Qu'est-ce que « arcsin⁡, arccos⁡, arctan⁡ » ? — Mathématiques

Définition 4.9 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 4 — Fonctions usuelles

Les restrictions

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

sont des bijections strictement monotones. Leurs réciproques se notent $\arcsin$ , $\arccos$ et $\arctan$ . Ainsi, par exemple, $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) est l’unique angle de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ dont le sinus vaut $x$ .

De gauche à droite : , , . Chacune hérite de son graphe de la fonction directe restreinte, par symétrie par rapport à la droite y = x. — De gauche à droite : $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Chacune hérite de son graphe de la fonction directe restreinte, par symétrie par rapport à la droite $y = x$ .

Exemples

Exemple 4.11 (Reconnaître une constante cachée)

Étudions $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ sur $\intoo{-1} {+\infty}$ . Dérivation des fonctions composées et court calcul :

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

puisque $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Donc $g' = -\arctan'$ : la fonction $g + \arctan$ a une dérivée nulle sur l’intervalle $\intoo{-1}{+\infty}$ , elle y est donc constante ; sa valeur en $x = 0$ vaut $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Conclusion :

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

Sur $\intoo{-\infty}{-1}$ , le même calcul de dérivée vaut, mais la constante est différente ( $-\frac{3\pi}4$ : évaluer la limite quand $x \to -\infty$ ). L’idée à retenir : « dérivée nulle implique constante » est un énoncé intervalle par intervalle — exactement la subtilité exploitée dans l’Exercice 4.6 et l’Exercice 4.10.

Exemple 4.14 (Ramener un angle à l’intervalle principal)

Calculons

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{et}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

La recette : remplacer l’angle par l’unique angle de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ayant la même tangente, c’est-à-dire lui retrancher le bon multiple de $\pi$ (la période de $\tan$ ). D’abord : $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , donc la réponse est $-\frac\pi4$ . Ensuite : $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , donc la réponse est $\frac{2\pi}5$ . Le calcul est une division euclidienne de l’angle par $\pi$ déguisée — et les recettes analogues pour $\arcsin$ (se ramener à $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , période $2\pi$ ) et $\arccos$ (se ramener à $\intcc0\pi$ ) gouvernent l’Exercice 4.1 et la réponse par morceaux de l’Exercice 4.10.

Exemple 4.15 (Additionner des arctangentes sans se tromper)

Démontrons que

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Deux ingrédients : la formule d’addition de la tangente et — l’étape que les débutants oublient — une localisation de la somme. D’abord, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ avec $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ donne

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{puis}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Ensuite, chacun des trois angles appartient à $\intoo0{\frac\pi4}$ (leurs arguments sont plus petits que $1$ ), donc la somme appartient à $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; le seul angle de cet intervalle dont la tangente vaut $1$ est $\frac\pi4$ . Sans la localisation, la conclusion serait « $\frac\pi4$ modulo un multiple de $\pi$ » — une demi-démonstration. La même discipline en deux temps gouverne l’Exercice 4.8 et l’Exercice 4.12.

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Exemples

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