Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

13Espaços de Hilbert

Um espaço de Hilbert é um espaço de Banach cuja norma provém de um produto interno — e essa única estrutura adicional restaura, em dimensão infinita, quase toda a geometria euclidiana: existem projeções ortogonais, todo funcional contínuo é um produto interno contra um vetor fixado (Riesz), e as bases ortonormais expandem todo vetor em uma série convergente com contabilidade pitagórica (Parseval). O ponto alto do capítulo é uma dívida honrada: o sistema trigonométrico é uma base ortonormal de $L^2$ , de modo que a identidade de Parseval vale para toda função de quadrado integrável — o enunciado que o segundo ano só pôde demonstrar para funções $\mathcal C^1$ por partes. Encerramos com Lax–Milgram, o lema cavalo de batalha da abordagem variacional das equações diferenciais.

Ao longo de todo o capítulo, $H$ é um espaço vetorial sobre $K = \R$ ou $\C$ .

13.1 Produtos internos; o teorema da projeção

Definição 13.1

Um produto interno é uma aplicação $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , linear na segunda variável, com $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ e $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ . Ele induz a norma $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , a desigualdade de Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (a demonstração do segundo ano — o discriminante — não muda) e a lei do paralelogramo

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno completo para essa norma. Exemplos: $\ell^2$ (Problema 8.1) e, o fundamental, $L^2(\mu)$ com $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — completo por Riesz–Fischer (Teorema 12.4); o produto interno é finito por Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder em $p = q = 2$ ).

Teorema 13.2 (Projeção sobre um convexo fechado)

Sejam $C \neq \varnothing$ um subconjunto convexo fechado do espaço de Hilbert $H$ e $x \in H$ . Existe um único $p_C(x) \in C$ com

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

caracterizado por: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ para todo $c \in C$ . A aplicação $p_C$ é $1$ -lipschitziana.

Demonstração. Sejam $d = d(x, C)$ e $(c_n) \subseteq C$ com $\norm{x - c_n} \to d$ . A lei do paralelogramo em $x - c_n$ e $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(a convexidade coloca o ponto médio em $C$ ): o membro direito tende a $0$ , de modo que $(c_n)$ é de Cauchy, e seu limite $p \in C$ (fechado) atinge $d$ . Unicidade: dois minimizadores dão, pela mesma identidade, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

Caracterização: para $c \in C$ , $t \in \intoc01$ , o vetor $p + t(c - p) \in C$ , de modo que

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

divida por $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . Reciprocamente, essa desigualdade dá $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . Lipschitz: para $x, y$ de projeções $p, q$ , some as duas desigualdades variacionais (com $c = q$ e com $c = p$ , respectivamente): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , logo $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

Teorema 13.3 (Decomposição ortogonal)

Seja $F$ um subespaço fechado de $H$ . Então $p_F$ é linear, $x - p_F(x) \perp F$ para todo $x$ , e

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

Para um subespaço geral, $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; em particular, $F$ é denso se, e somente se, $F^\perp = \{0\}$ .

Demonstração. Para um subespaço, a caracterização variacional com $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , nos dois sinais, e $\iu f$ no caso complexo) força $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : o resíduo é ortogonal a $F$ . Decomposição $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ com $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ ); a linearidade de $p_F$ decorre da unicidade de tais decomposições (ambos os lados são lineares nelas). $(F^\perp) ^\perp \supseteq F$ sempre; reciprocamente, se $x \perp F^\perp$ , escreva $x = f + g$ : $g = x - f \in F^\perp$ e $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : $x = f \in F$ . Para um subespaço geral $F$ : $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuidade do produto interno), de modo que $(F^\perp)^\perp = \bar F$ pelo caso fechado; e a densidade equivale a $\bar F = H$ , que equivale a $F^\perp = 0$ . ∎

Teorema 13.4 (Representação de Riesz)

Para todo funcional linear contínuo $\varphi \in H'$ existe um único $a \in H$ com

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

Demonstração. Se $\varphi = 0$ : $a = 0$ . Do contrário, $F = \ker\varphi$ é um subespaço próprio fechado; tome $u \in F^\perp$ , $\norm u = 1$ (Teorema 13.3: $F^\perp \neq 0$ , pois $F \neq H$ ). Para todo $x$ , o vetor $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ , logo $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

Assim $a = \overline{\varphi(u)}u$ resolve. Unicidade: $\langle a - a', x\rangle = 0$ para todo $x$ ; teste $x = a - a'$ . Normas: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz), com igualdade em $x = a$ . ∎

Exemplo 13.5 (Uma projeção, calculada até o fim)

Em $H = L^2(\intcc01)$ , qual é a melhor aproximação de $f(x) = x^2$ por uma função afim? O subespaço $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ é fechado (tem dimensão finita), e $p_F(f) = a + bx$ fica caracterizada pela ortogonalidade do resíduo a $1$ e a $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

isto é, $\frac13 = a + \frac b2$ e $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Logo $p_F(x^2) = x - \frac16$ , e o erro é

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Duas observações que vale internalizar. Primeira: o cálculo não passa de um sistema linear $2\times2$ — as equações normais; para a base monomial, sua matriz $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ é a notoriamente mal condicionada matriz de Hilbert, e ortogonalizar antes (polinômios de Legendre, Problema 13.1) é o remédio. Segunda: a melhor aproximação uniforme de $x^2$ por funções afins é outra ( $x - \frac18$ , por equioscilação): cada norma tem sua própria geometria, e só a hilbertiana responde com um sistema linear.

13.2 Bases ortonormais

Definição 13.6

Uma família $(e_i)_{i\in I}$ é ortonormal se $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ , e é uma base hilbertiana (base ortonormal) se, além disso, suas combinações lineares finitas são densas em $H$ (a família é total). Tratamos o caso enumerável $I = \N$ , que, por Gram–Schmidt, cobre todo $H$ separável (Proposição 13.8).

