ is een rotatie over de hoek $\alpha + \beta$ (een translatie als $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ ); de samenstelling van twee spiegelingen is een rotatie over tweemaal de hoek tussen de assen (een translatie als de assen evenwijdig zijn).
Leid af dat elke isometrie van het vlak een samenstelling van hoogstens drie spiegelingen is.

Deel III — Drie identificaties.

Classificeer $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ volledig: type, as, glijvector.
Zij $f$ de rotatie over de hoek $\frac\pi2$ rond $0$ en $g$ de rotatie over de hoek $\frac\pi2$ rond $1$ . Bereken $g \circ f$ in de vorm $z \mapsto az + b$ en identificeer haar (type, centrum, hoek).
Zij $r_1(z) = \conj z$ (de spiegeling in de reële as) en $r_2(z) = \iu\conj z$ (de spiegeling in de rechte $y = x$ ). Bereken $r_2 \circ r_1$ en toets vraag 9 aan dit voorbeeld.

Deel IV — Eindige groepen: de stelling van Leonardo. Zij $G$ een eindige groep isometrieën van het vlak.

Toon aan dat isometrieën zwaartepunten bewaren: is $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ en $f = t_a \circ g$ ( $g$ lineair), dan is $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
Stel $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ voor een willekeurig gekozen $x_0$ . Toon aan dat elke $h \in G$ het punt $c$ vasthoudt: een eindige groep isometrieën heeft een gemeenschappelijk vast punt.
Leid af dat men, na conjugatie met $t_{-c}$ , mag aannemen dat $G \subseteq O(\R^2)$ . Zij $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ; toon aan dat ofwel $G = G^{+}$ , ofwel $G^{+}$ precies index $2$ heeft in $G$ (geef een bijectie $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
Toon aan dat een eindige groep rotaties rond $c$ cyclisch is: kies onder haar elementen de rotatie $R_{\theta_0}$ met de kleinste hoek $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ , en bewijs met euclidische deling van hoeken dat zij voortbrengt; besluit dat $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ en $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
Stel $G \neq G^{+}$ en kies een spiegeling $s \in G$ . Toon aan dat $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , dat $s r s = r^{-1}$ voor elke rotatie $r \in G^{+}$ , en dat alle $n$ elementen van $sG^{+}$ spiegelingen zijn: $G$ is de diëdergroep $D_n$ van orde $2n$ .
Besluit (stelling van Leonardo): elke eindige groep isometrieën van het vlak is cyclisch, $C_n$ , of diëdrisch, $D_n$ .

Deel V — Dividenden, en synthese.

Toon rechtstreeks aan dat een eindige groep isometrieën geen enkele translatie en geen enkele glijspiegeling behalve de identiteit kan bevatten (beschouw de machten van zo’n element).
Zij $P_n$ de regelmatige $n$ -hoek met als hoekpunten de $n$ -de eenheidswortels ( $n \geq 3$ ). Toon aan dat haar symmetriegroep precies $D_n$ is: de $n$ rotaties $z \mapsto \omega^k z$ en de $n$ spiegelingen $z \mapsto \omega^k \conj z$ met $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , en geen andere.
Geef vlakke figuren waarvan de symmetriegroepen respectievelijk $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ en $C_3$ zijn.
Som de acht elementen van de symmetriegroep van het vierkant met hoekpunten $\pm1, \pm\iu$ op als afbeeldingen $z \mapsto \omega^k z$ of $z \mapsto \omega^k\conj z$ , en geef de as van elk van de vier spiegelingen.
Zij $f, g$ rotaties over dezelfde hoek $\theta \notin 2\pi\Z$ rond verschillende centra $c_1 \neq c_2$ . Bereken $f\circ g - g\circ f$ puntsgewijs en toon aan dat $f\circ g \neq g\circ f$ ; toon bovendien aan dat $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ een niet-triviale translatie is, zodat elke groep die $f$ en $g$ bevat oneindig is — een tweede verklaring voor het enkele centrum in de stelling van Leonardo.
Synthese, in vier zinnen: welke twee structurele resultaten willekeurige isometrieën tot lineaire algebra herleiden (de vragen 3–4) en willekeurige eindige groepen tot deelgroepen van $O(2)$ (vraag 15); wat de volledige lijst van isometrieën van het vlak is en welke invarianten (direct/indirect, vaste punten) de vier types scheiden; waarom de samenstellingsregels van vraag 9 de spiegelingen tot de voortbrengers van alles maken; en wat de stelling van Leonardo op eindige schaal toevoegt. Benoem de twee stellingen die in de delen II en IV zijn bewezen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ; een lineaire isometrie bewaart de normen en dus de afstanden ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ ); en een samenstelling van afstandsbewarende afbeeldingen bewaart de afstanden. Elke isometrie is injectief (verschillende punten blijven op positieve afstand) en, volgens de classificatie hieronder, bijectief; de identiteit en de inversen zijn isometrieën: een groep.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . Polarisatie:

