Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

12Os espaços Lp

A integral de Lebesgue foi construída para a análise; os espaços $L^p$ são onde essa análise vive. Eles são espaços de Banach (Riesz–Fischer) — os completamentos que o Exercício 7.1 mostrou faltarem às funções contínuas — e sustentam uma tecnologia de suavização, a convolução com aproximações da identidade, que aproxima qualquer função $L^p$ por funções $\mathcal C^\infty$ . Este capítulo demonstra as versões integrais de Hölder e Minkowski, a completude, os teoremas de densidade e a máquina de regularização, encerrando com a geografia de inclusões e interpolações da escala $L^p$ . Ao longo de todo o capítulo, $(X, \mathcal A, \mu)$ é um espaço de medida e as funções tomam valores complexos; em $\R^d$ , a medida é $\lambda_d$ .

12.1 Definição; Hölder e Minkowski

Definição 12.1

Para $1 \leq p < \infty$ , $\mathcal L^p(\mu)$ é o conjunto das funções mensuráveis $f$ com $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ , e $\mathcal L^\infty(\mu)$ é o conjunto das $f$ limitadas fora de um conjunto nulo, com $\norm f_\infty$ o supremo essencial — o menor $M$ com $\abs f \leq M$ q.t.p. (o ínfimo é atingido: intersecte os conjuntos nulos para $M + \frac1n$ ). Como $\norm f_p = 0$ apenas força $f = 0$ q.t.p. (Exercício 10.5), definimos

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ q.t.p.}\} :

seus elementos são classes de funções módulo conjuntos nulos, e $\norm\cdot_p$ é uma norma genuína em $L^p$ .

Teorema 12.2 (Desigualdade de Hölder)

Sejam $1 \leq p, q \leq \infty$ com $\frac1p + \frac1q = 1$ (expoentes conjugados). Para $f, g$ mensuráveis:

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

com igualdade (para $1 < p < \infty$ , normas finitas, $f,g\ne0$ ) se, e somente se, $\abs f^p$ e $\abs g^q$ são proporcionais q.t.p.

Demonstração. Os casos $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ são diretos ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ q.t.p.). Seja $1 < p < \infty$ ; normalize $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeneidade; normas nulas ou infinitas são triviais). A desigualdade de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; concavidade de $\ln$ , como no Problema 8.1) dá pontualmente $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; integre: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . A igualdade força a igualdade q.t.p. em Young, isto é, $\abs f^p = \abs g^q$ q.t.p. (após a normalização; desfazendo-a, proporcionalidade). ∎

Teorema 12.3 (Desigualdade de Minkowski)

Para $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

Demonstração. $p = 1, \infty$ : desigualdade triangular pontual ou q.t.p. Para $1 < p < \infty$ , suponha $\norm{f+g}_p < \infty$ (do contrário, use $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ , que vem da convexidade de $t^p$ , para ver que o membro esquerdo é finito quando o direito o é). Então

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

por Hölder, e $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ pois $(p-1)q = p$ ; divida por $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (se não for nulo; caso contrário é trivial) e use $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 Completude e suas companheiras

Teorema 12.4 (Riesz–Fischer)

Para $1 \leq p \leq \infty$ , $L^p(\mu)$ é um espaço de Banach. Além disso, toda sequência convergente em $L^p$ tem uma subsequência que converge quase em toda parte (com um dominador $L^p$ no caso $p < \infty$ ).

Demonstração. $p = \infty$ : uma sequência de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ é, fora de um único conjunto nulo (reunião de enumeráveis outros), uniformemente de Cauchy: ela converge uniformemente ali fora; pronto. Seja $p < \infty$ . Pelo Exercício 7.1(b), basta somar séries absolutamente convergentes: seja $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . Ponha $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ e $G = \sum_k\abs{f_k}$ (pontualmente em $[0,\infty]$ ): por Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$ , e a convergência monótona ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) dá $\int G^p \leq M^p$ : $G < \infty$ q.t.p., de modo que a série $\sum f_k(x)$ converge absolutamente para q.t.p. $x$ ; chame a soma de $S(x)$ (com valor qualquer no conjunto nulo). Então $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ , e a convergência dominada dá $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : a série converge em $L^p$ .

Quanto ao enunciado sobre subsequências: se $f_n \to f$ em $L^p$ , escolha $n_k$ com $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; a série $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ cai no argumento anterior: ela converge absolutamente q.t.p., dominada por um $G \in L^p$ , de modo que $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ q.t.p., e esse limite q.t.p. tem de ser (um representante de) $f$ (ambos são limites $L^p$ ). O dominador: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

Observação 12.5

A convergência em $L^p$ não implica a convergência q.t.p. (a sequência máquina de escrever, Exercício 12.3), nem reciprocamente (ondas que fogem): os dois modos só se ligam por subsequências e dominação. Ter em mente os contraexemplos do Exercício 12.3 é a melhor vacina.

12.3 Teoremas de densidade

Teorema 12.6

Seja $1 \leq p < \infty$ .

As funções simples (com suportes de medida finita) são densas em $L^p(\mu)$ .
Em $L^p(\R^d)$ , as funções contínuas de suporte compacto $\mathcal C_c(\R^d)$ são densas.
A translação é contínua em $L^p(\R^d)$ : escrevendo $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ quando $h \to 0$ .

Nenhuma das três vale para $p = \infty$ .

Demonstração. (1) Para $f \geq 0$ : as $s_n \nearrow f$ diádicas do Teorema 10.4 satisfazem $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : convergência dominada. (Cada $s_n \leq f$ está em $L^p$ , e seus conjuntos de nível têm medida finita onde o valor é positivo: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) Separe uma $f$ geral em quatro partes não negativas.