Teorema 13.7 (Bessel, Parseval)

Sejam $(e_n)_{n\in\N}$ ortonormal em $H$ e $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , e a série $\sum_nc_n(x)e_n$ converge em $H$ , com soma $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
São equivalentes: (i) $(e_n)$ é uma base hilbertiana; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ para todo $x$ ; (iii) Parseval: $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ para todo $x$ ; (iv) o único vetor ortogonal a todos os $e_n$ é $0$ .
Se $(e_n)$ é uma base hilbertiana, $x \mapsto (c_n(x))_n$ é um isomorfismo isométrico $H \to \ell^2$ (todo espaço de Hilbert separável de dimensão infinita “é” $\ell^2$ ), e $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

Demonstração. (1) Para $N$ finito: $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), de modo que Pitágoras dá $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : eis Bessel. As somas parciais $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ são de Cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , cauda de uma série convergente; o limite está em $F$ , e $x - \lim S_N \perp$ cada $e_k$ (continuidade), logo $\perp F$ : pela unicidade da decomposição ortogonal, $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (i) $\Rightarrow$ (ii): $F = H$ , logo $p_F = \mathrm{id}$ . (ii) $\Rightarrow$ (iii): Pitágoras no limite ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (iii) $\Rightarrow$ (iv): $x \perp$ a todos os $e_n$ dá $\norm x^2 = 0$ . (iv) $\Rightarrow$ (i): $F^\perp = \{0\}$ (ser ortogonal a todos os $e_n$ é ser ortogonal a $F$ ), de modo que $F$ é denso pelo Teorema 13.3; mas $F$ , sendo um fecho, já é fechado: $F = H$ .

(3) A aplicação é linear, isométrica por (iii) (logo injetora) e sobrejetora: dado $(c_n) \in \ell^2$ , a série $\sum c_ne_n$ converge (de Cauchy como em (1)) para uma pré-imagem. A fórmula do produto interno vem por polarização a partir de (iii), ou de um cálculo direto de limite. ∎

Proposição 13.8 (Gram–Schmidt)

Seja $(x_n)$ uma sequência linearmente independente. Pondo indutivamente $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ e $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ , obtém-se uma família ortonormal $(e_n)$ com os mesmos subespaços gerados finitos: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect} (x_1, \dots, x_n)$ . Consequentemente, todo espaço de Hilbert separável (isto é, com um subconjunto denso enumerável) tem base hilbertiana.

Demonstração. Indução: $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ) por construção, e $\tilde e_n \neq 0$ pela independência; os subespaços gerados coincidem em cada etapa (mudança de base triangular). Para $H$ separável: de uma sequência densa, extraia uma subfamília linearmente independente com subespaço gerado denso (descarte cada vetor que esteja no subespaço gerado por seus antecessores — o subespaço gerado não muda) e ortonormalize: o resultado é total. ∎

Teorema 13.9 (O sistema trigonométrico; Parseval, enfim)

Em $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ com $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ , a família $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , é uma base hilbertiana. Consequentemente, para toda $f \in L^2$ — em particular, para toda $f$ $2\pi$ -periódica contínua por partes — com $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{em } L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

Isso demonstra, em plena generalidade, a identidade de Parseval que o segundo ano admitiu.

Demonstração. A ortonormalidade é um cálculo direto (segundo ano). Totalidade: seja $f \in L^2$ $\perp$ a todos os $e_n$ , isto é, com todos os coeficientes de Fourier nulos. As funções contínuas $2\pi$ -periódicas são densas em $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : com efeito, $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ é denso (Teorema 12.6(2)) e tais funções se estendem periódica e continuamente. Os polinômios trigonométricos são densos, para $\norm\cdot_\infty$ , entre as funções contínuas periódicas (Stone–Weierstrass, Corolário 7.16(c)), e $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : os polinômios trigonométricos são densos em $L^2$ . Mas $f \perp$ a todo polinômio trigonométrico, logo $f \perp$ a um subespaço denso: $f \in (\text{denso})^\perp = \{0\}$ (Teorema 13.3). O critério (iv) do Teorema 13.7 conclui; e (ii) e (iii) se desdobram na fórmula exibida (reindexando o conjunto enumerável $\Z$ ; a série de duas pontas converge incondicionalmente — as somas parciais sobre qualquer família exaustiva convergem, pelo argumento da cauda $\ell^2$ ). ∎

Teorema 13.10 (Lax–Milgram)

Sejam $H$ um espaço de Hilbert real e $a \colon H\times H \to \R$ bilinear, contínua ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) e coerciva ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , $\alpha > 0$ ). Então, para todo $\varphi \in H'$ , existe um único $u \in H$ com

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{para todo } v \in H .

Demonstração. Para $u$ fixado, $v \mapsto a(u, v)$ é linear contínua: Riesz dá um único $Au \in H$ com $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ é linear com $\norm{Au} \leq M\norm u$ (unicidade dos representantes e, depois, a cota). Coercividade: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , de modo que $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ é injetor com imagem fechada (uma sequência imagem $Au_n$ de Cauchy força $u_n$ de Cauchy). A imagem é densa: $w \perp \operatorname{im}A$ dá $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . Fechada e densa: $A$ é bijetor. Dado $\varphi$ , seja $f$ seu representante (Riesz) e $u = A^{-1}f$ : $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , de maneira única ( $a(u - u', \cdot) = 0$ e coercividade). ∎

Observação 13.11

Quando $a$ é simétrica, a solução de Lax–Milgram é o único minimizador da energia $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (Exercício 13.9): a existência de soluções de problemas variacionais de uma só vez. Aplicado a espaços de funções adequados (os espaços de Sobolev de um curso posterior), isso resolve problemas de valores de contorno para equações diferenciais — a porta de entrada moderna às equações diferenciais parciais.