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. Uitwerken met vraag 2 (elk product van $f$ -waarden is gelijk aan het product van de argumenten):

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

zoals een rechtstreekse controle toont; evenzo is $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . Dus $f(x + y) = f(x) + f(y)$ en $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : $f$ is lineair en normbewarend: $f \in O(\R^2)$ .

4. Stel $a = f(0)$ en $g = t_{-a}\circ f$ : een isometrie die $0$ vasthoudt, en dus een lineaire isometrie (vraag 3), en $f = t_a \circ g$ . Eenduidigheid: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ geëvalueerd in $0$ geeft $a = a'$ , en daarna $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ , want $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ voor lineaire $g$ . Het lineaire deel van een samenstelling is dus $g \circ g'$ , en $\det(gg') = \det g \det g'$ : direct $\circ$ direct $=$ indirect $\circ$ indirect $=$ direct, en direct $\circ$ indirect $=$ indirect — de tekenregel van $\pm1$ .

6. $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ stuurt $1$ naar $(\cos\theta, \sin\theta)$ en $\iu$ naar $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : de kolommen van $R_\theta$ . En $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ stuurt $1$ naar $(\cos\theta, \sin\theta)$ en $\iu$ naar $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : de kolommen van $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . $a \neq 1$ : de vergelijking voor vaste punten $az_0 + b = z_0$ heeft de eenduidige oplossing $z_0 = b/(1 - a)$ , en dan is

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

in het assenstelsel met oorsprong $z_0$ is $f$ de vermenigvuldiging met $a = \eu^{\iu\arg a}$ : de rotatie met centrum $z_0$ en hoek $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : $f^2 = t_v$ . Commutatie: $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ en $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ , dus $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

Geval $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . Voor elke $z$ voldoet het midden $m = \frac{z + f(z)}2$ (omdat isometrieën affien zijn, deel I) aan $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : er bestaan vaste punten. Na conjugatie met de translatie naar een vast punt wordt $f$ een lineaire indirecte isometrie, dus een zekere $S_\theta$ (Stelling 23.17): een spiegeling in een rechte.

Geval $v \neq 0$ : $r = t_{-v/2}\circ f$ is indirect en

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(met de commutatie), dus is $r$ een spiegeling, en $f = t_{v/2}\circ r$ . Haar as is evenwijdig met $v$ : $r$ commuteert met $t_v$ (zowel $f$ als $t_{v/2}$ doen dat), dus beeldt $t_v$ de as (de vaste rechte van $r$ ) op zichzelf af, wat afdwingt dat $v$ haar richt. Bijgevolg is $f$ een glijspiegeling met glijvector $v/2$ . Elke isometrie is nu geclassificeerd: translatie of rotatie (direct), spiegeling of glijspiegeling (indirect).