(2) Por (1), basta aproximar $\mathbf 1_A$ , com $A$ boreliano e $\lambda_d(A) < \infty$ . A regularidade (demonstração como no Teorema 9.13) dá $K \subseteq A \subseteq U$ compacto e aberto com $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; a função de Urysohn

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

é contínua, vale $1$ em $K$ e $0$ fora de $U$ , e pode ser tomada de suporte compacto (encolha primeiro $U$ a um aberto limitado). Então $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) Para $g \in \mathcal C_c$ : a continuidade uniforme dá $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ , com suportes em um compacto fixo para $\abs h \leq 1$ : $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . Para $f$ geral: tome $g \in \mathcal C_c$ com $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; então $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (invariância da norma por translação).

Para $p = \infty$ : a aproximação uniforme de $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ por funções contínuas é impossível (o salto), e $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ para $h \neq 0$ . ∎

12.4 Convolução e regularização

Teorema 12.7 (Desigualdade de Young)

Sejam $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ , $g \in L^p(\R^d)$ . Então $f * g$ está definida q.t.p., pertence a $L^p$ e

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

Demonstração. $p = \infty$ : cota direta. $p = 1$ : Teorema 11.9. Sejam $1 < p < \infty$ e $q$ conjugado. Separe $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ e aplique Hölder:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

Eleve à $p$ -ésima potência e integre em $x$ ; Tonelli no segundo fator dá $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ , isto é, $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — e a finitude da integral de Tonelli justifica a convergência absoluta q.t.p., como no Teorema 11.9. ∎

Definição 12.8 (Aproximações da identidade)

A função

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

com $c$ normalizando $\int\rho = 1$ , é $\mathcal C^\infty$ em $\R^d$ : o ponto é que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ é $\mathcal C^\infty$ em $\R$ , com todas as derivadas em $0^+$ iguais a $0$ (cada derivada é $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para um polinômio $P$ , e isso tende a $0$ ; indução). Para $\varepsilon > 0$ , ponha $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : com suporte em $\bar B(0, \varepsilon)$ e ainda de integral $1$ .

Teorema 12.9 (Regularização)

Sejam $1 \leq p < \infty$ e $f \in L^p(\R^d)$ . Então:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , com $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ quando $\varepsilon \to 0$ ;
consequentemente, $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ é denso em $L^p(\R^d)$ .

Demonstração. (1) Derivação sob o sinal de integral (Teorema 10.15) em $x$ : para $x$ em uma bola $B$ , $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ com $K$ compacto ( $y$ a distância no máximo $\varepsilon$ de $B$ ), e $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder contra $\mathbf 1_K$ ): o teorema se aplica; itere para as derivadas de ordem superior.

(2) Como $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

e a desigualdade integral de Minkowski — ou, diretamente, Hölder/Jensen com a medida de probabilidade $\rho_\varepsilon\dd y$ e Tonelli —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(a etapa do meio: aplique a desigualdade de Jensen, Exercício 12.10, à integral interna em $y$ e, depois, Tonelli). O integrando tem suporte em $\norm y \leq \varepsilon$ e tende ali a $0$ uniformemente quando $\varepsilon \to 0$ (Teorema 12.6(3)): a expressão inteira tende a $0$ .

(3) Aproxime $f$ por $g \in \mathcal C_c$ (Teorema 12.6(2)) e, depois, $g$ por $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (suporte compacto: soma dos suportes). ∎

Exemplo 12.10 (Regularizando $\abs x$ , com taxas)

Tome $f(x) = \abs x$ em $\R$ (localmente $L^1$ ; o teorema se aplica em toda janela limitada) e uma aproximação da identidade simétrica $\rho_\varepsilon$ . Então

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

é $\mathcal C^\infty$ ; longe do bico, nada acontece: para $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ é linear em $x$ no suporte de $\rho_\varepsilon$ , de modo que $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exatamente (a simetria mata a correção). Perto de $0$ , a suavização custa precisamente

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

o erro de aproximação fica confinado à vizinhança de raio $\varepsilon$ da singularidade e é da ordem dela. Enquanto isso, $f_\varepsilon'' \geq 0$ em toda parte ( $f$ é convexa, e a convolução com $\rho_\varepsilon \geq 0$ preserva a convexidade), com $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : a segunda derivada é uma onda de massa $2$ espremida em largura $O(\varepsilon)$ , de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Suavizar é uma troca: erro uniforme $O(\varepsilon)$ contra explosão da derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — exatamente a taxa de câmbio que a análise quantitativa (desigualdades de interpolação, o círculo de ideias do Problema 12.1) formaliza.

Corolário 12.11 (Lema fundamental do cálculo das variações)

Seja $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (integrável nos compactos) com $\int f\varphi = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . Então $f = 0$ q.t.p.

Demonstração. Fixe uma bola $B = B(0, R)$ e ponha $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . Para $x \in B$ e $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , sendo a função de teste $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ . Mas $g * \rho_\varepsilon \to g$ em $L^1$ (Teorema 12.9): $g = 0$ q.t.p. em $B$ ; exaura $\R^d$ . ∎

12.5 A geografia dos $L^p$

Proposição 12.12

(a) Se $\mu(X) < \infty$ e $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , então $L^q \subseteq L^p$ com $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) Em $\R^d$ (medida infinita) não há inclusão alguma: para $p \neq q$ existem funções em $L^p\setminus L^q$ . (c) (Interpolação) Se $p < r < q$ e $\alpha \in \intoo01$ é definido por $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ , então

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

em particular, $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

Demonstração. (a) Hölder com os expoentes $\frac qp$ e seu conjugado: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ( $q = \infty$ diretamente). (b) Perto de $0$ e perto de $\infty$ , as potências $x^{-\alpha}$ calibram: Exercício 12.2. (c) Escreva $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ e aplique Hölder com o par conjugado $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (conjugados precisamente pela definição de $\alpha$ ): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

Método 12.13

A caixa de ferramentas $L^p$ , tal como usada em tudo o que segue: para demonstrar uma identidade ou desigualdade para todo $f \in L^p$ — demonstre-a em uma classe densa ( $\mathcal C_c^\infty$ , via o Teorema 12.9) e estenda por continuidade (Teorema 7.2, sendo ambos os lados contínuos em $L^p$ ); para demonstrar que $f = 0$ , teste contra $\mathcal C_c^\infty$ (Corolário 12.11); para ganhar regularidade, convolua; para trocar expoentes, Hölder e interpolação. A teoria de Fourier do Capítulo 14 é uma longa aplicação desse método.

