O que é arcsin⁡, arccos⁡, arctan⁡? — Matemática

Definição 4.9 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 4 — Funções Usuais

As restrições

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

são bijeções estritamente monótonas. Suas aplicações inversas escrevem-se $\arcsin$ , $\arccos$ e $\arctan$ . Assim, por exemplo, $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) é o ângulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ cujo seno é $x$ .

Da esquerda para a direita: , , . Cada uma herda o seu gráfico da função direta restrita, por reflexão na reta y = x. — Da esquerda para a direita: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Cada uma herda o seu gráfico da função direta restrita, por reflexão na reta $y = x$ .

Exemplos

Exemplo 4.11 (Reconhecendo uma constante escondida)

Estude $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ em $\intoo{-1} {+\infty}$ . Regra da cadeia e um cálculo curto:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

pois $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Logo $g' = -\arctan'$ : a função $g + \arctan$ tem derivada nula no intervalo $\intoo{-1}{+\infty}$ e, portanto, é constante nele; o seu valor em $x = 0$ é $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Conclusão:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

Em $\intoo{-\infty}{-1}$ o mesmo cálculo de derivada vale, mas a constante é diferente ( $-\frac{3\pi}4$ : avalie o limite quando $x \to -\infty$ ). A ideia: “derivada nula implica constante” é um enunciado intervalo por intervalo — exatamente a sutileza explorada no Exercício 4.6 e no Exercício 4.10.

Exemplo 4.14 (Voltando ao intervalo principal)

Calcule

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{e}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

A receita: substitua o ângulo pelo único ângulo de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ com a mesma tangente, isto é, subtraia o múltiplo adequado de $\pi$ (o período de $\tan$ ). Primeiro: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , de modo que a resposta é $-\frac\pi4$ . Segundo: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , de modo que a resposta é $\frac{2\pi}5$ . O cálculo é uma divisão euclidiana do ângulo por $\pi$ disfarçada — e as receitas análogas para $\arcsin$ (refletir para $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , período $2\pi$ ) e $\arccos$ (refletir para $\intcc0\pi$ ) conduzem o Exercício 4.1 e a resposta por partes do Exercício 4.10.

Exemplo 4.15 (Somando arco-tangentes com segurança)

Demonstremos que

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Dois ingredientes: a fórmula da tangente da soma e — o passo que os iniciantes esquecem — uma localização da soma. Primeiro, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ com $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ dá

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{logo}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Segundo, cada um dos três ângulos está em $\intoo0{\frac\pi4}$ (seus argumentos são menores que $1$ ), de modo que a soma está em $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; o único ângulo ali com tangente $1$ é $\frac\pi4$ . Sem a localização, a conclusão seria “ $\frac\pi4$ a menos de um múltiplo de $\pi$ ” — meia demonstração. A mesma disciplina em dois passos conduz o Exercício 4.8 e o Exercício 4.12.

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