9. Rotaties $f(z) = az + b$ en $g(z) = a'z + b'$ met $a = \eu^{\iu\alpha}$ en $a' = \eu^{\iu\beta}$ : $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ heeft lineaire coëfficiënt $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : een rotatie over de hoek $\alpha + \beta$ volgens vraag 7, of een translatie wanneer $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . Spiegelingen $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ met $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (as onder hoek $\theta_i/2$ ):

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

direct met hoek $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : tweemaal de hoek tussen de assen; evenwijdige assen ( $\theta_1 = \theta_2$ ) geven een translatie.

10. Een rotatie met centrum $c$ en hoek $\theta$ is het product van twee spiegelingen in rechten door $c$ die een hoek $\theta/2$ maken (vraag 9, achterstevoren gelezen); een translatie $t_v$ is het product van twee spiegelingen in evenwijdige rechten die orthogonaal staan op $v$ en op afstand $\norm v/2$ liggen; een spiegeling is één spiegeling; en een glijspiegeling is een spiegeling samengesteld met een translatie, dus drie. Maximum: drie.

11. $a = \iu$ , $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : een glijspiegeling met glijvector $v/2 = 1 + \iu$ . De spiegeling $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ is $r(z) = \iu\conj z$ , waarvan de as de rechte onder hoek $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ is: de rechte $y = x$ . Dus is $f$ de glijspiegeling met as $y = x$ en vector $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ en $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ , dus

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

lineaire coëfficiënt $-1 = \eu^{\iu\pi}$ , een rotatie over de hoek $\pi$ (een halve draai), met centrum $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : de rotatie over de hoek $\frac\pi2$ rond $0$ . De assen (de reële as, hoek $0$ ; de rechte $y = x$ , hoek $\frac\pi4$ ) snijden elkaar onder de hoek $\frac\pi4$ , en tweemaal dat is $\frac\pi2$ : vraag 9 is bevestigd.

14. Met $f = t_a\circ g$ , $g$ lineair, en $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. Voor $h \in G$ geldt, met vraag 14 (de coëfficiënten $\frac1{\abs G}$ sommeren tot $1$ ),

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

omdat $g \mapsto hg$ een bijectie van $G$ op zichzelf is.

16. De geconjugeerden $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) vormen een groep isometrieën die $0$ vasthouden, en dus van lineaire isometrieën (vraag 3): een eindige deelgroep van $O(\R^2)$ . Is een zekere $s \in G$ indirect, dan stuurt de afbeelding $g \mapsto sg$ de verzameling $G^+$ injectief in $G \setminus G^+$ en is $h \mapsto s^{-1}h$ haar inverse (tekenregel van vraag 5): $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ; anders is $G = G^+$ .

17. Is $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ , dan is het $C_1$ . Schrijf anders haar elementen als $R_\theta$ met $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ , en zij $\theta_0$ de kleinste positieve hoek die voorkomt. Voor $R_\theta \in G^{+}$ geeft de euclidische deling $\theta = k\theta_0 + \rho$ met $0 \leq \rho < \theta_0$ dat $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ , dus $\rho = 0$ wegens de minimaliteit: $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . Door $2\pi$ op dezelfde manier door $\theta_0$ te delen volgt $2\pi = n\theta_0$ : $G^{+} \cong C_n$ , voortgebracht door de rotatie over de hoek $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ volgens de telling van vraag 16. Met $s(z) = a\conj z$ en $r(z) = \omega z$ (lineaire vormen, na vraag 16; $\abs a = \abs\omega = 1$ ) is

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

Elk element $sr^k$ van $sG^{+}$ is indirect en voldoet aan $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : een involutieve indirecte isometrie die $c$ vasthoudt, dus een spiegeling. $G$ bestaat dus uit $n$ rotaties en $n$ spiegelingen met de betrekkingen $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ en $srs = r^{-1}$ : de diëdergroep $D_n$ .