12.6 Exercícios

Exercício 12.1 ★

(a) Enuncie e demonstre a desigualdade de Cauchy–Schwarz em $L^2(\mu)$ como o caso $p = q = 2$ de Hölder. (b) Em um espaço de probabilidade, mostre que $p \mapsto \norm f_p$ é não decrescente. (c) Quando Hölder é uma igualdade para $p = 1$ , $q = \infty$ ?

Solução

Solução de Exercício 12.1.

(a) $p = q = 2$ no Teorema 12.2: $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — Cauchy–Schwarz, com igualdade se, e somente se, $\abs f, \abs g$ são proporcionais e as fases estão alinhadas.

(b) Num espaço de probabilidade, para $p \leq q$ : aplique Jensen (Exercício 12.10) com a convexa $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ à função $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ , isto é, $\norm f_p \leq \norm f_q$ .

(c) $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ se, e somente se, $\abs{g} = \norm g_\infty$ q.t.p. em $\{f \neq 0\}$ (a desigualdade $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ deve ser uma igualdade q.t.p.).

Exercício 12.2 ★

Para quais $p \in \intco1\infty$ as funções seguintes pertencem a $L^p$ ?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{em } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{em } \R .

Conclua: em $\intoo01$ , $p$ pequeno é mais fácil; em $\intoo1\infty$ , $p$ grande é mais fácil; e nenhum $L^p$ contém outro em $\R$ .

Solução

Solução de Exercício 12.2.

$\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ se, e somente se, $p < 2$ : a primeira está em $L^p$ para $p \in \intco12$ . $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ se, e somente se, $p > 2$ : a segunda para $p \in \intoo2\infty$ (e $p = \infty$ : ela é limitada — inclua-o). Terceira: para $p < 2$ , dominada por $x^{-p/2}$ : integrável; para $p = 2$ , substitua $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ; para $p > 2$ a potência domina: divergente. Logo $p \in \intcc12$ . Quarta: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ se, e somente se, $p > 1$ ; limitada, de modo que também $L^\infty$ : $p \in \intoc1\infty$ . Moral: a integrabilidade em $0$ gosta de $p$ pequeno, e em $\infty$ de $p$ grande; combinando os dois obstáculos, não há inclusão entre os espaços $L^p(\R)$ .

Exercício 12.3 ★★

(A máquina de escrever) Enumere os intervalos diádicos $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … e ponha $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) Mostre que $f_n \to 0$ em todo $L^p(\intcc01)$ , $p < \infty$ , mas que $(f_n(x))$ diverge para todo $x \in \intcc01$ . (b) Exiba a subsequência convergente q.t.p. prometida pelo Teorema 12.4. (c) Reciprocamente, dê uma sequência que converge q.t.p. mas não em $L^1$ , e outra que converge em $L^1$ mas em nenhum $L^p$ com $p > 1$ .

Solução

Solução de Exercício 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (no nível diádico $k$ o comprimento é $2^{-k}$ ). Mas todo $x$ está num intervalo de cada nível diádico: $f_n(x) = 1$ uma infinidade de vezes e $= 0$ uma infinidade de vezes (intervalos do mesmo nível que não contêm $x$ ): nenhuma convergência em ponto algum.

(b) $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (o primeiro intervalo de cada nível) converge a $0$ em todo $x > 0$ : q.t.p.

(c) q.t.p. mas não em $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ q.t.p., de integral $1$ . Em $L^1$ , mas em nenhum $L^p$ ( $p > 1$ ): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ , ao passo que $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ para todo $p > 1$ .

Exercício 12.4 ★★

Sejam $\mu(X) < \infty$ e $f \in L^\infty(\mu)$ , $f \neq 0$ . Mostre que $\norm f_p \to \norm f_\infty$ quando $p \to \infty$ . (Cota superior por (a) da Proposição 12.12; cota inferior integrando em $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ , de medida positiva.)

Solução

Solução de Exercício 12.4.

Superior: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (Proposição 12.12(a) com $q = \infty$ ), e $\mu(X)^{1/p} \to 1$ . Inferior: para $\varepsilon > 0$ , $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ tem $\mu(A) > 0$ (definição do sup essencial), e

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

Exercício 12.5 ★★

(a) Onde exatamente a demonstração do Teorema 12.6(3) usa $p < \infty$ ? (b) Mostre que $f \in L^\infty(\R)$ satisfaz $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ se, e somente se, $f$ tem um representante uniformemente contínuo.

Solução

Solução de Exercício 12.5.

(a) Duas vezes: a conversão $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (suporte de medida finita) degenera para $p = \infty$ apenas no fato de que ali falha a densidade de $\mathcal C_c$ — essa é a lacuna real: o passo (2) do Teorema 12.6 não tem análogo $L^\infty$ .

(b) Se $f$ tem um representante uniformemente contínuo $g$ : $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ . Reciprocamente, suponha $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ . As regularizações $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ são contínuas, e

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(a convolução é uma média de transladados). Cada $f_\varepsilon$ é uniformemente contínua ( $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ , por média), e um limite uniforme de funções uniformemente contínuas é uniformemente contínuo: $f$ coincide q.t.p. com uma função uniformemente contínua.

Exercício 12.6 ★★

Sejam $p, q$ conjugados, $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . Mostre que $f * g$ está definida em toda parte, é limitada, com $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ , e uniformemente contínua. (Continuidade da translação em $L^p$ ; trate $p \in \{1, \infty\}$ à parte — para $p = \infty$ , use a continuidade da translação no fator $L^1$ .)

Solução

Solução de Exercício 12.6.

Por Hölder, para todo $x$ o integrando $y \mapsto f(x - y)g(y)$ está em $L^1$ com $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : definida em toda parte e limitada. Continuidade uniforme ( $p < \infty$ ):

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

uniformemente em $x$ (Teorema 12.6(3)). Se $p = \infty$ , então $q = 1$ : escreva $f * g = g * f$ e repita a mesma cota com a translação agindo em $g \in L^1$ .

Exercício 12.7 ★★

Seja $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ com $\int f\varphi' = 0$ para toda $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . Mostre que $f$ é q.t.p. igual a uma constante. (Fixe $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ com $\int\chi = 1$ ; toda $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ com $\int\psi = 0$ é uma $\varphi'$ ; escreva uma função de teste geral como $\psi + (\int\psi)\chi$ e aplique o Corolário 12.11 a $f - c$ com $c = \int f\chi$ .)

Solução

Solução de Exercício 12.7.

Fixe $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ com $\int\chi = 1$ e ponha $c = \int f\chi$ . Seja $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ arbitrária e $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : então $\int\psi = 0$ , de modo que $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ define $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (ela se anula perto dos dois extremos: perto de $a$ trivialmente, perto de $b$ porque a integral total é $0$ ) com $\Phi' = \psi$ . A hipótese dá $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ , logo

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{para todo } \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

Pelo Corolário 12.11 (localizado em $\intoo ab$ ), $f = c$ q.t.p.

Exercício 12.8 ★★★

(Urysohn suave) Sejam $K \subseteq U \subseteq \R^d$ , com $K$ compacto e $U$ aberto. Construa $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ com $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ em $K$ , $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (Regularize a indicadora da vizinhança de raio $\delta$ , $K_\delta$ , de $K$ com $\rho_{\delta/2}$ , para $\delta$ pequeno.) Deduza um enunciado de partição da unidade $\mathcal C^\infty$ para um compacto coberto por finitos abertos.

Solução

Solução de Exercício 12.8.

Seja $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (positivo: Exercício 6.6(b); se $U = \R^d$ , qualquer $\delta$ serve), $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ , e

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

Então $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (Teorema 12.9(1); a indicadora é $L^1$ ), $0 \leq \varphi \leq 1$ ( $\int\rho = 1$ ), $\varphi = 1$ em $K$ (para $x \in K$ , $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , de modo que a convolução integra $\rho$ por inteiro) e $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : com suporte compacto ( $K_\delta$ é limitado). Partição da unidade: dado $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ , escolha (por compacidade) compactos $K_i \subseteq U_i$ com $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ , tome $\varphi_i$ como acima para $(K_i, U_i)$ e ponha $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ : cada $\psi_i \in \mathcal C_c^\infty(U_i)$ , e $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ em $K$ .

Exercício 12.9 ★★

Usando a interpolação (Proposição 12.12(c)): (a) mostre que $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ para todo $p$ , com $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ; (b) mostre que $f \mapsto \norm f_p$ é, para $f$ fixada, log-convexa em $\frac1p$ , e dê um exemplo em que $f \in L^p$ exatamente para $p$ em um intervalo dado $(p_0, p_1)$ .

Solução

Solução de Exercício 12.9.

(a) O expoente de interpolação para $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ em $r = p$ é $\alpha = \frac1p$ : a Proposição 12.12(c) dá $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ .

(b) Tomando logaritmos na Proposição 12.12(c): $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ , em que $\frac1r$ é a mesma combinação convexa de $\frac1p, \frac1q$ : $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ é convexa. Exemplo com pertencimento a $L^p$ exatamente em $\intoo{p_0}{p_1}$ :

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

o primeiro termo é $L^p$ se, e somente se, $p < p_1$ , e o segundo se, e somente se, $p > p_0$ .

Exercício 12.10 ★★

(Jensen) Sejam $\mu$ uma medida de probabilidade, $f \in L^1(\mu)$ real e $\Phi \colon \R \to \R$ convexa. Mostre que

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(reta de suporte de $\Phi$ no ponto $m = \int f$ ). Deduza a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica e a monotonicidade de $p \mapsto \norm f_p$ do Exercício 12.1(b).

Solução

Solução de Exercício 12.10.

Seja $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ . A convexidade fornece uma reta de suporte em $m$ : existe $s$ com $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ para todo $t$ (tome $s$ entre as derivadas laterais, que existem para funções convexas). Substitua $t = f(x)$ e integre contra a probabilidade $\mu$ :

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(mensurabilidade: $\Phi$ é contínua; a integrabilidade da parte negativa de $\Phi\circ f$ é garantida pela reta de suporte). MA–MG: num conjunto finito com pesos $w_i$ , tome $\Phi = \exp$ e $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ , isto é, $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ . A monotonicidade das normas é o Exercício 12.1(b).

Exercício 12.11 ★★★

(Desigualdade de Young para a convolução) Sejam $1 \leq p, q, r \leq \infty$ com $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ , e $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . (a) Demonstre $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (Escreva, para expoentes conjugados deduzidos de $p, q, r$ , $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ e aplique a desigualdade de Hölder com três fatores, de expoentes $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ ; depois integre em $x$ por Tonelli.) (b) Confira os três casos particulares já conhecidos: $r = \infty$ (Hölder, Exercício 12.6); $q = 1$ (estabilidade $L^p$ da convolução por um núcleo integrável); $p = q = 1$ ( $L^1$ é uma álgebra de convolução, Teorema 11.9). (c) Por que não há desigualdade com $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? (Teste em dilatações $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ e compare os reescalamentos dos dois lados.)

Solução

Solução de Exercício 12.11.

(a) Suponha primeiro $p, q, r < \infty$ e $f, g \geq 0$ (substitua pelos valores absolutos). Os três expoentes $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ , $\beta = \frac{qr}{r-q}$ satisfazem $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (a relação de escala). Reparta, para $x$ fixo,

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

e Hölder com os três expoentes dá

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

mais precisamente: o segundo fator é $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ , pois $(1 - \frac pr)\alpha = p$ , e do mesmo modo o terceiro é $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ . Eleve à $r$ -ésima potência e integre em $x$ (Tonelli no primeiro fator):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

Os casos extremos ( $r = \infty$ ou um expoente igual a sua cota) são Hölder puro ou estimativas diretas.

(b) $r = \infty$ força $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder após translação e reflexão. $q = 1$ dá $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , o burro de carga da regularização (o motor do Teorema 12.9). $p = q = 1$ dá $r = 1$ : a álgebra de convolução (Teorema 11.9).

(c) Substitua $f, g$ por $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ , $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : então $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ e, comparando normas,

\text{ME} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{MD} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

uma desigualdade válida para todos $f, g$ força os dois expoentes de escala a coincidir, isto é, $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ exatamente. Qualquer outra combinação morre em $\lambda \to 0$ ou em $\infty$ : a relação de Young não é uma conveniência, mas uma lei de escala.

Exercício 12.12 ★★

(Casos de igualdade) (a) Na desigualdade de Hölder $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ), mostre que a igualdade vale se, e somente se, $\abs f^p$ e $\abs g^q$ são proporcionais q.t.p. (Acompanhe o caso de igualdade da desigualdade de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , que é $a^p = b^q$ .) (b) Na desigualdade de Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ), mostre que a igualdade com $f, g \neq 0$ força $g = cf$ q.t.p. com $c > 0$ . (c) Contraste com $p = 1$ e $p = \infty$ : descreva os casos de igualdade (muito maiores) que ali ocorrem, com exemplos.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

(a) Normalize $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . A demonstração de Hölder integra a desigualdade de Young $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; a igualdade das integrais força a igualdade q.t.p. em Young, o que (convexidade estrita de $\exp$ ; igualdade se, e somente se, $a^p = b^q$ ) significa $\abs f^p = \abs g^q$ q.t.p. Desfazendo a normalização: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ q.t.p. — proporcionalidade.

(b) Minkowski são dois Hölder aplicados a $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ e $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; a igualdade força a proporcionalidade de (a) em ambos: $\abs f^p$ e $\abs g^p$ cada um proporcional a $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ , de modo que $\abs g = t\abs f$ q.t.p. para uma constante $t \geq 0$ ; e a desigualdade triangular pontual inicial $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ também tem de ser uma igualdade q.t.p., o que, para valores complexos, significa que $f$ e $g$ têm q.t.p. o mesmo argumento onde ambas são não nulas. Combinando: $g = tf$ q.t.p., $t > 0$ (ambas não nulas).

(c) $p = 1$ : a igualdade em $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ vale sempre que $f, g$ têm o mesmo padrão de sinais (mesmo argumento q.t.p.) — sem necessidade de proporcionalidade: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ e $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ servem. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ assim que as duas funções atingem seus picos de modo compatível num ponto comum (ou ao longo de uma sequência comum): $f = g\,$ perto de um ponto basta, qualquer que seja o comportamento nos demais. A convexidade estrita das bolas $L^p$ para $1 < p < \infty$ — e sua falha nos extremos — é exatamente o que esses casos de igualdade testemunham.

12.7 Problema: a desigualdade de Hardy

Problema 12.1

Problema de fim de semana — a desigualdade de Hardy e sua constante ótima

Para $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ , $1 < p < \infty$ , defina o operador de Hardy

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

A desigualdade de Hardy (1920) afirma

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

e a constante $\frac p{p-1}$ é ótima e não é atingida. Este problema demonstra tudo e, em seguida, estende o resultado a séries.

Parte I — A desigualdade. Suponha primeiro $f \geq 0$ contínua de suporte compacto em $\intoo0{+\infty}$ , e ponha $F(x) = \int_0^xf$ .

Mostre que $Hf \in L^p$ : perto de $0$ , $F$ se anula em uma vizinhança de $0$ ; perto de $\infty$ , $F$ é limitada, de modo que $(Hf)(x) = O(1/x)$ , e $x \mapsto \frac1x$ pertence a $L^p(\intoo1{+\infty})$ para $p > 1$ .
Integre por partes para mostrar

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(Derive $x^{1-p}F^p$ ; os termos de fronteira se anulam — justifique nas duas pontas.)
Aplique Hölder ao membro direito e deduza $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ para tais $f$ .
Estenda a todo o $L^p$ : para $f \geq 0$ , construa $f_n$ contínuas de suporte compacto em $\intoo0{+\infty}$ , com $0 \leq f_n \nearrow f$ q.t.p. (trunque e aproxime monotonamente — justifique a construção); então $Hf_n \nearrow Hf$ pontualmente (convergência monótona dentro da média) e a convergência monótona passa a desigualdade ao limite. Para $f$ com sinal ou complexa, conclua com $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

Parte II — Otimalidade.

Para $A > 1$ , ponha $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . Calcule $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ e, para $1 \leq x \leq A$ ,

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
Deduza $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ e conclua que a constante é ótima.
Mostre que a igualdade $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ com $f \neq 0$ é impossível. (Acompanhe o caso de igualdade de Hölder na questão 3: ela forçaria um comportamento do tipo $f = cx^{-1/p}$ , que não está em $L^p$ .)

Parte III — A desigualdade discreta.

Para $g \geq 0$ não crescente em $(0,\infty)$ e $a_n = g(n)$ , compare $\sum a_n^p$ e $\int g^p$ , e as médias de $H$ correspondentes, para deduzir da Parte I a desigualdade discreta de Hardy: para $a_n \geq 0$ ,

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— demonstre-a primeiro para $(a_n)$ não crescente, pela comparação acima, e reduza depois o caso geral ao não crescente por rearranjo (admita, com uma justificativa de uma linha, que ordenar $(a_n)$ de maneira decrescente só pode aumentar o membro esquerdo, deixando o direito inalterado).
Deduza: se $\sum a_n^p < \infty$ , então as médias de Cesàro de $(a_n)$ estão de novo em $\ell^p$ — e dê um exemplo ( $p = 2$ ) em que $(a_n) \in \ell^2$ mas $a_n$ não é somável, e ainda assim Hardy controla as médias.

Parte IV — Epílogo.

Mostre que a desigualdade de Hardy falha para $p = 1$ : com $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcule $Hf$ e observe que $Hf \notin L^1$ . Onde a demonstração se quebra?

Parte V — A função maximal e o teorema de diferenciação de Lebesgue. Hardy faz médias a partir da origem; Hardy–Littlewood fazem médias em torno de cada ponto. Para $f \in L^1(\R)$ , defina

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(Vitali, versão finita) Sejam $B_1, \dots, B_N$ intervalos abertos. Mostre que existe uma subfamília disjunta $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ com $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , em que $3B$ denota o intervalo de mesmo centro e comprimento triplo (guloso: escolha repetidamente o intervalo mais longo disjunto dos já escolhidos).
(Tipo fraco $(1,1)$ ) Mostre que, para todo $t > 0$ ,

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

cada $x$ com $Mf(x) > t$ é dono de um intervalo centrado $B_x$ com $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; tome um compacto $K \subseteq \{Mf > t\}$ (regularidade interior), cubra-o por um número finito de $B_x$ , aplique a questão 11 e exaura.
Calcule $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ para $x > 1$ e deduza que $Mf \notin L^1$ para todo $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ no infinito): em $p = 1$ , a desigualdade fraca da questão 12 é o melhor enunciado possível.
(Tipo forte para $p > 1$ ) Para $f \in L^p$ : separe $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ , observe que $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ e combine a questão 12 com a fórmula do bolo de camadas (Proposição 11.8) e Tonelli para demonstrar

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

(A explosão quando $p \downarrow 1$ é o fracasso da questão 13, quantificado.)
(Teorema de diferenciação de Lebesgue) Demonstre: para $f \in L^1(\R)$ ,

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{para q.t.p.\ }x .$

(Claro para $f$ contínua. No caso geral, escreva $f = g + h$ , com $g$ contínua de suporte compacto e $\norm h_1 < \varepsilon$ (Teorema 12.6); o conjunto em que o $\limsup_{r\to0}$ da oscilação média ultrapassa $\delta$ está contido em $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ , de medida $O(\varepsilon/\delta)$ ; faça $\varepsilon \to 0$ e, depois, $\delta \to 0$ ao longo de uma sequência.)
Deduza: (a) quase todo ponto é um ponto de Lebesgue de $f$ ; (b) para $f \in L^1$ , a primitiva $F(x) = \int_0^xf$ é derivável q.t.p. com $F' = f$ q.t.p. — a metade integral do teorema fundamental do cálculo no mundo de Lebesgue, fechando o círculo aberto pela escada (Problema 9.1), que mostrou que a outra metade pode falhar.
(Pontos de densidade) Para $A \subseteq \R$ mensurável, mostre que quase todo $x \in A$ satisfaz $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : os conjuntos mensuráveis são localmente cheios em quase todos os seus pontos. Esboce, em duas linhas, como isso fornece mais uma demonstração do teorema de Steinhaus (Exercício 9.8).

Parte VI — Variações sobre o tema da média.

(Hardy com peso) Para $\alpha < p - 1$ e $f \geq 0$ , mostre que

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

pela mesma integração por partes, e verifique que o caso limite $\alpha = p - 1$ é genuinamente proibido (adapte o contraexemplo da questão 10).
(O adjunto) Seja $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Mostre que $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ para $f, g$ não negativas (Tonelli) e demonstre $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (diretamente por partes, ou a partir de Hardy no expoente conjugado por dualidade — atenção a qual expoente recebe qual constante).
(Uma desigualdade do tipo Hilbert) Deduza que, para $f \in L^p$ não negativas, $g \in L^q$ :

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(separe ao longo de $y < x$ / $y \geq x$ : cada metade é um emparelhamento de uma função contra a transformada de Hardy da outra).
(Otimalidade, caso discreto) Mostre que a constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ da questão 8 também é ótima: teste em $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , compare os dois lados com integrais e faça $N \to \infty$ (o espelho discreto da Parte II).
(Síntese) Três operadores de média apareceram neste problema: o $H$ de Hardy, a média discreta de Cesàro e o operador maximal $M$ . Enuncie em uma linha o que a limitação de cada um diz, observe que os três falham exatamente em $p = 1$ e explique por que se trata do mesmo fracasso três vezes (a cauda harmônica $\frac1x$ ).

Parte VII — A desigualdade de Carleman, e quão ótimo é ótimo.

(Desigualdade de Carleman) Seja $a_n \geq 0$ com $\sum a_n < \infty$ . Aplique a desigualdade discreta de Hardy da questão 8 a $b_n = a_n^{1/p}$ , use a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica e faça $p \to \infty$ (mostre que $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ decresce até $\eu$ ) para obter

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

as médias geométricas de uma sequência somável são somáveis, ao custo de no máximo $\eu$ .
(A constante $\eu$ é ótima) Teste $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : usando o enquadramento de Stirling do Problema 11.1, mostre que $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , deduza que ambos os lados de Carleman crescem como $\eu\ln N$ e conclua que nenhuma constante menor que $\eu$ pode funcionar. (Observe o padrão: os otimizadores de Hardy e de Carleman são ambos as sequências de tipo harmônico que por pouco deixam de estar no espaço.)
(Com que lentidão se aproxima o “ótimo”?) Tome $p = 2$ . Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , calcule $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ , contra a cota $2$ . Para os quase-otimizadores $f_A$ da questão 5, demonstre a identidade exata

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{logo}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

Avalie em $A = \eu^{10}$ (razão $\approx 1.790$ ) e comente: o supremo $2$ é aproximado apenas à velocidade $1/\ln A$ — uma constante ótima pode ser quase invisível numericamente.

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $f$ tem suporte em algum $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ , de modo que $F = 0$ em $[0, \alpha]$ e $F \equiv F(\beta)$ em $[\beta, \infty)$ : $Hf$ se anula perto de $0$ e é $O(1/x)$ no infinito; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ para $p > 1$ , e $Hf$ é contínua: $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . Os dois valores de bordo se anulam: em $0$ porque $F = 0$ perto de $0$ ; em $\infty$ porque $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ ). Integrando a identidade em $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

que é a relação em destaque.

3. Hölder com expoentes $q = \frac p{p-1}$ e $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

de modo que $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; divida (finito pela questão 1 e, se for $0$ , nada há a demonstrar).

4. Sejam $f \in L^p$ , $f \geq 0$ . Escolha $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ com $\varphi_k \to f$ em $L^p$ (Teorema 12.6(2), intersectado com a semirreta aberta — aproxime $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ e diagonalize), e substitua $\varphi_k$ por $\abs{\varphi_k}$ (ainda contínua e mais próxima de $f \geq 0$ ). Para todo $x > 0$ fixo, Hölder em $\intoo0x$ dá

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

$H\varphi_k \to Hf$ pontualmente. Fatou e a questão 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

Para $f$ com sinal ou complexa: $\abs{Hf} \leq H\abs f$ pontualmente, e o caso não negativo se aplica a $\abs f$ .

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . Para $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. Fixe $\varepsilon > 0$ e $X_0$ com $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ para $x \geq X_0$ . Então

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

de modo que $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ quando $A \to \infty$ : a constante não pode ser melhorada.

7. A igualdade na questão 3 força a igualdade em Hölder: $f^p$ proporcional a $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ q.t.p., isto é, $f = \gamma\,\frac Fx$ q.t.p. para algum $\gamma \geq 0$ . Como $F(x) = \int_0^xf$ é absolutamente contínua com $F' = f$ q.t.p., $F$ resolve $F' = \gamma F/x$ : em qualquer intervalo em que $F > 0$ , $(\ln F)' = \gamma/x$ , de modo que $F = c\,x^{\gamma}$ e $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ ali. Mas nenhuma potência não nula $x^{\gamma-1}$ pertence a $L^p(\intoo0\infty)$ (é preciso $p(\gamma - 1) < -1$ em $\infty$ e $> -1$ em $0$ : incompatível), e $F$ não pode se anular identicamente a menos que $f = 0$ . Logo a igualdade exige $f = 0$ .

8. Dada $(a_n)$ não crescente $\geq 0$ , defina a função escada $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ em $\intoo0{+\infty}$ : não crescente, com $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ e $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , de modo que $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . A média de uma função não crescente é não crescente, de modo que $Hg$ o é, e

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

pela Parte I. Para uma sequência não negativa geral, seja $(a_n^*)$ seu rearranjo não crescente (possível quando $a_n \to 0$ , o que podemos supor — caso contrário, ambos os membros são infinitos): o membro direito não muda, e cada soma parcial $a_1 + \dots + a_n$ é no máximo $a_1^* + \dots + a_n^*$ (os $n$ maiores termos): o membro esquerdo apenas cresce. Logo a desigualdade vale para toda $(a_n)$ .

9. Se $(a_n) \in \ell^p$ , a sequência das médias de Cesàro está em $\ell^p$ com norma $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . Exemplo ( $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , e, no entanto, $\sum a_n = \infty$ (teste da integral); Hardy ainda garante $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ em $\intoc01$ e $= \frac1x$ para $x \geq 1$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , ao passo que $\norm f_1 = 1$ . A demonstração desaba em dois pontos: a constante $\frac p{p-1}$ explode quando $p \to 1$ , e o termo de bordo $x^{1-p}F^p$ deixa de se anular no infinito para $p = 1$ . A desigualdade de Hardy é um fenômeno honestamente de $p > 1$ .

11. Tome o intervalo mais longo $B_{i_1}$ ; descarte todo intervalo que o encontre; tome o mais longo sobrevivente $B_{i_2}$ ; itere (há finitos intervalos). Os escolhidos são disjuntos por construção, e todo $B$ descartado encontrou um intervalo escolhido ao menos tão longo: um intervalo que encontra um de comprimento maior ou igual está contido em seu triplo, $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. $\{Mf > t\}$ é aberto: cada média $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ é contínua (convergência dominada em $x$ ), e um supremo de funções contínuas é semicontínuo inferiormente. Cada $x$ nele possui $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ com $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . Para $K \subseteq \{Mf > t\}$ compacto: finitos $B_x$ cobrem $K$ , Vitali (questão 11) extrai $B_1', \dots, B_k'$ disjuntos com $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ , de modo que

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

por disjunção; a regularidade interior (Teorema 9.13) conclui.

13. Para $x > 1$ : com $r \in \intcc{x-1}x$ , a média é $\frac{r - x + 1}{2r}$ , crescente em $r$ ; para $r \geq x$ ela é $\frac1{2r}$ , decrescente: o supremo é $\frac1{2x}$ , atingido em $r = x$ . Logo $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . Em geral, se $\int_I\abs f = c > 0$ num intervalo limitado $I \subseteq \intcc{-C}C$ , então $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ para todo $x$ : nunca integrável, a menos que $f = 0$ q.t.p.

14. Com $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , de modo que $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ e a questão 12 dá $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . Fórmula das camadas (Proposição 11.8) e Tonelli:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. Escreva $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . Para $g$ contínua: $A_rg(x) \to g(x)$ em toda parte. Dado $\varepsilon > 0$ , reparta $f = g + h$ com $g$ contínua de suporte compacto e $\norm h_1 < \varepsilon$ (Teorema 12.6); então

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

de modo que $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ tem medida $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (questão 12; Markov). $\varepsilon$ arbitrário: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; união em $\delta = \frac1k$ : $A_rf \to f$ q.t.p.

16. (a) Para cada $q \in \Q$ , a questão 15 aplicada a $\abs{f - q}$ dá $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ q.t.p.; na interseção desses conjuntos de medida total, escolha $q$ com $\abs{f(x) - q} < \eta$ : $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ para todo $\eta$ : quase todo $x$ é ponto de Lebesgue. (b) Num ponto de Lebesgue,

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

$F' = f$ q.t.p. — primitivas de funções $L^1$ de fato derivam de volta; a escada (Problema 9.1) é o contraexemplo apenas para a direção recíproca.

17. Aplique a questão 15 a $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ e faça $n$ crescer: para q.t.p. $x \in A$ , a densidade $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ . Steinhaus: em torno de um ponto de densidade, tome $r$ com densidade $> \frac34$ ; para $\abs t < \frac r2$ , $A$ e $A + t$ preenchem, cada um, mais de $\frac32r$ de um intervalo de comprimento $\leq \frac52r$ , e portanto se intersectam: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. Seja $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ se anula em $0$ ( $F$ se anula perto de $0$ ) e em $\infty$ ( $F$ limitada, $\alpha + 1 - p < 0$ ), de modo que $\int_0^\infty G' = 0$ com

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

Logo $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hölder para a medida $x^\alpha\dd x$ (expoentes $\frac p{p-1}$ e $p$ ) conclui como na questão 3. Caso limite $\alpha = p - 1$ : com $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ , o membro direito é $\ln A$ , ao passo que o esquerdo contém $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ : nenhuma constante sobrevive a $A \to \infty$ .

19. Tonelli em $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

Dualidade: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , sendo Hardy invocado em $L^q$ , cuja constante $\frac q{q-1}$ é igual a $p$ .

20. Reparta ao longo da diagonal (nula). Em $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

pois Hardy em $L^q$ carrega a constante $\frac q{q-1} = p$ . Simetricamente, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ ). Total: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. Para $a_n = n^{-1/p}$ , $n \leq N$ : o membro direito é $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . No esquerdo, para $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , de modo que a $n$ -ésima média de Cesàro é $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniformemente para $n$ em qualquer faixa $n \geq n_0(\eta)$ ; elevando à $p$ e somando, o membro esquerdo é $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . Dividindo e fazendo $N \to \infty$ e depois $\eta \to 0$ : nenhuma constante menor que $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ pode servir.

22. $H$ limitado em $L^p$ : médias cumulativas não inflam as normas $p$ (constante $\frac p{p-1}$ ); Cesàro em $\ell^p$ : o mesmo, discretizado; $M$ limitado em $L^p$ : nem mesmo a melhor média local escapa ao controle (constante $O(\frac1{p-1})$ ). Os três falham em $p = 1$ , e por uma única razão: fazer a média de uma unidade de massa concentrada produz uma cauda $\frac1x$ (questões 10 e 13), e $\frac1x$ pertence a todo $L^p$ perto do infinito, exceto $L^1$ . A suavização espalha a massa exatamente até a fronteira harmônica da integrabilidade.

23. Ponha $b_n = a_n^{1/p}$ , de modo que $\sum b_n^p = \sum a_n$ . A questão 8 dá

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

e a MA–MG minora cada parcela:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

Logo $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ para todo $p > 1$ . Com $m = p - 1$ ,

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

que decresce para $\eu$ quando $m \to \infty$ (a clássica sequência monótona superior para $\eu$ ). Tomando o ínfimo em $p$ , obtém-se a desigualdade de Carleman com constante $\eu$ .

24. Para $a_n = \frac1n$ , $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . O enquadramento do Problema 11.1 dá $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ , de modo que

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

pois $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . Invertendo, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ , e somando em $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(a série de erros $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ converge). Uma desigualdade de Carleman com constante $c$ forçaria $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ , logo $c \geq \eu$ ao dividir por $\ln N$ . As sequências otimizantes se alinham: a constante de Hardy é aproximada por $n^{-1/p}$ (questão 21), a de Carleman por $n^{-1}$ — em cada caso, a sequência do tipo harmônico que fica logo fora do espaço sobre o qual se faz a média.

25. Para $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ em $\intoc01$ e $Hf(x) = \frac1x$ para $x > 1$ , de modo que $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ e a razão é $\sqrt2 \approx 1.414$ , cerca de $71\%$ da cota ótima. Para $f_A$ ( $p = 2$ ): $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ em $\intcc1A$ , de modo que, nessa faixa, $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ e, para $x > A$ , $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . Elevando ao quadrado e integrando,

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

donde $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; dividir por $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ dá a identidade enunciada. Em $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ , de modo que a razão é $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ . O defeito $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ decai apenas logaritmicamente: para atingir a razão $1.99$ seria preciso $\ln A \approx 200$ , isto é, $A \approx 10^{87}$ . Constantes ótimas são teoremas, não experimentos.

12.1 Definição; Hölder e Minkowski

12.2 Completude e suas companheiras

12.3 Teoremas de densidade

12.4 Convolução e regularização

12.5 A geografia dos LpL^pLp

12.6 Exercícios

12.7 Problema: a desigualdade de Hardy

12.5 A geografia dos $L^p$