13.3 Exercícios

Exercício 13.1 ★

(a) Demonstre as identidades de polarização (caso real: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; caso complexo: a versão com quatro termos). (b) Mostre que $\norm\cdot_1$ em $L^1(\intcc01)$ e $\norm\cdot_\infty$ em $\mathcal C(\intcc01)$ violam a lei do paralelogramo: essas normas não provêm de produto interno algum.

Solução

Solução de Exercício 13.1.

(a) Real: expanda $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ e subtraia. Complexo (produto interno linear na segunda entrada): expandindo como acima,

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

contribuindo cada termo com $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ , cuja soma é $4\langle x,y\rangle$ (verifique os quatro valores de $k$ ; os $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ cada, soma $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . Norma do sup: $f = \mathbf 1$ , $g(t) = t$ em $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . Falhando a lei do paralelogramo, essas normas não provêm de produto interno algum (que a forçaria por expansão direta).

Exercício 13.2 ★

Em $H = L^2(\intcc01)$ (real): (a) calcule a projeção de $f$ sobre o subespaço das funções constantes e interprete; (b) calcule a projeção sobre $\{g : g = 0 \text{ q.t.p.\ em } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) calcule $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

Solução

Solução de Exercício 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : de fato, $f - \int f \perp$ constantes ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). A melhor aproximação constante de $f$ em média quadrática é sua média — a primeira instância da esperança condicional (Capítulo 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : a diferença $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ é ortogonal a toda $g$ que se anula em $\intcc0{1/2}$ .

Exercício 13.3 ★★

(a) Mostre que, para um subespaço $F$ : $F$ denso $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ , e dê um exemplo em $\ell^2$ de um subespaço denso próprio (de modo que $F^\perp = 0$ sem que $F = H$ : o teorema da decomposição precisa mesmo de $F$ fechado). (b) Mostre que, se $x_n \to x$ e $y_n \to y$ em norma, então $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ , e localize dois pontos em que o capítulo usou essa continuidade.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

(a) A equivalência é o Teorema 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ , e $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). Exemplo: o espaço $F$ das sequências finitas é denso em $\ell^2$ (truncatura) e próprio: $F^\perp = \{0\}$ e, no entanto, $F \neq \ell^2$ — para um subespaço não fechado, $H = F \oplus F^\perp$ falha escancaradamente ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (sequências convergentes são limitadas). Usado: no Teorema 13.7(1) para ver $x - \lim S_N \perp e_k$ , e no Teorema 13.3 para ver $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ .

Exercício 13.4 ★★

Aplique Gram–Schmidt a $1, x, x^2$ em $L^2(\intcc{-1}1)$ (medida de Lebesgue): obtenha os três primeiros polinômios de Legendre normalizados e verifique que coincidem com $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ para os polinômios de Rodrigues $P_n$ do Problema 13.1.

Solução

Solução de Exercício 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . A seguir, $x \perp \mathbf 1$ já ( $\int_{-1}^1x = 0$ ), e $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . Então $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (e $\perp e_1$ por paridade), com

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

Comparação: $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ , e $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ dá $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : exatamente $e_0, e_1, e_2$ .

Exercício 13.5 ★★

Aplique Parseval (Teorema 13.9) a $f(t) = t$ e a $f(t) = t^2$ em $\intcc{-\pi}\pi$ — agora legitimamente para essas funções (contínuas, mas cuja identidade requeria antes cuidados de tipo $\mathcal C^1$ por partes na descontinuidade do emenda): recupere

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

Solução

Solução de Exercício 13.5.

Para $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ e, integrando por partes, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ para $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

Para $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ , $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ ). Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

Nenhuma ressalva de $\mathcal C^1$ por partes é necessária: o Teorema 13.9 cobre toda função $L^2$ .

Exercício 13.6 ★★

(a) Encontre $a \in L^2(\intcc01)$ com $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ para toda $f$ ; calcule $\norm\varphi$ para esse funcional. (b) Mostre que a avaliação $f \mapsto f(\frac12)$ , definida no subespaço $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ , não é contínua para $\norm\cdot_2$ : não existe representante de Riesz (a avaliação não é uma noção $L^2$ ).

Solução

Solução de Exercício 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : o representante é $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , e $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (Teorema 13.4).

(b) Tome as funções tenda $f_n$ com pico $1$ em $\frac12$ e suporte de largura $\frac2n$ : $f_n(\tfrac12) = 1$ , ao passo que $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : nenhuma constante $C$ pode dar $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ . A avaliação pontual não faz sentido em $L^2$ — os elementos são classes módulo conjuntos nulos — e esse cálculo é a razão quantitativa.

Exercício 13.7 ★★★

Sejam $H$ separável com base hilbertiana $(e_n)$ e $(x_k)$ uma sequência limitada. (a) Mostre que alguma subsequência converge fracamente: existe $x$ com $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ para todo $y \in H$ . (Extração diagonal nos coeficientes $\langle e_n, x_k\rangle$ ; monte $x$ via Bessel e a limitação uniforme das normas.) (b) Mostre que $e_n \rightharpoonup 0$ , mas $\norm{e_n} = 1$ : os limites fracos podem perder norma. Mostre que $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ em (a).

Solução

Solução de Exercício 13.7.

(a) Seja $M = \sup_k\norm{x_k}$ . As sequências escalares $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ são limitadas por $M$ : uma extração diagonal fornece $x_{k_j}$ com $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ para todo $n$ . Para cada $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), de modo que $(\gamma_n) \in \ell^2$ e $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (Teorema 13.7(3)). Para $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

usando a expansão $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ e Cauchy–Schwarz na cauda; escolha $N$ e depois $j$ : convergência fraca para $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ para todo $y$ (caudas $\ell^2$ ): $e_n \rightharpoonup 0$ , e, no entanto, $\norm{e_n} = 1$ : a norma não é fracamente contínua. Em (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (seções finitas e Bessel de novo): limites fracos só podem perder norma.

Exercício 13.8 ★★

(Adjuntos) Para $T \in \mathcal L(H)$ , mostre que existe um único $T^* \in \mathcal L(H)$ com $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), e que $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . Calcule o adjunto do deslocamento $S$ em $\ell^2$ e demonstre $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — deduza $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Solução

Solução de Exercício 13.8.

Para $y$ fixo, $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ é um funcional linear contínuo; Riesz dá um único $T^*y$ com $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ para todo $x$ — conjugando, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . A unicidade torna $T^*$ linear;

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

de modo que $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ , e $T^{**} = T$ dá a igualdade. Deslocamento: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ com $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : o deslocamento à esquerda. Núcleo–imagem: $T^*y = 0$ se, e somente se, $\langle x, T^*y\rangle = 0$ para todo $x$ , se, e somente se, $\langle Tx, y\rangle = 0$ para todo $x$ , se, e somente se, $y \perp \operatorname{im}T$ : $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; tomando $\perp$ e usando o Teorema 13.3, $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Exercício 13.9 ★★

Seja $a$ como em Lax–Milgram e, além disso, simétrica. Mostre que $u$ resolve $a(u, \cdot) = \varphi$ se, e somente se, $u$ minimiza $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ , e que o mínimo é atingido em exatamente um ponto. (Complete o quadrado: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) Aplicação: redemonstre o teorema da projeção sobre subespaços fechados a partir de Lax–Milgram.

Solução

Solução de Exercício 13.9.

Se $a(u, \cdot) = \varphi$ : para qualquer $w$ ,

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

estritamente positivo para $w \neq 0$ : $u$ é o único minimizante. Reciprocamente, num minimizante a função $t \mapsto J(u + tw)$ (um polinômio quadrático em $t$ ) tem derivada nula em $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ para todo $w$ . Projeção reobtida: para um subespaço fechado $F$ , aplique Lax–Milgram no espaço de Hilbert $F$ com $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) e $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : um único $p \in F$ com $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ para todo $v \in F$ , isto é, $x - p \perp F$ — e, pelo caso simétrico, $p$ minimiza $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ em $F$ : a projeção.

Exercício 13.10 ★★★

(O sistema de Haar) Em $\intcc01$ , seja $h_{0} = \mathbf 1$ e, para $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ):

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

Mostre que $(h_n)_{n\geq0}$ é ortonormal em $L^2(\intcc01)$ e total. (Ortogonalidade: suportes disjuntos ou encaixados; totalidade: os subespaços gerados finitos contêm todas as funções escada diádicas, que são densas — via o Teorema 12.6(1) e aproximação diádica de intervalos.) O sistema de Haar é o ancestral das ondaletas.

Solução

Solução de Exercício 13.10.

Normalização: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . Ortogonalidade: duas funções de Haar distintas ou têm (interiores dos) suportes disjuntos (produto nulo q.t.p.), ou o suporte da mais fina está contido numa metade em que a mais grosseira é constante — e então a integral do produto é essa constante vezes $\int h_{\text{mais fina}} = 0$ ; contra $h_0 = \mathbf 1$ , de novo $\int h_n = 0$ . Totalidade: o espaço gerado por $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ consiste nas funções escada na malha diádica de passo $2^{-J}$ ; ambos os espaços têm dimensão $2^J$ e as funções de Haar são independentes (ortonormais): o espaço gerado é o de todas essas funções escada. As funções escada diádicas são densas em $L^2(\intcc01)$ : as funções simples são densas (Teorema 12.6(1)), os conjuntos mensuráveis são aproximados por uniões finitas de intervalos (Exercício 9.7), e os intervalos por diádicos (os extremos se movem de $\leq 2^{-J}$ ). Pelo Teorema 13.7, o sistema de Haar é uma base hilbertiana.

Exercício 13.11 ★★

(Projeções ortogonais, caracterizadas) Sejam $H$ um espaço de Hilbert e $P \in \mathcal L(H)$ com $P^2 = P$ , $P \neq 0$ . Mostre a equivalência de: (i) $P$ é a projeção ortogonal sobre $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ (Exercício 13.8); (iii) $\vertiii P = 1$ . (Para (iii) $\Rightarrow$ (i): se algum $x \in (\ker P)^\perp$ tivesse $Px \neq x$ , considere $x + t(Px - x)$ — ou, diretamente: para $u \in \operatorname{im}P$ e $v \in \ker P$ , expanda $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ para todo $t \in \R$ e conclua $\langle u, v\rangle = 0$ .) Exiba uma projeção não ortogonal em $\R^2$ e calcule sua norma.

Solução

Solução de Exercício 13.11.

(i) $\Rightarrow$ (ii): para a projeção ortogonal, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (insira as decomposições $x = Px + (x - Px)$ etc. e mate os termos cruzados). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , de modo que $\vertiii P \leq 1$ , e $Pu = u$ na imagem não nula: $= 1$ . (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algebricamente, de $P^2 = P$ ); tome $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ , $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ tem de ser $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ para todo $t$ , forçando $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (compare os termos lineares quando $t \to 0^\pm$ ); substituir $v$ por $\iu v$ mata também a parte imaginária: $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , que é exatamente a ortogonalidade da projeção. Exemplo: $P(x, y) = (x + y, 0)$ em $\R^2$ : $P^2 = P$ , imagem o eixo $x$ , núcleo a reta $y = -x$ , e $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (atingido em $(1,1)/\sqrt2$ ): uma projeção oblíqua tem norma $> 1$ . (Para registro, (ii) também dá (i) diretamente: $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ pelo Exercício 13.8.)

Exercício 13.12 ★★★

(Teorema ergódico de von Neumann) Sejam $U \in \mathcal L(H)$ unitário ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ o espaço dos pontos fixos, $P$ a projeção ortogonal sobre $F$ e $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) Mostre que $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (a partir de $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ e da unitariedade) e deduza $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ . (b) Mostre que $A_nx \to x$ para $x \in F$ , e $A_nx \to 0$ para $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (telescopamento), e depois para $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (cota uniforme $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) Conclua: $A_nx \to Px$ para todo $x \in H$ — as médias temporais convergem à projeção sobre os invariantes. (d) Detalhe o caso $H = L^2(\R/\Z)$ e $Uf = f(\cdot + \alpha)$ com $\alpha$ irracional: identifique $F$ (use séries de Fourier, Teorema 13.9) e deduza que $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ em $L^2$ : a equidistribuição $L^2$ das rotações irracionais.

Solução

Solução de Exercício 13.12.

(a) Para $U$ unitário: $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ e $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : os dois se anulam juntos, de modo que $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . Então, usando $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (Exercício 13.8) com $T = U - I$ e $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) Em $F$ : $U^kx = x$ , de modo que $A_nx = x$ . Para $x = (U - I)y$ : $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , de norma $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . Para $x$ no fecho: dado $\varepsilon$ , tome $x' = (U - I)y$ com $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ; como $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) Decomponha $x = Px + (x - Px)$ com $Px \in F$ e $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (parte (a)): $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) Na base de Fourier $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ : $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , de modo que $Ue_m = e_m$ se, e somente se, $m\alpha \in \Z$ , se, e somente se, $m = 0$ ( $\alpha$ irracional): $F = \C\mathbf 1$ e $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . O teorema se lê $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ em $L^2(\R/\Z)$ : as médias sobre a órbita de uma rotação irracional se equidistribuem — a sombra $L^2$ do teorema de equidistribuição de Weyl, obtida por pura geometria hilbertiana.

13.4 Problema: polinômios ortogonais

Problema 13.1

Problema de fim de semana — Legendre, Hermite e a quadratura de Gauss

Sejam $I \subseteq \R$ um intervalo e $w > 0$ um peso contínuo no interior de $I$ tal que $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ para todo $n$ ; trabalhamos em $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ com $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . Gram–Schmidt aplicado a $1, t, t^2, \dots$ produz os polinômios ortogonais $(p_n)$ para $w$ (com normalização mônica: $p_n = t^n + \cdots$ ).

Parte I — Teoria geral.

Mostre que $p_n$ é ortogonal a todo polinômio de grau $< n$ e que $(p_0, \dots, p_n)$ é uma base de $\R_n[t]$ .
(Recorrência de três termos) Mostre que existem reais $a_n, b_n$ com

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(Expanda $t\,p_n$ na base $(p_k)_{k \leq n+1}$ e anule coeficientes por ortogonalidade, usando $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(Raízes) Mostre que $p_n$ tem $n$ raízes distintas, todas interiores a $I$ . (Sejam $t_1 < \dots < t_m$ as mudanças de sinal interiores de $p_n$ ; se $m < n$ , teste $p_n$ contra $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ e contradiga a ortogonalidade.)

Parte II — Legendre ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ ). Defina $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues).

Mostre que $\deg P_n = n$ com coeficiente líder $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ e, integrando por partes $n$ vezes, que $\langle P_n, Q\rangle = 0$ para todo polinômio $Q$ de grau $< n$ : os $P_n$ são (a menos de normalização) os polinômios ortogonais para $w = 1$ .
Calcule $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (integre por partes $n$ vezes contra si mesmo e reduza a uma integral de Beta/Wallis, Exercício 11.8).
Mostre que os polinômios de Legendre normalizados formam uma base hilbertiana de $L^2(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Corolário 7.16, mais a densidade de $\mathcal C$ em $L^2$ ), e expanda $f(t) = \abs t$ até o grau $2$ : calcule a melhor aproximação quadrática em $L^2$ de $\abs t$ .

Parte III — Hermite ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). Defina $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

Mostre que $H_n$ é um polinômio de grau $n$ com coeficiente líder $2^n$ , que $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ e que $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (partes, de novo).
Mostre que a família de Hermite é total em $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , admitindo um resultado do Capítulo 14: se $g \in L^1(\R)$ satisfaz $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ para todo $\xi$ , então $g = 0$ q.t.p. (Para $f \perp$ a todos os $H_n$ , isto é, $\perp$ a todos os polinômios: mostre que $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ está bem definida, expanda a exponencial em série, justifique a troca por dominação e conclua que a transformada de Fourier de $f\eu^{-t^2}$ se anula.)

Parte IV — Quadratura de Gauss. Fixe $n$ , sejam $t_1 < \dots < t_n$ as raízes de $p_n$ (Parte I) e defina os pesos $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ , em que $\ell_i$ são os polinômios da base de interpolação de Lagrange nos $t_i$ .

Mostre que a regra de quadratura $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ é exata em todos os polinômios de grau $\leq n - 1$ (interpolação) e, de fato — eis o milagre —, em todos os polinômios de grau $\leq 2n - 1$ : escreva $P = qp_n + r$ e use a ortogonalidade sobre o quociente $q$ .
Mostre que os pesos são positivos (aplique a regra a $\ell_i^2$ , de grau $2n - 2$ ) e deduza do teorema de Pólya (Exercício 8.9) que a quadratura de Gauss converge: $Q_n(f) \to \int_I fw$ para toda $f$ contínua em um $I$ compacto.
Para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : calcule os nós $\pm\frac1{\sqrt3}$ e os pesos $1, 1$ , e verifique a exatidão em $1, t, t^2, t^3$ à mão. Compare com a regra do trapézio nos mesmos dois pontos de avaliação.

Parte V — Chebyshev: os polinômios que melhor oscilam. Agora $I = \intcc{-1}1$ e $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

Mostre que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ define um polinômio $T_n$ de grau $n$ (estabeleça $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ a partir de uma identidade trigonométrica), com coeficiente líder $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ; e que a substituição $t = \cos\theta$ dá

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

os $T_n$ são os polinômios ortogonais para esse peso, e as expansões de Chebyshev são séries de Fourier em cosseno disfarçadas.
Localize explicitamente as $n$ raízes $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ e os $n + 1$ extremos $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ de $T_n$ em $\intcc{-1}1$ , em que $T_n(s_j) = (-1)^j$ : o gráfico equioscila entre $\pm1$ .
(Minimax) Mostre que, entre todos os polinômios mônicos de grau $n$ , o polinômio $2^{1-n}T_n$ tem a menor norma do supremo em $\intcc{-1}1$ , a saber $2^{1-n}$ — e que ele é o único minimizador. (Se um $P$ mônico tivesse $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , a diferença $2^{1-n}T_n - P$ , de grau $\leq n-1$ , alternaria de sinal nos $n+1$ pontos de equioscilação.)
Aplicação à interpolação: para nós $t_1 < \dots < t_n$ em $\intcc{-1}1$ , o erro da interpolação de Lagrange de uma função $\mathcal C^n$ envolve $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Mostre que escolher as raízes de Chebyshev como nós minimiza $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ , e dê a cota resultante $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {2^{n-1}\,n!}$ — compare com nós igualmente espaçados (enuncie o fenômeno de Runge como o conto de advertência).
Verifique $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (derive $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ e tome os limites $\theta \to 0, \pi$ ): um polinômio limitado por $1$ em $\intcc{-1}1$ pode ter derivada tão grande quanto $n^2$ na borda (a desigualdade de Markov diz que não pode ser maior — apenas o enunciado). Em que parte do intervalo a cota da derivada é apenas $O(n)$ ?
(Quadratura de Chebyshev–Gauss) Mostre que a regra de Gauss para o peso $w$ nas $n$ raízes de Chebyshev tem pesos iguais $w_i = \frac\pi n$ (exatidão em $T_0, \dots, T_{n-1}$ mais as somas trigonométricas $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ para $1 \leq j \leq n - 1$ ): a mais uniforme de todas as quadraturas. Escreva-a por extenso para $n = 3$ .

Parte VI — Christoffel–Darboux, entrelaçamento e a matriz de Jacobi. De volta a um peso geral; $h_k = \norm{p_k}^2$ (com $p_k$ mônicos), $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(Norma mínima) Mostre que, entre todos os polinômios mônicos de grau $n$ , o ortogonal $p_n$ é o único de norma $L^2(w)$ mínima — identifique a minimização como uma projeção ortogonal sobre $\R_{n-1}[t]$ (Teorema 13.2 ou a projeção em dimensão finita do segundo ano). A propriedade minimax da questão 14 é o mesmo enunciado com $L^\infty$ no lugar de $L^2$ : mesmo herói, duas normas.
(Christoffel–Darboux) Demonstre, por indução sobre $n$ usando a recorrência de três termos, a identidade

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

e sua forma confluente ( $y \to x$ ): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
Deduza que $p_n$ e $p_{n+1}$ não têm raiz comum e que, em toda raiz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Conclua o entrelaçamento das raízes: entre duas raízes consecutivas de $p_{n+1}$ há exatamente uma raiz de $p_n$ .
(Matriz de Jacobi) Seja $J_n$ a matriz simétrica tridiagonal $n\times n$ de diagonal $a_0, \dots, a_{n-1}$ e entradas fora da diagonal $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Mostre por indução que $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , de modo que as raízes de $p_n$ são os autovalores de uma matriz real simétrica — redemonstrando em uma linha que elas são reais e, com o entrelaçamento acima, amarrando os polinômios ortogonais ao mundo espectral do Capítulo 15.
(Síntese) Monte o dicionário das três famílias clássicas (Legendre, Hermite, Chebyshev): intervalo, peso, fórmula de definição, recorrência de três termos, norma e o habitat natural de cada uma (quadratura e aproximação em compactos; análise gaussiana; métodos minimax e de Fourier em cosseno). Uma frase sobre o que a teoria geral (Partes I e VI) deu e que nenhum cálculo individual poderia dar.

Parte VII — O termo de erro e o núcleo por trás dos pesos. Aqui $I$ é compacto e $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(Fórmula do erro de Gauss) Seja $Hf$ o interpolante de Hermite de grau $\leq 2n - 1$ que coincide com $f$ e $f'$ nos nós $t_1, \dots, t_n$ (demonstre sua existência e o erro pontual

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

pelo argumento habitual da função auxiliar). Deduza, integrando essa identidade contra $w$ e confinando entre os extremos de $f^{(2n)}$ , que

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{para algum } \xi \in I,$

com $h_n = \norm{p_n}^2$ como na Parte VI: a quadratura de Gauss erra por uma derivada de ordem $2n$ , ponderada pela norma ao quadrado do polinômio ortogonal mônico.
(Os pesos são valores de Christoffel) Usando o núcleo reprodutor $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ de $\R_{n-1}[t]$ e a exatidão de $Q_n$ até o grau $2n - 2$ , demonstre

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

cada peso é o valor, em seu nó, da função de Christoffel — a positividade dos pesos (questão 10) de novo, agora com fórmula exata. Verifique que ela recupera $w_1 = w_2 = 1$ para $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ .
(Tudo se confere em uma integral) Para o peso de Chebyshev e $n = 3$ nós, calcule os dois lados de

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

de modo que o erro de quadratura é exatamente $\frac{\pi}{32}$ ; verifique então que a fórmula de erro da questão 23 prevê exatamente esse valor (aqui $f^{(6)} = 6!$ é constante, e $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): teoria e cálculo concordam até o último algarismo.

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. Gram–Schmidt garante $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ e $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ), logo $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Os $p_k$ , de graus estritamente crescentes, são independentes: uma base.

2. $t\,p_n$ é mônico de grau $n + 1$ : expanda $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ com $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . Para $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (grau $k + 1 < n$ ). Logo $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , a recorrência enunciada, com

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{inferior}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. Sejam $t_1 < \dots < t_m$ os pontos interiores a $I$ em que $p_n$ muda de sinal, e $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (com $q = 1$ se $m = 0$ ). Então $p_nq$ tem sinal constante em $I$ e não é nulo q.t.p.: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . Se $m < n$ , isso contradiz $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Logo $m = n$ : $p_n$ tem $n$ raízes interiores distintas (ele tem, ao todo, no máximo $n$ raízes).

4. $(t^2 - 1)^n$ tem grau $2n$ ; $n$ derivações deixam grau $n$ , com coeficiente dominante $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . Para $\deg Q < n$ , integre por partes $n$ vezes: todos os termos de bordo contêm uma derivada de ordem $< n$ de $(t^2-1)^n$ , que se anula em $\pm1$ (raiz de ordem $n$ ); após $n$ passos, o integrando carrega $Q^{(n)} = 0$ .

5. Com $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; os termos de bordo se anulam como na questão 4). E $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (Exercício 11.8). Combinando: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. Os polinômios são $\norm\cdot_\infty$ -densos em $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Corolário 7.16), as funções contínuas são $L^2$ -densas (Teorema 12.6), e $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : os espaços gerados por polinômios são totais, de modo que os $P_n$ normalizados formam uma base hilbertiana. Expansão de $\abs t$ : o coeficiente contra $P_0$ é $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; contra $P_1$ : $0$ (paridade); contra $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . Melhor aproximação quadrática:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. De $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ e Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; a indução dá grau $n$ e coeficiente dominante $2^n$ . Para $m < n$ , integre por partes $n$ vezes em $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ : os termos de bordo (polinômio $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) se anulam em $\pm\infty$ , restando $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ . Para $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , de modo que $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. Seja $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ ortogonal a todo polinômio, e $g = f\eu^{-t^2}$ . Então $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Para $\xi \in \R$ , expanda $\eu^{-\iu\xi t}$ : as somas parciais são dominadas, pois

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(a última série converge: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , de modo que os termos são $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ ). A integração termo a termo (Corolário 10.7 aplicado à série dos valores absolutos, e depois Fubini para séries) dá

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

sendo cada integral do tipo $\langle t^k, f\rangle_w$ $= 0$ . Pela injetividade admitida da transformada de Fourier (Capítulo 14), $g = 0$ q.t.p., de modo que $f = 0$ q.t.p.: a família de Hermite (cujos espaços gerados são os polinômios) é total.

9. Exatidão até o grau $n - 1$ : para tal $P$ , $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exatamente, de modo que $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . Grau $\leq 2n - 1$ : divida $P = qp_n + r$ , $\deg q \leq n - 1$ , $\deg r \leq n-1$ ; então $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), ao passo que $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ , pois os nós são as raízes de $p_n$ . Iguais.

10. $\ell_i^2$ tem grau $2n - 2 \leq 2n - 1$ e $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . Pólya (Exercício 8.9, transportado para $I$ com peso): a condição (i) vale — cada polinômio é integrado exatamente uma vez que $2n - 1 \geq$ seu grau; condição (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , limitado: $Q_n(f) \to \int fw$ para todo $f \in \mathcal C(I)$ , $I$ compacto.

11. $p_2 = t^2 - \frac13$ mônico (do Exercício 13.4): nós $\pm\frac1{\sqrt3}$ . Pesos: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , e $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; por simetria, $w_2 = 1$ . Exatidão: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ . A regra do trapézio de dois pontos (nós $\pm1$ , pesos $1, 1$ ) só é exata até o grau $1$ : em $t^2$ ela devolve $2$ em vez de $\frac23$ . Mesmo custo, dois graus a mais de exatidão: o dividendo dos nós ortogonais.

12. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ com $T_0 = 1$ , $T_1 = t$ ; a indução dá polinômios de grau $n$ com coeficiente dominante $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ). Substituindo $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ): $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ para $m \neq n$ , $= \pi$ para $m = n = 0$ , $= \frac\pi2$ nos demais casos (produto em soma). Os graus e a ortogonalidade dois a dois identificam os $T_n$ com a saída de Gram–Schmidt a menos de escalares; uma expansão de Chebyshev de $f$ é exatamente a série de Fourier em cossenos de $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. $T_n(t) = 0$ se, e somente se, $\cos n\theta = 0$ , se, e somente se, $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : as $n$ raízes distintas $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . Extremos: $\abs{T_n} \leq 1$ em $\intcc{-1}1$ , com $T_n(s_j) = (-1)^j$ nos $n + 1$ pontos $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : equioscilação perfeita.

14. $2^{1-n}T_n$ é mônico com norma do sup $2^{1-n}$ . Se um $P$ mônico de grau $n$ tivesse $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , a diferença $D = 2^{1-n}T_n - P$ teria grau $\leq n - 1$ (os termos dominantes se cancelam) e, ainda assim, alternaria de sinal em $s_0 > \dots > s_n$ (ali $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ domina $P$ ): ao menos $n$ zeros — $D \equiv 0$ , contradição. Para a unicidade no caso de igualdade, o mesmo $D$ satisfaz $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; um polinômio não nulo de grau $\leq n-1$ não pode ter $n$ restrições extremais fracamente alternadas sem ter $n$ raízes contadas devidamente (se $D(s_j) = 0$ para algum $s_j$ interior, esse zero é duplo na contagem, pois $D$ mantém um sinal localmente): de novo $D \equiv 0$ .

15. A fórmula do erro de Lagrange (Rolle, volume do segundo ano) dá $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ , de modo que o erro uniforme é no máximo $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ , e $\omega$ é mônico de grau $n$ : pela questão 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ , com igualdade se, e somente se, os nós são as raízes de Chebyshev. Logo a cota ótima $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . Com nós igualmente espaçados, $\sup\abs\omega$ é exponencialmente maior perto dos extremos, e interpolar mesmo $\frac1{1 + 25t^2}$ diverge ali como $n \to \infty$ (fenômeno de Runge); os nós de Chebyshev são a cura.

16. Derivando $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ , que tende a $n^2$ quando $\theta \to 0$ e a $(-1)^{n+1}n^2$ quando $\theta \to \pi$ : $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . Nos pontos interiores, $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : a explosão quadrática vive só nas bordas (a cota interior de Bernstein contra a global de Markov).