19. Samengevat: een eindige groep isometrieën van het vlak houdt een punt $c$ vast (vraag 15), herleidt zich tot een eindige deelgroep van $O(2)$ (vraag 16), en is $C_n$ wanneer zij alleen rotaties bevat (vraag 17) en anders $D_n$ (vraag 18): de stelling van Leonardo.

20. Een translatie $t_v \neq \mathrm{id}$ heeft machten $t_{kv}$ , alle verschillend ( $kv$ paarsgewijs verschillend voor $v \neq 0$ ): oneindige orde. Een glijspiegeling $f$ heeft $f^2 = t_v$ met $v \neq 0$ : opnieuw oneindige orde. Geen van beide past in een eindige groep — in overeenstemming met de vragen 15–19, die alleen rotaties en spiegelingen opleverden.

21. De $2n$ afbeeldingen bewaren de verzameling hoekpunten: $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ en $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ; als isometrieën bewaren zij de veelhoek (segmenten gaan naar segmenten). Omgekeerd bewaart een symmetrie het zwaartepunt $0$ van de hoekpunten (vraag 14) en is zij dus lineair, en permuteert zij de hoekpunten (dat zijn de punten van de veelhoek op maximale afstand van $0$ ). Een lineaire isometrie die het hoekpunt $1$ naar $\omega^k$ stuurt, is $z \mapsto \omega^k z$ als zij direct is en $z \mapsto \omega^k\conj z$ als zij indirect is (haar matrix wordt bepaald door één kolom en het teken): hoogstens $2n$ symmetrieën, en dus precies de $D_n$ hierboven.

22. $C_1$ : een ongelijkzijdige driehoek (geen enkele niet-triviale symmetrie). $D_1$ : een gelijkbenige, niet gelijkzijdige driehoek (één spiegeling). $D_2$ : een rechthoek die geen vierkant is (de identiteit, de halve draai om het middelpunt, en de twee spiegelingen in de assen). $C_3$ : een triskelion — drie congruente gebogen armen bevestigd met tussenhoeken van $120$ graden; de buiging doodt elke spiegeling maar laat de rotaties van orde $3$ staan.

23. Met $\omega = \iu$ : de rotaties $z \mapsto z$ , $\iu z$ , $-z$ , $-\iu z$ (hoeken $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ ), en de spiegelingen

z \mapsto \conj z \ (\text{as } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

de twee diagonalen en de twee middelloodlijnen van het vierkant — de diëdergroep $D_4$ , van orde $8$ .

24. Schrijf $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ en $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . Dan is

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

dus $f g \neq g f$ . Beide samenstellingen hebben lineaire coëfficiënt $a^2$ , zodat $(fg)\circ(gf)^{-1}$ lineaire coëfficiënt $1$ heeft: het is de translatie over $fg(z) - gf(z)$ , de constante hierboven ongelijk aan nul. Een groep die $f$ en $g$ bevat, bevat die translatie en al haar machten: zij is oneindig. Twee rotatiecentra zijn er één te veel voor een eindige groep — het meetkundige hart van de stelling van Leonardo.

25. (i) De vragen 3–4 tonen dat elke afstandsbewarende afbeelding affien is met een orthogonaal lineair deel, en vraag 15 pint elke eindige groep vast op een vast punt: beide resultaten zetten metrische meetkunde om in lineaire algebra in de oorsprong. (ii) De volledige lijst is translatie, rotatie, spiegeling en glijspiegeling; de determinant van het lineaire deel scheidt direct van indirect, en het bestaan van vaste punten scheidt de twee types binnen elke pariteit. (iii) Volgens vraag 9 stellen twee spiegelingen elke rotatie of translatie samen, zodat de spiegelingen de hele groep voortbrengen — hoogstens drie volstaan voor elke isometrie. (iv) Op eindige schaal overleven slechts twee families, de cyclische en de diëdergroepen, en daarom komen rozetornamenten in precies twee soorten voor (met of zonder spiegelassen). Deel II bewees de classificatie van de isometrieën van het vlak; deel IV bewees de stelling van Leonardo.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst