Wat is Continuïteit?

Voorbeeld 21.17

De vergelijking $x^3 + x = 1$ heeft precies één reële oplossing. Inderdaad is $f(x) = x^3 + x$ continu en strikt stijgend op $\R$ (als som van strikt stijgende functies), met $\lim_{-\infty} f = -\infty$ en $\lim_{+\infty} f = +\infty$, zodat de bijectiestelling met $k = 1$ van toepassing is. Omdat $f(0.6) = 0.816 < 1$ en $f(0.7) = 1.043 > 1$, ligt de oplossing in $\intoo{0.6}{0.7}$.

Voorbeeld 13.7 (Een taxonomie van discontinuïteiten)

Drie manieren om in een punt te falen, in toenemende ernst. Opheffbaar: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ op $\R^*$ heeft limiet $1$ in $0$; $f(0) = 1$ definiëren herstelt de zaak — de discontinuïteit was een gat, geen eigenschap. Sprong: $\lfloor x \rfloor$ heeft in een geheel getal verschillende eenzijdige limieten ($n - 1$ en $n$); geen enkele keuze van waarde verzoent ze, maar beide halve limieten bestaan. Essentieel: $\sin\frac1x$ heeft in $0$ helemaal geen eenzijdige limiet (Oefening 13.1) — oscillatie zonder tot rust te komen. Monotone functies kunnen alleen het middelste soort voortbrengen (hun eenzijdige limieten bestaan altijd, als suprema en infima), en daarom zijn hun verzamelingen discontinuïteiten hoogstens aftelbaar — één rationaal getal per sprong. Afgeleiden kunnen, wegens de stelling van Darboux (Oefening 14.10), alleen het laatste soort voortbrengen: een functie met een sprongdiscontinuïteit is nooit de afgeleide van iets.

Voorbeeld 13.9 (Maximum en minimum van continue functies)

Zijn $f$ en $g$ continu, dan ook $\max(f, g)$ en $\min(f, g)$: er is geen gevalsonderscheid nodig dankzij de identiteiten

en de continuïteit van sommen en van $\abs{\,\cdot\,}$ (Propositie 13.8). In het bijzonder zijn $f^+ = \max(f, 0)$ en $f^- = \max(-f, 0)$ continu met $f = f^+ - f^-$: het splitsen naar teken dat bij reeksen gebruikt wordt (Hoofdstuk 17) en, op volle schaal, in de integratietheorie van het volume van bachelorjaar 3, kost niets aan regelmaat.

Voorbeeld 13.11 (Eén vergelijking, het volledige protocol)

Los $\eu^x = 3 - x$ op over $\R$: bestaan, uniciteit, lokalisering. Zet $g(x) = \eu^x + x - 3$, continu. Lokalisering en bestaan: $g(0) = -2 < 0$ en $g(1) = \eu - 2 > 0$, dus plant de tussenwaardestelling een oplossing in $\intoo{0}{1}$. Uniciteit: $g$ is een som van de strikt stijgende $\eu^x$ en $x - 3$, en dus strikt stijgend op $\R$; een strikt monotone functie neemt elke waarde hoogstens één keer aan, zodat de oplossing op heel $\R$ uniek is (niet alleen in het onderzochte interval). Het protocol — herschrijf tot $g = 0$, een tekenwisseling voor het bestaan, de monotonie voor de uniciteit — beslecht de meeste vragen van het type “hoeveel oplossingen” in drie regels, en de verlooptabellen van Hoofdstuk 14 breiden het uit tot niet-monotone $g$ door $\R$ in monotone takken te knippen.