17. Sejam $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ e $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ para $1 \leq j \leq n-1$ . Então

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

Para $j$ par o numerador se anula: $S_j = 0$ . Para $j$ ímpar o numerador é $-2$ , e $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , de modo que a expressão inteira é $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : puramente imaginária, $S_j = 0$ de novo. Logo a regra de pesos iguais $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ integra $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) e mata $T_1, \dots, T_{n-1}$ exatamente como $\int T_jw = 0$ faz: ela é exata até o grau $n - 1$ . Pesos exatos até o grau $n-1$ em nós dados são únicos (base de Lagrange): os pesos de Gauss são todos $\frac\pi n$ . Para $n = 3$ : nós $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ e

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

exata até o grau $5$ .

18. Para $P$ mônico de grau $n$ : $P = p_n + r$ com $r \in \R_{n-1}[t]$ , e $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (questão 1), de modo que $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , com igualdade se, e somente se, $r = 0$ : $p_n$ é o resíduo da projeção ortogonal de $t^n$ sobre $\R_{n-1}[t]^\perp$ , isto é, o polinômio mônico mais próximo do subespaço que ele deve evitar. O $2^{1-n}T_n$ de Chebyshev responde à mesma pergunta para a norma do sup: menor desvio de zero, uma vez em $L^2(w)$ , outra em $L^\infty$ .

19. Escreva $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . Base $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ , pois $p_1 = t - a_0$ . Passo: supondo a identidade para $n - 1$ ,

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

substitua $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ e $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ no segundo termo: as contribuições $a_n$ se cancelam, e as contribuições $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ cancelam o termo de indução; o que sobrevive é $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . A forma confluente segue fazendo $y \to x$ (ambos os membros são polinômios em $y$ ).

20. A forma confluente dá $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ em toda parte. Numa raiz $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , de modo que $p_n(x_0) \neq 0$ (sem raízes comuns). Entre raízes consecutivas $x_0 < x_1$ de $p_{n+1}$ (todas simples, Parte I), $p_{n+1}'$ tem sinais opostos, logo $p_n$ também: uma raiz de $p_n$ está em cada uma das $n$ lacunas — e isso esgota suas $n$ raízes: entrelaçamento.

21. Expandindo $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ pela última linha: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ , com $D_0 = 1$ , $D_1 = t - a_0$ : a recorrência e as sementes dos $p_n$ mônicos, de modo que $D_n = p_n$ . Raízes de $p_n$ = autovalores da simétrica $J_n$ : reais e simples pela questão 19 — a quadratura de Gauss é a teoria espectral de uma matriz tridiagonal disfarçada, a sombra de dimensão finita do Capítulo 15.

22. Dicionário:

	Legendre	Hermite	Chebyshev
intervalo	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
peso	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
fórmula	Rodrigues	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
norma $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
hábitat	quadratura	cálculo gaussiano	minimax

(cada um com sua recorrência de três termos: forma geral para Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). A teoria geral forneceu o que nenhuma família isolada mostra: a realidade e o entrelaçamento das raízes, a positividade dos pesos de quadratura, a mera existência da recorrência e de Christoffel–Darboux — consequências apenas da ortogonalidade, uniformes no peso.

23. Existência: a aplicação linear $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , é injetora (um $P$ no núcleo tem $n$ raízes duplas e grau $\leq 2n - 1$ , de modo que $P = 0$ ) entre espaços de mesma dimensão $2n$ : bijetora. Erro pontual: fixe $t$ que não seja nó e escolha $K$ de modo que $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ se anule em $s = t$ . Então $g$ se anula nos $n + 1$ pontos distintos $t, t_1, \dots, t_n$ , e $g'$ se anula também em cada $t_i$ (tanto $f - Hf$ quanto $p_n^2$ têm zeros duplos ali). Rolle dá $n$ zeros de $g'$ estritamente entre zeros consecutivos de $g$ — distintos dos nós —, de modo que $g'$ tem $2n$ zeros distintos; aplicar Rolle mais $2n - 1$ vezes produz $\xi_t$ com $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . Como $\deg Hf \leq 2n - 1$ e $p_n^2$ é mônico de grau $2n$ , $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , donde $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — e a identidade é trivial nos nós. Integração: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ( $Hf$ coincide com $f$ nos nós) e $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ pela exatidão até o grau $2n - 1$ (questão 9), de modo que o erro de quadratura é $\int(f - Hf)\,w$ . Com $m, M$ os extremos de $f^{(2n)}$ em $I$ , a identidade pontual espreme

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

e o teorema do valor intermediário aplicado à contínua $f^{(2n)}$ entrega $\xi$ . (Para Legendre com $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , de modo que o erro é $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. O núcleo reproduz $\R_{n-1}[t]$ : expandir $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ dá $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ para todo $q$ de grau $\leq n - 1$ . Tome $q = \ell_i$ : o membro esquerdo vale $\ell_i(t_i) = 1$ . Mas $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ é um polinômio de grau $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ , no qual $Q_n$ é exata (questão 9), e ele se anula em todo nó $t_j \neq t_i$ (fator $\ell_i$ ), de modo que

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

A soma é $> 0$ (seu termo $k = 0$ é $1/h_0 > 0$ ): a fórmula enunciada, e de novo a positividade. Verificação ( $n = 2$ , Legendre): $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; em $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ ,

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

como encontrado na questão 11.

25. Substituindo $t = \cos\theta$ , a integral vale $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, Exercício 11.8). A regra de Chebyshev–Gauss com $n = 3$ (questão 17) tem nós $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ , $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ e pesos iguais $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

Previsão: o polinômio ortogonal mônico de grau $3$ é $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ , com $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; e $f = t^6$ tem constante $f^{(6)} = 720 = 6!$ , de modo que a questão 23 dá erro $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — sem dependência remanescente em $\xi$ , a fórmula é obrigada a ser exata, e é.

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